Algèbre générale

Cours de Mathématiques
Algèbre générale
Hajmi
1
Sous groupes de Z
Théorème 1.1
Les sous groupes de Z sont de la forme n Z.
Preuve
Déja pour tout n ∈ N, n Z est bien un sous groupe de Z.
Soit maintenant H un sous groupe quelconque de Z, si H = {0},
on prend n = 0, sinon
Soit n = min{x ∈ H , x > 0}, H est un sous groupe de Z, donc
n Z ⊂ H , soit maintenant x ∈ H , on effectue la division euclidienne par n , x = nq + r , avec r < n .
r = x − nq , donc r ∈ N ∩ H et 0 ≤ r < n, par minimalité de n ,
on obtient r = 0 et donc x = nq ∈ nZ, et par suite H = n Z.
2
Groupe engendré
Soit A une partie d’un groupe G , l’intersection de tous les sous
groupes de G contenant A est un sous groupe de G , appelé le sous
groupe de G engendré par A et noté ⟨A⟩, c’est d’ailleurs le plus petit
sous groupe de G contenant A.
Réciproquement si H est un sous groupe de G , et s’il existe une
partie A ⊂ G , telle que H = ⟨A⟩, alors A s’appelle partie génératrice
de H .
Remarque 1
1 – ⟨;⟩ = {0}
2 – A est un sous groupe de G si, et seulement si ⟨A⟩ = A.
Remarque 2
Déterminer le sous groupe engendré par A, c’est faire toute les
opérations possibles des éléments de A et de leurs inverses.
⟨A = {a 1 a 2 ...a p /p ∈ N∗ , ∀i ∈ |[1, p ]|, (a i ∈ A ou a i−1 ∈ A)}
3
Groupe monogène, groupe cyclique
Soient G un groupe et a un élément de G .
On montre que le sous groupe engendré par le singleton {a } est le
sous groupe noté ⟨a ⟩ et défini par :
⟨a ⟩ = {a k , k ∈ Z}
Ce groupe s’appelle le sous groupe monogène engendré par l’élément a .
(
Z →G
L’application ϕ :
est un morphisme de groupe dont
k → ak
l’image Imϕ est le sous groupe monogène engendré par a .
– Si ϕ est injective, alors < a > est isomorphe a Z. on dit que a
est d’ordre infini.
– Supposons ϕ est non injective.
ker ϕ qui est un sous groupe de Z est de la forme n Z.
n est le plus petit entier non nul vérifiant a n = e .
n s’appelle l’ordre de a et se note o(a ).
(
an = e
n = o(a ) ⇐⇒
a p = e ⇐⇒ n /p
Dans ces conditions le sous groupe monogène < a > est réduit
à l’ensemble de cardinal n suivant :
< a >= {e , a , .., a n−1 }
Définition 3.1
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini
Exemple 1
G un groupe, (a ,b ) ∈ G 2 tel que : o(a ) = 2, o(b ) = 3 et a b a =
b −1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a ,b }.
Si H = ⟨{a ,b }⟩ alors 1, a ,b, a b,b a ,b 2 ∈ H , pour conclure qu’il
n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K =
{1, a ,b, a b,b a ,b 2 } est un sous groupe de G , à l’aide d’une table
de multiplication.
1
a
b
b2
ab
ba
1
1
a
b
b2
ab
ba
a
a
1
ab
ba
b
b2
b
b
ba
b2
1
a
ab
b2
b2
ab
1
b
ba
a
ab
ab
b2
ba
a
1
b
ba
ba
b
a
ab
b2
1
c/c : H = K
Exercice 1
Montrer que H est isomorphe à S3
Exercice 2
le groupe S 3 est-il cyclique ?
Remarque 3
Un isomorphisme de groupes conserve l’ordre.
En effet, soit f : G → G 0 un isomorphisme de groupes.
Soit a un élément de G .
1 – Si a est d’ordre infini, alors ⟨a ⟩ est isomorphe à Z via l’isomorphisme canonique s , il s’ensuit que f ◦ s est un isomorphisme
de Z vers ⟨f (a )⟩.
f (a ) est donc d’ordre infini.
2 – Supposons maintenant que a est d’ordre fini égal à n. Nous
aurons :
2.a. (f (a ))n = f (a n ) = f (e G ) = e G 0 .
2.b. Soit k ∈ N tel que (f (a ))k = e G 0 , f étant injective, donc
a k = e G , et par suite n divise k .
Ce sont les deux conditions permettant de conclure que
o(f (a )) = n .
Exercice 3
Soit x un élément d’un groupe d’ordre fini, montrer que pour
tout k ∈ N∗ :
o(x )
o(x k ) =
o(x ) ∧ k
Exercice 4
Soient G un groupe, H et K deux sous groupes de G . on pose
H K = {h.k /h ∈ H , k ∈ K }
1 – Montrer que :
H K est un sous groupe de G ssi K H = K H .
2 – On suppose que G est fini, que H K est un sous groupe de G .
Montrer que
card(H).card(K)
card(HK) =
card(H ∩ K)
Exercice 5
Soient H , K deux groupes cycliques de cardinaux resp p,q , montrer que le groupe produit H × K est un groupe cyclique si et
seulement si p ∧ q = 1.
4
L’anneau Z/nZ
On définit sur Z la relation suivante Rn :
x Rn y ⇐⇒ x − y ∈ n Z
(x = y [n ])
On vérifie sans peine que Rn est une relation d’équivalence, appelée
relation de congruence modulo n .
si x ∈ Z alors x̄ = {x + nk , k ∈ Z} = x + n Z est sa classe d’équivalence
modulo n .
notation L’ensemble quotient Z/Rn est noté Z/n Z
Propriété 4.1
Z/n Z = {0̄, 1̄, 2̄, ..., n − 1}.
Preuve
Soit x̄ ∈ Z/n Z, on effectue la division euclidienne de x par n ,
∃p, r tel que :
x = np + r, 0 ≤ r ≤ n − 1, dans ce cas on a : x̄ = r̄
Théorème 4.1
Si pour tout x̄ , ȳ ∈ Z/n Z on pose x̄ +̇ȳ = x + y et x̄ · ȳ = x y , alors
(Z/n Z, +̇, ·) est un anneau commutatif.
(
Définition 4.1
Z → Z/n Z
L’application s :
est une surjection appelée la surjeck 7→ k̄
tion canonique de Z sur Z/n Z.
Exercice 6
Soit n ∈ N.
1 – Montrer que n est divisible par 3 si et seulement si la somme
de ses chiffres (quand on écrit n en base 10) est divisible par 3.
2 – Montrer que n est divisible par 8 si et seulement si le nombre
formé par les trois derniers chiffres de n est divisible par 8.
Théorème 4.2 - Théorème chinoix
Si m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux alors
l’application :
¨
(Z/m n Z) −→ (Z/m Z) × (Z/n Z)
f :
x̄ m n
→
(x̄ m , x̄ n )
est un isomorphisme d’anneaux.
Par conséquent pour tout (a ,b ) ∈ Z2 , le système :
(
x = a [m ]
S :=
x = b [n ]
admet une unique solution modulo m n .
Preuve
f est bien une application parce que si x̄ m n = ȳ m n , alors m n
divise x −y , et par suite chacun des entiers m et n vont diviser
x − y , et donc x̄ m = ȳ m et x̄ n = ȳ n .
Ensuite on vérifie sans peine que f est un morphisme d’anneaux et puis du fait que m et n sont premiers entre eux, alors
ker f = {0̄m n }.
Remarque 4: Solution pratique de S
En écrivant l’identité de Bezout, u m + v n = 1 alors l’unique
solution de S modulo m n est x 0 = b u m + a v n , c’est à dire que
S = x 0 + m n Z.
Exemple 2
Résoudre :
(
x = 5[12]
x = 3[25]
Théorème 4.3
Soit k̄ ∈ Z/n Z, les propriétés suivantes sont équivalentes.
1 – k̄ est un générateur de Z/n Z. (Z/n Z = ⟨k̄ ⟩)
2 – k est premier avec n.
3 – k̄ est inversible dans l’anneau Z/n Z
Preuve
1) =⇒ 2)
⟨k̄ ⟩ = {p k̄ , p ∈ Z}.
1̄ ∈ Z/n Z
=⇒
=⇒
=⇒
∃p, 1̄ = p k̄
∃p,q ∈ Z, 1 = p k + q n
n ∧k =1
2) =⇒ 3) .
n ∧ k = 1 =⇒ ∃p,q ∈ Z, tel que p n + q k = 1
En passant aux classes modulo n , on obtient : 1̄ = q̄ k̄ , et donc
k̄ est inversible dans l’anneau Z/n Z.
