Combinaisons. Binôme de Newton

Combinaisons.Binômede Newton
Factorielles
•Onpose0!=1etpourtoutentiernaturelnonnuln!=1×2×...(n−1)×n.
•Pourtoutentiernatureln,ona(n+1)!=(n+1)×n!.
Lespremièresfactorielles
0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!=5040.
Combinaisons
SoientnunentiernaturelnonnuletEunensembleànéléments.Pourtoutentiernaturelp,unecombinaisonàp
élémentsdeEestunepartieàpélémentsdeE.
Onnoten
plenombredecombinaisonsàpélémentsd’unensembleànéléments.Onadoncn 0=1etsip>n,
n
p=0.
Ensuite,pournetpentiersnaturelstelsque1≤p≤n,lenombredecombinaisonsàpélémentsd’unensembleàn
élémentest
n
p=
pfacteurs
z}| {
n(n−1)...(n−p+1)
p!
Propriétésdescombinaisons
•Pourtoutentiernatureln,n
0=n n=1.
•Pournetpentiersnaturelstelsquen≥1et0≤p≤n,n
p=n!
p!(n−p)!.
•Pournetpentiersnaturelstelsque0≤p≤n−1,n
p+n p+1=n+1
p+1.
Trianglede Pascal
n
p+n
p+1=n+1
p+1
np0 1 2 3 4 5
010 0 0 0 0
11 1 0 0 0 0
21 2 1 0 0 0
313 3 10 0
41 4 64 1 0
51 5 1010 5 1
Formuledubinômede Newton
Pourtousnombrescomplexesaetbettoutentiernaturelnonnuln,
(a+b)n=an+n
1an−1b+n
2an−2b2+...+n
n−2a2bn−2+n
n−1abn−1+bn.
Ainsi,
•(a+b)1=a+b
•(a+b)2=a2+2ab+b2
•(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
•(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
•(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
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