• la série de Fourier de f :
()
∑
≥
+
1
0) tsin() tcos(
n
f
n
f
n
fnbnaa
.
Exemple 2) Soit
[[
,0 ,)( ∈= tsittf , une fonction périodique de période π (pulsation
ω
2
==2).
Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f.
• On utilise la propriété des fonctions T-périodiques:
∫∫
+
−
=Ta
a
T
Tdttfdttf )()(
2/
2/
• Les coefficients de Fourier de f : 2
0
=a,
-
3
p -
2
p-p p
2
p
3
p
-
3
-
2
-
1
1
2
3
0=
n
a , *
n∈∀ et
n
n
n
bn1
)2cos(
1−=−=
π
,*
n∈∀
• La série de Fourier de f : ∑
≥
−
1
) tsin(
2nn
n
.
Théorème : a) Si f est une fonction paire, périodique de période T, alors:
• Tous les coefficients de Fourier sont nuls (f est développable en série de cosinus)
f
n
b
• ∫
=2/
0
0)(
2T
fdttf
T
a et ∫
=2/
0) tcos()(
4T
f
ndtntf
T
a
ω
b) Si f est une fonction impaire, de période T, on dit que f est développable en série de sinus et:
• Tous les coefficients de Fourier sont nuls
f
n
a
• ∫
=2/
0) tsin()(
4T
f
ndtntf
T
b
ω
Remarque : Les propriétés de parité simplifient le calcul des coefficients De Fourier, car la moitié
d’entre eux sont nuls et on intègre seulement sur une moitié de période, avec la propriété :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∫
∫
−
a
a
apairefsidttf
impairefsi
dttf
0 )(2
0
)( .
B
C
O
-
2
-
1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Exemple 3) Soit , une fonction paire et périodique de période T=4.
[[
[
⎩
⎨
⎧
∈−
∈
=2,1 2
1,0 1
)( tsit
tsi
tf
]
a) Représenter la fonction f sur l’intervalle [-2,2].
b) Calculer les coefficients de Fourier de f.
c) On note
()
∑
=
++= 2
1
0) sin() cos()( nnn tnbtnaat
ωωϕ
la série de Fourier associée à f, à l’ordre 2.
Représenter la fonction
sur l’intervalle [-2,2].
Dém : Comme f est paire, tous les coefficients sont nuls.
f
n
b
4
3
)(
2
1
)(
4
12
0
2
2
0=== ∫∫
−
dttfdttfaf= l’aire sous le graphique =
l’aire du trapèze OABC.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== ∫∫∫ −−
)cos(
2
cos
4
2
cos)(
2
cos)(
2
1
)cos()(
4
2
22
2
0
2
2
2
2
π
π
π
ππ
ω
n
n
n
dtt
n
tfdtt
n
tfdttntfaf
n
Donc : 2
14
=a et 2
22
−=a et ) cos(
2
2
cos
4
4
3
)( 22 ttt
π
π
π
π
ϕ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= .