3) =⇒ 1)
Soit x̄ ∈ Z/n Z, ∃p ∈ Z : k̄ p̄ = 1̄, ainsi :
x̄ = 1̄x̄ = x̄ k̄ p̄ = x p k̄ .
D’où x̄ ∈ ⟨k̄ ⟩.
Remarque 5
G =< a > est un groupe cyclique d’ordre n , l’application :
¨
Z/n Z −→ G
ϕ:
k̄
→
ak
est un isomorphisme de groupe, et par conséquent :
a k est un générateur de G si et seulement si, k est premier avec
n.
Corollaire 4.1
Z/p Z est un corps si et seulement si p est un nombre premier.
Exercice 7
Résoudre dans Z/37Z le système
(
6̄x + 7̄y = 30
3̄x − 7̄y = 0̄
Exercice 8
Déterminer les morphismes de groupes entre (Z/nZ, +) et
(Z/m Z, +)
Exercice 9
Soit K un corps fini commutatif. Calculer
Q
x ∈K∗
x
Exercice 10
Soit p un nombre premier strictement supérieur à 2.
1 – Quels sont les éléments de Z/p Z qui sont leurs propres inverses ?
2 – En déduire que p /(p − 1)! + 1 (théorème de Wilson)
5
Indicateur d’Euler
Théorème définition 5.1
L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau Z/n Z muni de la
multiplication est un groupe appelé le groupe des unités de l’anneau Z/n Z et son cardinal ϕ(n ) s’appelle l’indicateur d’euler qui
est aussi le cardinal de l’ensemble entiers strictement inférieurs à
n et premiers avec n .
1.5
1
Calcul de l’indicateur d’Euler
Soit p premier et α ∈ N∗ : Montrer que
ϕ(p α ) = (p − 1)p α−1
Soit m et n premiers entre eux.
On rappelle que l’application
¨
Z/m n Z −→
f :
ẋ
→
Z/nZ × Z/m Z
(x̄ , x̄¯ )
réalise un isomorphisme d’anneaux.
En déduire que ϕ(m n ) = ϕ(m )ϕ(n) . (on dit que ϕ est multiplicative).
Application : Calculer ϕ(396).
Qk
α
Soit n ∈ N∗ et n = i =1 p i i sa décomposition primaire.
Montrer que :
ϕ(n ) =
k
Y
α −1
(p i − 1)p i i
i =1
=n
k
Y
i =1
(1 −
1
)
pi
Dans cette question on considère l’anneau (Z/n Z, +, .).
5.a. Montrer que (Z/n Z, +, .) est intégre ssi n est premier ssi
(Z/n Z, +, .) est un corps.
5.b. "Si (G , .) est un groupe fini, alors ∀x ∈ G , o(x ) est fini et
o(x )/cardG" (*)
En utilisant (*) montrer que :
∀a ∈ Z, a ∧ n = 1 =⇒ a ϕ(n ) = 1 [n ]
(Théorème d’Euler)
5.c. En déduire le petit théorème de Fermat :
Si p est premier alors ∀x ∈ Z, x p = x [p ].
5.d. En remarquant que 561 = 3 × 11 × 17, montrer que :
561/(2561 − 2) et 561/(3561 − 3).
5.e. Une application du théorème d’Euler :
Soit n ∈ N, n ∧ 10 = 1.
i)
ii)
2.5
2
Montrer que n admet un multiple qui s’écrit uniquement
avec des 1 en base 10.
Donner un exemple d’un tel multiple dans les cas suivants : n = 19, n = 23 et n = 37.
Système de codage RSA
Soit p et q deux nombres premiers distincts suffisament grands, et
pose n = pq .
– On choisit un entier e avec :
1 < e < ϕ(n ) et e ∧ ϕ(n ) = 1
– Soit d un entier tel que :
1 < d < ϕ(n ) et e d = 1
(modϕ(n))
d¯ est donc l’inverse de ē modulo ϕ(n ).
Une conséquence fondamentale de l’identité d’Euler est la formule
suivante :
Pour tout entier x tel que 1 < x < n , on a :
(x e )d = x (mod n )
• Le couple (n , e ) s’appelle la clef publique de A (cette clef est
publiée sur Internet).
