§1. Analyse Combinatoire Exercice 1.1. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet. 1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ? 2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ? 3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ? Solution. (1) 6! (2) A 46 = 6! 2! = 360 (3) 64 = 1296 Exercice 1.2. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combien de possibilités peut-on dénombrer ? ¡ ¢ 8! Solution. 2C 84 = 84 = 2 4!4! = 140 Exercice 1.3. De combien de manières peut on arranger les nombres 1,. . . ,5 comme, 13524, 25134, etc ? Solution. 5! = 120 Exercice 1.4. Combien d’arrangements différents y at-il des nombres 1,2,. . . , 7, telle que les 3 premiers chiffres sont 1,2,3 (dans n’importe quel ordre) et les 4 derniers chiffres sont 4,5,6,7 (dans n’importe quel ordre) ? Solution. Il y a 3! = 6 façons pour arranger les 3 premiers chiffres et il y a 4! = 24 façons pour arranger les 4 dernires chiffres. On utilise le principe fondamental de l ’analyse combinatoire pour avoir 3!×4! = 144 façons pour arranger les 7 chiffres de la manière demandée. Exercice 1.5. Une urne a 1000 balles, marqués 000, 001,. . . , 999. Combien de balles y a t’il qui ont tous les numéros dans l’ordre croissant (par exemple 047 et 489, mais pas 033 ou 321) ? Solution. Il y a 10×9×8 = 720 boules avec des numéros différents. Chaque triple de numéros peuvent être disposés en 3! = 6 façons, et une seule de ces façons est dans l’ordre croissant. Ainsi, le nombre total de boules dans l’ordre croissant est 720/6 = 120. Exercice 1.6. Dans un groupe de 20 personnes chaque personne a une date de naissance différente. Combien d’arrangements différents de ces anniversaires y a t’il (en supposant que dans chaque année il y a 365 jours) ? Solution. Le probleme est équivalent à arranger 20 parmis 365 donc on a A 20 365 = 51 10 . 365! (365−20)! ≈ 1.03669 × Exercice 1.7. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes se présentent. 1. Combien de recrutements distincts sont possibles ? 2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements distincts sont possibles ? 14! 4 Solution. (1) Probleme équivalent a choisir 4 parmis 14 donc C 14 = 10!4! = 1001. (2) On utilise le principe fondamental de l ’analyse combinatoire pour avoir C 62 ×C 82 = 420. Exercice 1.8. Combien existe-t-il de plaques minéralogiques à 7 caractères (a) si les deux premiers sont des lettres et les 5 autres des chiffres ? (b) même question en supposant que les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même plaque sont exclues. Solution. (a) Arrangent avec répetitions donc il y a 262 × 105 . 10! (b) Arrangent sans répetitions donc il y a A 226 × A 510 = 26! 24! 5! = 19656000. Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS Exercice 1.9. John, Jim, Jay et Jack ont formé un orchestre à 4 instruments. Si chacun des garçons peut jouer des 4 instruments, combien d’arrangements peut-on concevoir ? Que se passe-t-il si John et Jim peuvent jouer des 4 instruments mais si Jay et Jack ne savent jouer qu’au piano ou à la batterie ? Solution. (a) 4! = 24 (b) 2 × 2 = 4 Exercice 1.10. On doit asseoir sur un rang 4 Américains, 3 Français et 3 Anglais. Les gens de même nationalité doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ? Solution. Il y a 4! façons d ’arranger les américains entre eux, 3! façons d ’arranger les français entre eux et 3! façons d ’arranger les anglais entre eux. Il y a aussi 3! façons d ’arranger les 3 nationaliés. Donc on en tout 4! × 3! × 3! × 3! = 5184 façons. Exercice 1.11. Supposons qu’on a 3 garçons et 3 filles. (a) de combien de manières peut-on asseoir en rang les 3 garçons et 3 filles ? (b) même question si les garçons doivent rester ensemble et les filles aussi ; (c) même question si seuls les garçons doivent rester ensemble ; (d) même question si deux personnes du même sexe ne doivent jamais voisiner. Solution. (a) 6! = 720 (b) 3! × 3! × 2 = 72 (c) 3! × 3! × 4 = 144 (d) 3 × 3 × 2 × 2 × 2 = 72 Exercice 1.12. Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres des mots suivants : (a) PINTE (b) PROPOSE (c) MISSISSIPPI (d) ARRANGE Solution. (a) 5! = 120 (b) 7!/4 = 1260 (c) 11!/ (4!4!2) = 34, 650 (d) 7!/(4) = 1260 Exercice 1.13. Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges, 1 blanc et 1 bleu. (a) De combien de manières peut-il les ranger ? (b) S’il tient à placer les noirs les uns derrière les autres, de combien de manières peut-il les ranger ? Solution. (a) 12! 6!4!1!1! = 27720 (b) 7! 4!1!1!1! = 210 Exercice 1.14. De combien de manières peut-on asseoir 8 personnes en rang si : (a) aucune restriction n’est mise ; (b) les personnes A et B veulent être ensemble ; (c) les hommes ne doivent avoir que des voisines et inversement, en supposant qu’il y a 4 hommes et 4 femmes ; (d) les hommes, qui sont 5, doivent rester ensemble ; (e) les personnes forment 4 couples de gens mariés et si chaque couple doit rester réuni. Solution. (a) 8! = 40320 384 (b) 2 × 7! = 10 080 (c) 2(4!)2 = 1152 (d) 5!4! = 2880 (e) 4! × 24 = Exercice 1.15. Une femme a 8 amies et décide d’en inviter 5 à prendre le thé. (a) De combien de manières peut-elle s’y prendre si deux d’entre elles ne viendront pas ensemble ? (b) Et si au contraire deux d’entre elles ne viendront que si l’autre est aussi invitée ? Solution. (a) C 20C 65 +C 21C 64 = 36, (b) C 20C 65 +C 22C 63 = 26 ¡ ¢5 Exercice 1.16. Développer 3x 2 + y . 5 ¡ ¢¡ ¡ ¢5 P ¢ ¡ ¢k 5 2 n−k Solution. 3x 2 + y = y = 243x 10 + 405x 8 y + 270x 6 y 2 + 90x 4 y 3 + 15x 2 y 4 + y 5 k 3x k=0 Exercice 1.17. Si 12 personnes doivent être réparties en 3 comités comptant respectivement 3, 4 et 5 individus, de combien de manières peut-on s’y prendre ? 3 Solution. C 12 ×C 94 ×C 55 = 27, 720 Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS Exercice 1.18. Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans 4 écoles. (a) Combien y a-t-il d’affectations possibles ? (b) Qu’en est-il si l’on impose que chaque école recevra deux professeurs ? Solution. (a) 48 = 65 536 (b) C 82 ×C 62 ×C 42 ×C 22 = 2520 Exercice 1.19. On veut former un comité de 7 personnes, dont 2 républicains, 2 démocrates et 3 indépendants. On a le choix parmi 5 républicains, 6 démocrates et 4 indépendants. De combien de manières peut-on procéder ? ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ Solution. 52 62 43 = 600 Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS
