Fonctions trigonométriques réciproques

MTT2
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions hyperboliques réciproques
1. Fonctions trigonométriques réciproques
1.1. Arcsin
sin : [ -
π
2
;
croissante.
Donc sin : [ -
π
2
2
]
ℝ est continue, strictement
1,5
arcsin ( x )
1
π π
2
;
2
]
sin( [ -
π π
2
;
2
]) =[
-1;1]
0,5
est bijective.
-2
-1,5
-1
On peut donc définir son application réciproque :
arcsin : [ - 1; 1 ]
[ -;]
x
֏ y tel que sin y = x
0
-0,5 0
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1
-1,5
Df = [ - 1 ; 1 ]
-2
Propriétés :
a) arcsin est impair sur [ - 1 ; 1 ]
En effet arcsin ( x ) = y tel que sin y = x et sin ( - y ) = - x donc arcsin ( - x ) = - y
b) arcsin est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arcsin ) ‘ ( x ) =
1
=
f '( y )
ATTENTION : ceci est valable car arcsin ( x ) ∈ [ - ;] et cos est positif sur cet intervalle.
( arcsin ) ‘ (u(x))
c) arcsin est continue sur [ - 1 ; 1 ], croissante sur [ - 1 ; 1 ]
sin (arcsin (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arcsin(sin(x)) = x si x ∈ [ –
π/2 ; π/2
]
Exemple : Trouver le développement limité de arcsin à l’ordre 5 en 0.
Cours Fonctions trigonométriques réciproques
1/3
P2016
Aleth Chevalley
MTT2
1.2. Arccos
cos : [ 0 ; π ]
décroissante.
Donc cos : [ 0 ; π ]
bijective.
ℝ est continue
cos( [ 0 ;
3
strictement
2,5
π ]) = [ - 1; 1] est
arccos ( x )
2
On peut donc définir son application réciproque :
arccos : [ - 1 ; 1 ]
[0 ;π]
x
֏
1,5
1
y tel que cos y = x
0,5
Df = [ - 1 ; 1 ]
-1,5
-1
0
-0,5
0
-0,5
0,5
1
1,5
Propriétés :
a) arccos n’est ni pair, ni impair sur [ - 1 ; 1 ]
b) arccos est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arccos ) ‘ ( x ) =
1
=
f '( y )
( arccos) ‘ (u(x)) =
c) arccos est continue sur [ - 1 ; 1 ], décroissante sur [ - 1 ; 1 ]
cos (arccos (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arccos(cos(x)) = x si x ∈ [ 0 ; π ]
Remarque : ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, ( arcsin ) ‘ ( x ) + ( arccos ) ‘ ( x ) = 0
Donc en intégrant, ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, arcsin ( x ) + arccos ( x ) = k ∈ ℝ et en posant x = 0 on trouve
∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [,
arcsin ( x ) + arccos ( x ) =
Exemple : Résoudre dans ℝ l’équation arcsin ( x ) = arccos ( 2 x ) et donner le domaine de définition de cette équation
Domaine de définition
Cours Fonctions trigonométriques réciproques
2/3
P2016
Aleth Chevalley
MTT2
1.3. Arctan
tan : ] -
π
2
;
π
2
croissante.
Donc tan : ] -
[
π
2
ℝ est continue et strictement
;
π
2
[
tan (] -
π
2
;
π
2
[) = est
bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arctan : ℝ
]-;[
x
֏
y tel que tan y = x
Df =
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2 0
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
arctan ( x )
y = - pi / 2
y = pi / 2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Propriétés :
a) arctan est impair sur ℝ
b) arctan est dérivable sur ℝ et
( arctan ) ‘ ( x ) =
1
f '( y )
( arctan ) ‘ (u(x))
c) arctan est continue sur ℝ, croissante sur ℝ et
lim arctan ( x ) =
lim arctan ( x ) =
x→ + ∞
x→ - ∞
d) Utilisation des formules de trigonométrie
1 − tan 2 θ
cos(2θ ) =
1 + tan 2 θ
sin(2θ ) =
2 tan θ
1 + tan 2 θ
Cours Fonctions trigonométriques réciproques
tan(2θ ) =
3/3
2 tan θ
1 − tan 2 θ
P2016
Aleth Chevalley