• Le couple (n , d ) s’appelle la clef privée de A (p,q et d doivent
rester secrets).
• x le message non crypté, x e message codé, la formule permet
alors de retrouver le message non crypté à l’aide de la clef privée.
Solution
Puisque e d = 1 (mod ϕ(n )), ∃k ∈ N tel que :
e d − ϕ(n )k = 1
Distinguons les deux cas suivants :
• Si x ∧ n = 1, D’après le théorème d’Euler on a :
x ϕ(n) = 1 [n]
e d = 1 + k ϕ(n ), donc
x e d = x [n ]
. • Si x ∧ n 6= 1, alors x est un multiple de p ou x est un multiple de q .
Remarquons d’abord que x ne peut pas être un multiple commun de
p et de q , sinon, n /x ce qui est impossible car 1 < x < n.
Supposons que p /x et que q 6| x (de même si q /x et p 6| x ), alors x p −1 6= 0
(mod q ) d’où (x p −1 )q −1 = 1 (mod q ).
Ainsi, (x e )d = x 1 (x ϕ(n) )k = x (mod q ), encore (x e )d = x = 0 (mod p ),
donc (x e )d = x (mod n ).
Exemple d’application 1
on prend p = 7,q = 17, e = 11, n = 119 et ϕ(n ) = 96.
1 – Trouver d tel que 1 < d < 96 et e d = 1 (mod 96).
2 – On veut envoyer le message x = 5 à la personne A. Calculer
y = x e (mod n ) (on chiffre le message x avec la clef publique
de A).
3 – A reçoit le message crypté y . Calculer y d (mod n), et montrer que A peut retrouver le message original x (A déchiffre le
message codé y avec sa clef privée).
Solution
1 – On a e ∧ ϕ(n ) = 1, déterminer l’inverse d de e modulo 96 revient à
la détermination des coeffcients de Bezout de l’indentité :
96k + e d = 1
Par l’algorithme des division successives, on trouve d = 35.
2 – Calcul de 511 (mod 119) : pour simplifier les calculs, on écrit l’exposant 11 en binaire : 11 = (1011)2 , d’où
511 = 52.52.51 = 67.25.5 = 45 (mod 119).
3 – Calcul de y d = (45)35 (mod n). on écrit l’exposant 35 en binaire :
35 = (100011)2 , d’où
5
y d = 452 .452 .45 = 18.2.45 = 5
(mod119).
Lorsque A reçoit le message y , il calcule y d (mod n ) et obtient x , car
y d = (x e )d = x (mod n ).
6
Idéal d’un anneau
Rappelons qu’un anneau est un ensemble muni de deux LCI, l’une
notée additivement et l’autre multiplicativement et tel que :
(A, +) est un groupe commutatif
La loi . est associative et admet un élément neutre noté 1.
la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Définition 6.1
Soit (A, +, .) un anneau commutatif.
Une partie I de A est dite un idéal de A si :
1 – (I , +) est un sous groupe de (A, +).
2 – ∀a ∈ I , ∀x ∈ A : a x ∈ I (on dit que les éléments de I sont
absorbants).
Proposition 6.1
Soit I un idéal de A.
I = A ⇐⇒ 1A ∈ I
Preuve
=⇒) trivial.
⇐=) Soit x ∈ A,
1A ∈ I =⇒ x = 1A x ∈ I =⇒ I = A.
Remarque 6
Par conséquent si I est un idéal contenant aux moins un élément inversible a , alors 1A = a a −1 ∈ I , par suite I ne peut être
aussi que l’idéal A.
Propriété 6.1
La somme et l’intersection de deux idéaux de A est un idéal de A.
Exemple 3
n Z est un idéal de (Z, +, .).
Propriété 6.2
Soient A, B deux anneaux commutatifs et ϕ : A → B un morphisme
d’anneaux :
1 – ∀x , y ∈ A : f (x + y ) = f (x ) + f (y ).
2 – f (x y ) = f (x )f (y ).
3 – f (1A ) = 1 B
Alors kerf = {x ∈ A, f(x) = 0B } est un idéal de A.
Théorème définition 6.1
Soit H une partie de A, l’intersection de tous les idéaux de A contenat H est idéal de A, appelé L’idéal engendré par H , noté ⟨H ⟩, c’est
d’ailleurs le plus petit idéal de A contenant H .
Théorème 6.1
Si a est un élément de A, alors l’idéal engendré par {a } est l’ensemble :
a A = {a x /x ∈ A}
noté ⟨a ⟩, appelé l’idéal principal engendré par a .
Exercice 11
On pose
p
p
Z[ 2] = {a + b 2, (a ,b ) ∈ Z2 },
p
p
Q[ 2] = {a + b 2, (a ,b ) ∈ Q2 }
p
1 – vérifier que (Z[ 2], +, .) est un anneau et que le plus petit
p
p
sous Corps de C contenant Z[ 2] est Q[ 2].
p
p
2 – Pour z = a + b 2 on pose z = a − b 2 et N (z ) = z z , établir
que N vérifie :
– N (z z 0) = N (z )N (z 0 ).
– N (z ) = 0 ⇒ z = 0.
p
– N (z ) ∈ {−1, 1} ⇐⇒ z inversible dans Z[ 2].
p
p
3 – Montrer que : ∀a ∈ Q[ 2]∃z ∈ Z[ 2] tel que : |N (a − z )| < 1.
4 – En déduire que :
p
p
p
∀z ∈ Z[ 2], ∀z 0 ∈ Z[ 2]\{0}, ∃q, r ∈ Z[ 2]
tel que : z = q z 0 + r et |N (z )| < |N (z 0 )|.
p
Déteminer alors tous les ideaux de Z[ 2].
7
Divisibilité dans un anneau commutatif
Définition 7.1
Soient A un anneau commutatif intègre et a ,b ∈ A.
on dit que a divise b et on ecrit a /b s’il existe c ∈ A tel que b = a c
Remarque 7
a /b si et seulement si b ∈ ⟨a ⟩.
Propriété 7.1
a /b ⇐⇒ ⟨b ⟩ ⊂ ⟨a ⟩
Preuve
=⇒) Soit x ∈ ⟨b ⟩, donc ∃p ∈ A tel que : x = pb , b = c a donc
x = p c a ∈ ⟨a ⟩
⇐=) b ∈ ⟨b ⟩ ⊂ ⟨a ⟩, donc ∃c ∈ A, b = c a et par suite a /b
Théorème 7.1
Les idéaux de Z sont de la forme n Z
Preuve
Vient du fait que les sous groupes de (Z, +) sont de la forme n Z,
et que pour tout n ∈ N, n Z est un idéal de Z.
Application
Soient p,q ∈ Z, on a p Z +q Z et p Z ∩q Z sont des idéaux de Z, il existe
donc deux entiers d , m tel que p Z + q Z = d Z et p Z ∩ q Z = m Z. Montrons que d = pgcd(p, q) et m = ppcm(p, q).
• d = pgcd(p, q)
p Z ⊂ p Z + q Z = d Z =⇒ d /p et de même d /q
Soit r un diviseur commun de p et q , on aura p Z ⊂ r Z et q Z ⊂ r Z
donc p Z + q Z ⊂ r Z c’est à dire d Z ⊂ r Z et par suite r /d , ainsi
d = pgcd(p, q).
• m = ppcm(p, q)
m Z = p Z ∩ q Z ⊂ p Z donc p /m et de même q /m .
Soit M un multiple commun de p et q , on aura M Z ⊂ p Z et de même
M Z ⊂ q Z, ce qui fait que m Z ⊂ p Z ⊂ q Z = m Z ainsi m /M et par
conséquent m = ppcm(p, q).
d ∈ N,
m ∈ N,
d Z = p Z + q Z ⇐⇒ d = pgcd(p, q)
m Z = p Z ∩ q Z ⇐⇒ m = ppcm(p, q)
De ces résultats on déduit les deux fameux théorèmes.
Théorème 7.2
(Théorème de Bezout)
p et q premiers entre eux ⇐⇒ ∃u , v ∈ Z, p u + q v = 1
Preuve
Le sens indirect est évident.
Pour le sens direct, p g c d (p,q ) = 1, d’après ce qui précéde, Z =
p Z + q Z, l’identité de Bezout en découle en disant que 1 ∈ Z =
p Z + q Z et donc il existe p,q ∈ Z tel que 1 = u p + v q .
