TD1-Chap1-Solutions-1

§1. Analyse Combinatoire
Exercice 1.1. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.
1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ?
2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ?
3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ?
Solution. (1) 6! (2) A4
6=6!
2! =360 (3) 64=1296
Exercice 1.2. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combien de possi-
bilités peut-on dénombrer ?
Solution. 2C4
8=¡8
4¢=28! 4!4! =140
Exercice 1.3. De combien de manières peut on arranger les nombres 1,. . . ,5 comme, 13524, 25134,
etc ?
Solution. 5! =120
Exercice 1.4. Combien d’arrangements différents y at-il des nombres 1,2,. . . , 7, telle que les 3 pre-
miers chiffres sont 1,2,3 (dans n’importe quel ordre) et les 4 derniers chiffres sont 4,5,6,7 (dans n’im-
porte quel ordre) ?
Solution. Il y a 3! =6 façons pour arranger les 3 premiers chiffres et il y a 4! =24 façons pour arranger
les 4 dernires chiffres. On utilise le principe fondamental de l ’analyse combinatoire pour avoir 3!×4! =
144 façons pour arranger les 7 chiffres de la manière demandée.
Exercice 1.5. Une urne a 1000 balles, marqués 000, 001,. . . , 999. Combien de balles y a t’il qui ont
tous les numéros dans l’ordre croissant (par exemple 047 et 489, mais pas 033 ou 321) ?
Solution. Il y a 10×9×8=720 boules avec des numéros différents. Chaque triple de numéros peuvent
être disposés en 3! =6 façons, et une seule de ces façons est dans l’ordre croissant. Ainsi, le nombre
total de boules dans l’ordre croissant est 720/6 =120.
Exercice 1.6. Dans un groupe de 20 personnes chaque personne a une date de naissance différente.
Combien d’arrangements différents de ces anniversaires y a t’il (en supposant que dans chaque année
il y a 365 jours) ?
Solution. Le probleme est équivalent à arranger 20 parmis 365 donc on a A20
365 =365!
(365−20)!≈1.03669 ×
1051.
Exercice 1.7. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes se présentent.
1. Combien de recrutements distincts sont possibles ?
2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements distincts sont
possibles ?
Solution. (1) Probleme équivalent a choisir 4 parmis 14 donc C4
14 =14!
10!4! =1001.
(2) On utilise le principe fondamental de l ’analyse combinatoire pour avoir C2
6×C2 8=420.
Exercice 1.8. Combien existe-t-il de plaques minéralogiques à 7 caractères
(a) si les deux premiers sont des lettres et les 5 autres des chiffres ?
(b) même question en supposant que les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même plaque sont
exclues.
Solution. (a) Arrangent avec répetitions donc il y a 262×105.
(b) Arrangent sans répetitions donc il y a A2
26 ×A5
10 =26!
24!
10!
5! =19656000.
Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS

Exercice 1.9. John, Jim, Jay et Jack ont formé un orchestre à 4 instruments. Si chacun des garçons
peut jouer des 4 instruments, combien d’arrangements peut-on concevoir ? Que se passe-t-il si John
et Jim peuvent jouer des 4 instruments mais si Jay et Jack ne savent jouer qu’au piano ou à la batterie ?
Solution. (a) 4! =24 (b) 2 ×2=4
Exercice 1.10. On doit asseoir sur un rang 4 Américains, 3 Français et 3 Anglais. Les gens de même
nationalité doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ?
Solution. Il y a 4! façons d ’arranger les américains entre eux, 3! façons d ’arranger les français entre
eux et 3! façons d ’arranger les anglais entre eux. Il y a aussi 3! façons d ’arranger les 3 nationaliés.
Donc on en tout 4! ×3! ×3! ×3! =5184 façons.
Exercice 1.11. Supposons qu’on a 3 garçons et 3 filles.
(a) de combien de manières peut-on asseoir en rang les 3 garçons et 3 filles ?
(b) même question si les garçons doivent rester ensemble et les filles aussi ;
(c) même question si seuls les garçons doivent rester ensemble ;
(d) même question si deux personnes du même sexe ne doivent jamais voisiner.
Solution. (a) 6! =720 (b) 3! ×3! ×2=72 (c) 3! ×3! ×4=144 (d) 3 ×3×2×2×2=72
Exercice 1.12. Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres des mots suivants :
(a) PINTE (b) PROPOSE (c) MISSISSIPPI (d) ARRANGE
Solution. (a) 5! =120 (b) 7!/4 =1260 (c) 11!/(4!4!2)=34,650 (d) 7!/(4) =1260
Exercice 1.13. Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges, 1 blanc et 1 bleu.
(a) De combien de manières peut-il les ranger ?
(b) S’il tient à placer les noirs les uns derrière les autres, de combien de manières peut-il les ranger ?
Solution. (a) 12!
6!4!1!1! =27720 (b) 7! 4!1!1!1! =210
Exercice 1.14. De combien de manières peut-on asseoir 8 personnes en rang si :
(a) aucune restriction n’est mise ;
(b) les personnes A et B veulent être ensemble ;
(c) les hommes ne doivent avoir que des voisines et inversement, en supposant qu’il y a 4 hommes et
4 femmes ;
(d) les hommes, qui sont 5, doivent rester ensemble ;
(e) les personnes forment 4 couples de gens mariés et si chaque couple doit rester réuni.
Solution. (a) 8! =40320 (b) 2×7! =10080 (c) 2(4!)2=1152 (d) 5!4! =2880 (e) 4!×24=
384
Exercice 1.15. Une femme a 8 amies et décide d’en inviter 5 à prendre le thé.
(a) De combien de manières peut-elle s’y prendre si deux d’entre elles ne viendront pas ensemble ?
(b) Et si au contraire deux d’entre elles ne viendront que si l’autre est aussi invitée ?
Solution. (a) C0
2C5 6+C1
2C4 6=36, (b) C0
2C5 6+C2
2C3
6=26
Exercice 1.16. Développer ¡3x2+y¢5.
Solution. ¡3x2+y¢5=
5
P
k=0
¡5
k¢¡3x2¢n−k¡y¢k=243x10 +405x8y+270x6y2+90x4y3+15x2y4+y5
Exercice 1.17. Si 12 personnes doivent être réparties en 3 comités comptant respectivement 3, 4 et 5
individus, de combien de manières peut-on s’y prendre ?
Solution. C3
12 ×C4
9×C5
5=27,720
Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS

Exercice 1.18. Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans 4 écoles.
(a) Combien y a-t-il d’affectations possibles ?
(b) Qu’en est-il si l’on impose que chaque école recevra deux professeurs ?
Solution. (a) 48=65536 (b) C2
8×C2 6×C2 4×C2 2=2520
Exercice 1.19. On veut former un comité de 7 personnes, dont 2 républicains, 2 démocrates et 3
indépendants. On a le choix parmi 5 républicains, 6 démocrates et 4 indépendants. De combien de
manières peut-on procéder ?
Solution. ¡5
2¢¡6 2¢¡4 3¢=600
Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS