Essai sur la Conjecture des nombres premiers n ²+1
Essai sur les Nombres Premiers
+1
Note: On tente de démontrer la conjecture des nombres premiers
+1).
Essay on Primes Numbers
+1
Abstract: We try to prove the conjecture on Prime Numbers (
+1).
Démonstration par l’absurde.
Hypothèse : Il existe un entier N pair tel que :
2)
Soit le polynôme à valeurs entières
, .
Or d’après le théorème de Lagrange tout entier est somme de 4 carrés.
Il s’ensuit que Q(t)=!
"
#
"
$
"
%
"
.
Détermination des entiers !
"
#
"
$
"
%
"
De Q(t) =
"
"
avec
"
"
&
"
,
"
'
"
(
"
où
"
'
"
)*! nous tirons les égalités :
!
"
"
'
"
,#
"
"
(
"
$
"
&
"
'
"
%
"
&
"
(
"
!
!
"
%
"
#
"
$
"
.
La dernière relation amène à considérer les triangles rectangles dont les côtés de
l’angle droit sont de longueurs !
"
et %
"
(resp. #
"
$
"
et dont l’hypoténuse est
de longueur +!
"
%
"
(resp. +#
"
$
"
).
Ces 2 hypoténuses sont alors vues comme les côtés d’un triangle rectangle
d’hypoténuse de longueur ,
"
+!
"
%
"
#
"
$
"
.
Nous procédons de même avec +
+
-
avec pour résultat un triangle rectangle d’hypoténuse dont la longueur est
!,
"
=+
- .
On construit maintenant le cercle .
/
de centre O et de diamètre 0
/
1
/
dont la
longueur est ,
"
(cf. figure).
Les sommets de l’angle droit des 2 triangles rectangles inscrits dans.
/
sont notés G et H, ce qui donne :
21
/
23 24.
La loi du cosinus appliquée aux triangles OH1
/
et OG1
/
induit les relations
suivantes :
56
57
"
8 56 57
"
$) 9
"
!
"
%
"
,
5:
57
"
8 5: 57
"
$);
"
A partir de la relation21
/
23 24, on obtient :
<=>?@A
B
<=>?@C
B
!
"
%
"
) .
D*!*
<=>?@A
B
<=>?@C
B
= E
"
/F
"
tel que (E
"
F
"
) = 1
et ainsi F
"
divise!
"
%
"
)%
G
)H F
"
= I
"
J
"
.
Alors !
"
%
"
I
"
J
"
"
*
"
.
Donc K E
"
"
K *
"
K où E
"
"
+
"
.
L!!))#M :
9)
"
+*
"
alors la primalité de
est violée,
;)
"
*
"
= 1 alors
=
"
+
"
.
D)!#!, on a ainsi une famille infinie de cercles concentriques
.
/
de centre O de diamètres de longueur ,
"
+!
"
%
"
#
"
$
"
vérifiant la relation :
"
"
.
Or d’après le théorème de Fermat tout nombre premier p N )%- est somme
de 2 carrés d’une seule façon.
Conclusion.
Le polynôme Q(t) ne peut donc exister.
Théorème : L’ensemble des nombres premiers de la forme (
est infini.
Bibliographie.
A. Ferrer : Les Nombres Premiers, Librairie Vuibert, 1947.
M.MADANI Bouabdallah
La Pallu
61320 La Lande de Goult.
Tel 02 33 28 59 47
madanibouabdallah@hotmail.fr
Figure du cercle .
/
1
/
3
100%