Théorème 7.3
(Théorème de Gauss)
p /a b et p premier avec a =⇒ p /b
8
L’anneau K[X ]
Théorème 8.1
Si I est un idéal non nul de K[X ], alors il existe un unique polynôme unitaire π tel que I =< π >
Preuve
Pour l’existence, on s’inspire du cas de Z, du fait que Z et K[X ]
ont la propriété commune d’être des anneaux "euclidiens".
En effet : Soit I un idéal de K[X ], Soit
n = min{deg P, P ∈ I \{0}}
Soit P0 un polynôme réalisant ce minimum, en divisant par
son coefficient dominant, on se ramène à un polynôme unitaire π tout en restant dans I , I est un idéal de K[X ], donc
< π >⊂ I , soit maintenant P ∈ I , on effectue la division euclidienne par P, P = Qπ + R, avec deg R < n ou R = 0.
R = P −Qπ, donc R ∈ I et par minimalité de π, on obtient R = 0
et donc P = Qπ.
Pour l’unicité, on utilise le fait que si P et Q sont deux polynômes qui se divisent mutuellement, alors ils sont associés et
si en plus ils sont unitaires alors ils seront égaux.
Application
Comme pour Z si P et Q sont deux polynômes non nuls de K[X ],
alors
< P > + < Q > et < P > ∩ < Q > sont des ideaux de K[X ], donc ils
existent deux polynômes unitaires D et M tels que :
< P > + < Q >=< D >,
< P > ∩ < Q >=< M >
D est alors le PGCD de P et Q, M le PPCM de P et Q. Nous avons
aussi :
Théorème 8.2
(Théorème de Bezout)
P et Q deux polynômes premiers entre eux, alors :
il existe U , V ∈ K[X ], U P + VQ = 1
Théorème 8.3
(Théorème de Gauss)
D/PQ et P premier avec Q, alors : P/Q
9
Polynôme minimal
A une K algèbre, 
a ∈A.
L’application ϕ :
K[X ]
n
X
 P=
akXk
−→
A

k =0
morphisme d’algèbre :
→
P(a ) =
n
X
k =0
akak
est un
(PQ)(a ) = P(a )Q(a ).
(P + λQ)(a ) = P(a ) + λQ(a ).
ϕ(1) = 1A
Supposons que ϕ n’est pas injective, alors ker ϕ est un idéal non nul
de K[X ], il existe un polynôme Πa unitaire unique tel que :
ker ϕ =< Πa >= {QΠa , Q ∈ K[X ]}
Πa est l’unique polynôme unitaire tel que :
Πa (a ) = 0 et ∀P ∈ K[X ], P(a ) = 0 =⇒ Πa /P.
Définition 9.1
Πa s’appelle le polynôme minimal de a , et tout polynôme de ker ϕ
s’appelle un polynôme annulateur de a .
Notation : Imϕ = {P(a), P ∈ K[X]} est noté K[a ].
Exemples 1
p
1 – R étant une Q algèbre, soit a = 2 + 1.
2
Nous avons (a − 1) = 2, donc a admet un polynôme minimal
et Πa /(X − 1)2 − 2.
Si deg Πa = 1, alors Πa = X + α, avec α ∈ Q.
Or Πa (a ) = 0 et donc a = −α ∈ Q, ce qui est impossible, donc
Πa = (X − 1)2 − 2 = X 2 − 2X − 1.
2 – u un endomorphisme nilpotent d’indice p ;
u p = 0 et u p −1 =
6 0, le polynôme minimal de u est donc Πu =
Xp.
‚
1
3– a =
3
Œ
2
. M 2 (R) étant une R-algèbre.
4
‚
Œ
7 10
a2 =
= 5a + 2I 2
15 22
a n’est pas une matrice scalaire, donc elle ne peut pas annuler
un polynôme de degré 1, et donc le polynôme minimal de a
est :
Πa = X 2 − 5X − 2
4 – Dans l’algèbre L (R[X ]) soit u l’endomorphisme Q → Q 0 .
Supposons qu’il existe un polynôme
n
P
P = a k X k annulateur de u ;
n
P
k =0
k =0
a k u k = 0, en appliquant par exemple au polynôme de
degré n : Q = X n , on obtient
n
P
a k Q (k ) , mais on sait que la famille (Q (k ) )0≤k ≤n est libre, donc
k =0
∀k : a k = 0.
