Séries de Fourier Problématique: Approximation d’une fonction T-périodique par une série de fonctions trigonométriques (les harmoniques) dont les périodes sont multiples de T et les amplitudes sont les coefficients de cette série (série de Fourier). I) Calcul des coefficients de Fourier et de la série de Fourier, associés à une fonction périodique II) Conditions (Dirichlet) pour la convergence de la série de Fourier vers la fonction associée Définition Série trigonométrique Soit (an )n≥0 et (bn )n≥0 deux suites de nombres réels. On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme : ∑ (an cos(nt ) + bn sin(nt ) ) . n ≥0 Théorème: Si la série trigonométrique a0 + ∑ (an cos(nt ) + bn sin( nt ) ) converge uniformément à une n ≥1 fonction f sur [− π ,π ], alors les coefficients de la série s’expriment en fonction de f par : 1 a0 = 2π π ∫ f (t )dt an = ; −π 1 π π ∫ f (t ) cos(nt )dt et bn = −π 1 π π ∫ f (t ) sin(nt )dt . −π Définition: Si f est une fonction 2π-périodique, intégrable, on définit: • Les coefficients de Fourier de f: a0f = anf = 1 π π ∫ π 1 2π ∫ f (t )dt = la moyenne de f sur [− π ,π ] −π 1 f (t ) cos(nt )dt et bnf = π −π π ∫ f (t ) sin(nt )dt −π ( = coefficients des harmoniques d’ordre n • La série de Fourier de f : a0 + ∑ an cos(nt ) + bn sin(nt ) f n ≥1 f f ) ⎧1 si t ∈ [0,π [ , une fonction 2π-périodique (fonction créneau). ⎩− 1 si t ∈ [π ,2π [ Exemple 1) Soit f (t ) = ⎨ Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f. • Les coefficients de Fourier de f : a0 = 0 , a n = 0 , ∀ n ∈ N • et bn = 1.0 2 (1 − cos(nπ ) ) nπ La série de Fourier de f : 4 4 sin (( 2k + 1)t ) sin(( 2k + 1)t ) = ∑ ∑ π n ≥0 2k + 1 n ≥0 ( 2 k + 1)π 0.5 -2 p -p p 2p 3p - 0.5 - 1.0 Théorème : Si f est une fonction périodique de période T, intégrable. Alors • les coefficients de Fourier de f sont: ω= 2π = la pulsation et T 1 T /2 1 a +T f ( t ) dt = ∫ ∫ f (t )dt = la moyenne de f sur une période T T −T / 2 T a 2 T /2 2 a+T 2 T /2 2 a+T anf = ∫ f (t) cos(nω t)dt = ∫ f (t) cos(nω t)dt et bnf = ∫ f (t ) sin(nω t )dt = ∫ f (t ) sin(nω t )dt T −T / 2 T a T −T / 2 T a a 0f = ( ) • la série de Fourier de f : a0 + ∑ an cos(nω t ) + bn sin(nω t ) . f n ≥1 f f Exemple 2) Soit f (t ) = t , si t ∈ [0, π [ , une fonction périodique de période π (pulsation ω = 2π π =2). Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f. • On utilise la propriété des fonctions T-périodiques: • Les coefficients de Fourier de f : a0 = π 2 T /2 a +T −T / 2 a ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt 3 , 2 an = 0 , ∀n ∈ N et 1 1 bn = − cos( 2nπ ) = − , ∀n ∈ N * n n π sin(nω t ) −∑ . • La série de Fourier de f : n 2 n≥1 * 1 -3 p -2 p -p p 2p 3p -1 -2 -3 Théorème : a) Si f est une fonction paire, périodique de période T, alors: f • Tous les coefficients de Fourier bn sont nuls (f est développable en série de cosinus) • a0f = 4 T /2 2 T /2 f f ( t ) dt a = f (t ) cos(nω t )dt et n T ∫0 T ∫0 b) Si f est une fonction impaire, de période T, on dit que f est développable en série de sinus et: f • Tous les coefficients de Fourier an sont nuls 4 T /2 f (t ) sin(nω t )dt • b = T ∫0 f n Remarque : Les propriétés de parité simplifient le calcul des coefficients De Fourier, car la moitié d’entre eux sont nuls et on intègre seulement sur une moitié de période, avec la propriété : a ∫ −a ⎧ 0 si f impaire ⎪ . f ( t ) dt = ⎨ a 2 f ( t ) dt si f paire ⎪⎩ ∫0 ⎧1 si t ∈ [0,1[ , une fonction paire et périodique de période T=4. [ ] − ∈ 2 1 , 2 t si t ⎩ Exemple 3) Soit f (t ) = ⎨ a) Représenter la fonction f sur l’intervalle [-2,2]. b) Calculer les coefficients de Fourier de f. c) On note 1.0 2 0.8 n =1 0.6 ϕ (t ) = a0 + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t )) la série de Fourier associée à f, à l’ordre 2. Représenter la fonction ϕ sur l’intervalle [-2,2]. A B 0.4 0.2 f Dém : Comme f est paire, tous les coefficients bn sont nuls. 12 12 3 a = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = = l’aire sous le graphique = 4 −2 20 4 O -2 -1 1 C 2 f 0 l’aire du trapèze OABC. 2 12 4 ⎛ ⎛ nπ ⎞ 22 ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ a = ∫ f (t ) cos(nωt )dt = ∫ f (t ) cos⎜ t ⎟dt = ∫ f (t ) cos⎜ t ⎟dt = 2 2 ⎜ cos⎜ ⎟ − cos(nπ ) ⎟ 2 −2 nπ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 4 −2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0 ⎠ 4 2 3 4 π 2 Donc : a1 = 2 et a2 = − 2 et ϕ (t ) = + 2 cos⎛⎜ t ⎞⎟ − 2 cos(π t ) . π π 4 π ⎝2 ⎠ π f n