Algèbre générale

Cours de Mathématiques
Algèbre générale
Hajmi

11Sous groupes de Z
Théorème 1.1
Les sous groupes de Zsont de la forme nZ.
Preuve
Déja pour tout n∈N,nZest bien un sous groupe de Z.
Soit maintenant H un sous groupe quelconque de Z , si H = { 0 } ,
on prend n=0, sinon
Soit n = min{x∈H,x> 0 } , H est un sous groupe de Z , donc
nZ⊂H , soit maintenant x∈H , on effectue la division eucli-
dienne par n,x=nq +r, avec r<n.
r = x−nq , donc r∈N∩H et 0 ≤r<n , par minimalité de n ,
on obtient r=0 et donc x=nq ∈nZ, et par suite H=nZ.
22Groupe engendré
Soit A une partie d’un groupe G , l’intersection de tous les sous
groupes de G contenant A est un sous groupe de G , appelé le sous
groupe de Gengendré par A et noté 〈A〉 , c’est d’ailleurs le plus petit
sous groupe de Gcontenant A.
Réciproquement si H est un sous groupe de G , et s’il existe une
partie A⊂G , telle que H = 〈A〉 , alors A s’appelle partie génératrice

de H.
Remarque 1
1 – 〈;〉={0}
2 – Aest un sous groupe de Gsi, et seulement si 〈A〉=A.
Remarque 2
Déterminer le sous groupe engendré par A , c’est faire toute les
opérations possibles des éléments de Aet de leurs inverses.
〈A={a1a2...ap/p∈N∗,∀i∈|[1, p]|,(ai∈Aou a−1
i∈A)}
33Groupe monogène, groupe cyclique
Soient Gun groupe et aun élément de G.
On montre que le sous groupe engendré par le singleton {a} est le
sous groupe noté 〈a〉et défini par :
〈a〉={ak,k∈Z}
Ce groupe s’appelle le sous groupe monogène engendré par l’élé-
ment a.
L’application ϕ :
(Z→G
k→ak
est un morphisme de groupe dont
l’image Imϕest le sous groupe monogène engendré par a.
– Si ϕ est injective, alors <a> est isomorphe a Z . on dit que a
est d’ordre infini.
– Supposons ϕest non injective.

kerϕqui est un sous groupe de Zest de la forme nZ.
nest le plus petit entier non nul vérifiant an=e.
ns’appelle l’ordre de aet se note o(a).
n=o(a)⇐⇒(an=e
ap=e⇐⇒n/p
Dans ces conditions le sous groupe monogène <a> est réduit
à l’ensemble de cardinal nsuivant :
<a>={e,a,..,an−1}
Définition 3.1
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini
Exemple 1
G un groupe, ( a,b ) ∈G2 tel que : o ( a ) = 2 ,o ( b ) = 3 et ab a =
b−1, déterminons le sous groupe de Gengendré par {a,b}.
Si H = 〈{a,b}〉 alors 1 ,a,b,ab,b a ,b2∈H , pour conclure qu’il
n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K =
{ 1 ,a,b,ab,b a ,b2} est un sous groupe de G , à l’aide d’une table
de multiplication.
1a b b2ab b a
1 1 a b b2ab b a
a a 1ab b a b b2
b b ba b 21a ab
b2b2ab 1b b a a
ab a b b2ba a 1b
ba ba b a ab b21

c/c : H=K
Exercice 1
Montrer que Hest isomorphe à S3
Exercice 2
le groupe S3est-il cyclique ?
Remarque 3
Un isomorphisme de groupes conserve l’ordre.
En effet, soit f:G→G0un isomorphisme de groupes.
Soit aun élément de G.
1 – Si a est d’ordre infini, alors 〈a〉 est isomorphe à Z via l’isomor-
phisme canonique s , il s’ensuit que f◦s est un isomorphisme
de Zvers 〈f(a)〉.
f(a)est donc d’ordre infini.
2 – Supposons maintenant que a est d’ordre fini égal à n . Nous
aurons :
2.a.(f(a))n=f(an) = f(eG) = eG0.
2.b. Soit k∈N tel que ( f ( a ))
k
= eG0 , f étant injective, donc
ak=eG, et par suite ndivise k.
Ce sont les deux conditions permettant de conclure que
o(f(a)) = n.