On déduit que u n’admet pas polynôme minimal.
Propriété 9.1
K[a ] est la plus petite sous algèbre de A contenant a .
Preuve
Du fait que ϕ est un morphisme d’algèbre alors
K[a ] = Imϕ est une sous algèbre en plus contenant a .
Soit B une sous algèbre de A contenant a , donc
∀k ∈ N, a k ∈ B , et par combinaison linéaire, on aura ∀P ∈
K[X ], P(a ) ∈ B , d’où K[a ] est la plus petite sous algèbre de A
contenant A .
Proposition 9.1
Si A est intègre, alors Πa est irréductible.
Preuve
Soient P et Q deux polynômes tels que Πa = PQ.
0 = Πa (a ) = P(a )Q(a ) et A intègre, donc P(a ) = 0 ou Q(a ) = 0,
et par suite Πa divise P ou Q, et comme déja P et Q divisent Πa ,
donc (Πa et P) ou (Πa et Q ) sont associés, d’où l’irréductibilité
de Πa .
Proposition 9.2
a admet un polynôme minimal ssi K[a ] est une sous-algèbre de
dimension finie, et dans ce cas
dim K[a ] = deg Πa .
Preuve
=⇒) On suppose que a admet un polynôme minimal Πa de
degré égal à n . Soit P(a ) ∈ K[a ], on effectue la division euclidienne de P par Πa , il existe Q, R ∈ K[X ] tel que P = QΠa + R,
avec R = 0 ou deg R < n, on applique à a , on obtient
P(a ) = R(a ) =
n −1
X
k =0
b k a k ∈ vect{1, a, .., an−1 }
On en déduit que la famille {1, ..., a n−1 } est génératrice de K[a ],
et donc K[a ] est de dimension finie.
Montrons maintenant que dim K[a ] = n , pour cela on vérifie
que cette famille est libre.
n−1
P
Soit (a k )0≤k ≤n−1 des scalaires tels que
a k a k = 0, le polyk =0
nôme
nP
−1
a k X k est donc un polynôme annulateur de a de degré
P=
k =0
strictement inférieur à n , par minimalité de Πa , P ne peut être
que le polynôme nul, ce qui fait que les scalaires a k sont tous
nuls.
⇐=) On suppose que K[a ] est un K-ev de dimension finie égale
à n, la famille (a k )0≤k ≤n est constituée de n + 1 vecteurs, donc
elle est liée, c’est à dire l’existence de scalaires (a k )0≤n non tous
nuls tels que
n
n
P
P
a k X k est donc un polynôme non nul ana k a k = 0, P =
k =0
k =0
nulateur de a , d’où l’existence du polynôme minimal.
10
Compléments
Proposition 10.1
On suppose que a admet un pomi, si P ∈ K[X ] alors
P(a ) est inversible dans K[a ] ssi P est premier avec Πa .
Preuve
=⇒) Soit x = P(a ) un élément inversible, donc il existe
Q ∈ K[X ] tel que P(a )Q(a ) = 1, et dans ce cas Πa /1 − PQ, il
existe U ∈ K[X ] tel que U Πa +PQ = 1, c’est l’identité de bezout
qui est réalisée, d’où P et Πa sont premiers entre eux.
⇐=) On n’a qu’à remonter le sens direct.
Théorème 10.1
Si A est intègre alors K[a ] est un corps.
Preuve
Soit P(a ) un élément non nul de A , donc Πa ne divise pas P et
comme Πa est irréductible, donc Πa et P sont premiers entre
eux, et en utilisant la proposition précédente x = P(a ) est non
inversible.
Exercice 12
Soit a une racine complexe de X 3 + X + 1, déterminer le polynôme minimal de a sur Q et donner les coordonnées de a 5 dans
{1, a , a 2 }
Exercice 13
A une algèbre et a un élément de A . On suppose que a admet
un pomi, Montrer que si P ∈ K[X ] alors
P(a ) est inversible dans K[a ] ssi P est premier avec Πa .
Exercice 14
A une algèbre et a un élément de A admettant un pomi.
Montrer que si A est intègre alors K[a ] est un corps.
Exercice 15
C étant considéré comme une Q algèbre, a un élément algèbrique de C, montrer que les racines du polynôme minimal de a
sont toutes simples