Fonction réciproque

Fonction réciproque
1. DEFINITION, EXEMPLES
Conséquences :
1. Tout nombre réel de l’intervalle J admet un unique antécédent dans I par la fonction f .
2. La fonction f admet une fonction réciproque définie sur J et notée f−1.
Ex : Logarithme et exponentielle Carré et racine carrée
Ex :
()
()
x
xxxfxff
xxf xxf
xxf 21 oùd' 2)(2)(' écrire alors peut on
)( 2)('
donc )( 11
1
2=
′
==
=
=
=−−
−
() ()
x
x
x
x
xe
e
e
exf
xff
exf x
xf
xxf ==
′
==
=
=
=−
−
−1
1
oùd'
1
)(
1
)(' écrire alors peut on
)(
1
)('
donc ln)( 1
1
1
2. FONCTIONS RECIPROQUES DES FONCTIONS USUELLES
2.1 Fonction ″
″″
″ arcsinus ″
″″
″
La fonction fx x() sin= est définie et dérivable sur r.
Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur
l’intervalle I=− +
ππ
22
;.
Th : Toute fonction f définie sur un intervalle I, continue et strictement monotone sur cet
intervalle réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle image J.
01
1
f(x)=x
2
f (x)= x
-1
1
e
-1
-2
1
e
1
e
-1
-2
f (x)=e
-1
x
f(x)=ln x
Prop : Si f est définie, strictement monotone et dérivable sur I alors f admet une fonction
réciproque dérivable sur JI=f() et
() ()
)(
1
)( 1'
'
1xff
xf −
−=.
f(x)=sinx 1
−1
π
2
π
2

Prop : La fonction gx x( ) arcsin= est dérivable sur l’intervalle ]−1; 1 [
de dérivée arcsin'( )xx
=−
1
12
2.2 Fonction ″
″″
″ arccosinus ″
″″
″
La fonction fx x() cos= est définie et dérivable sur r .
Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur
l’intervalle
[]
I=0; π .
Prop : La fonction gx x() arccos= est dérivable sur
l’intervalle ]−1; 1 [
de dérivée 2
1
1
)(arccos' x x−
−
=
Def : La fonction réciproque de la fonction sinus est la fonction arcsinus définie sur l’intervalle
[ − 1; 1 ] par :
y
xx
y
sinarcsin =⇔=
g(x)=arcsin x
1
−1
π
2
π
2
f(x)=cos x
1
−1
π
2π
Def : La fonction réciproque de la fonction cosinus est la fonction arccosinus définie sur l’intervalle
[ − 1; 1 ] par :
y
xx
y
cosarccos =⇔=
g(x)=arccos x
π
2
.π
1− 1

2.3 Fonction ″
″″
″ arctangente ″
″″
″
La fonction fx x() tan= est définie et dérivable
sur r / {
π
π
2+∈kk;Z
}. .
Pour obtenir une fonction strictement monotone on
se place sur l’intervalle I=− +
ππ
22
;
Prop : La fonction gx x( ) arctan= est dérivable sur r de dérivée arctan'( )xx
=+
1
12
π
2
f(x)=tan x
π
2
Def : La fonction réciproque de la fonction tangente est la fonction arctangente définie sur r par :
y
xx
y
tanarctan =⇔=
π
2
g(x)=arctan x
π
2