Fonctions trigonométriques réciproques

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Cours Fonctions trigonométriques réciproques 1 / 3 P2016 Aleth Chevalley
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions hyperboliques réciproques
1. Fonctions trigonométriques réciproques
1.1. Arcsin
sin : [ -
2
π
;
2
π
]  ℝ est continue, strictement
croissante.
Donc sin : [ -
2
π
;
2
π
]  sin( [ -
2
π
;
2
π
]) = [ - 1 ; 1 ]
est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arcsin : [ - 1; 1 ]  [ -;]
x ֏ y tel que sin y = x
Df = [ - 1 ; 1 ]
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
arcsin ( x )
Propriétés :
a) arcsin est impair sur [ - 1 ; 1 ]
En effet arcsin ( x ) = y tel que sin y = x et sin ( - y ) = - x donc arcsin ( - x ) = - y
b) arcsin est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arcsin ) ‘ ( x ) =
1
'( )
f y
=
ATTENTION : ceci est valable car arcsin ( x ) ∈ [ - ;] et cos est positif sur cet intervalle.
( arcsin ) ‘ (u(x))
c) arcsin est continue sur [ - 1 ; 1 ], croissante sur [ - 1 ; 1 ]
sin (arcsin (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arcsin(sin(x)) = x si x ∈ [ – π/ 2 ; π/ 2 ]
Exemple : Trouver le développement limité de arcsin à l’ordre 5 en 0.

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Cours Fonctions trigonométriques réciproques 2 / 3 P2016 Aleth Chevalley
1.2. Arccos
cos : [ 0 ; π ]  ℝ est continue strictement
décroissante.
Donc cos : [ 0 ; π ]  cos( [ 0 ; π ]) = [ - 1; 1] est
bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arccos : [ - 1 ; 1 ]  [ 0 ; π ]
x ֏ y tel que cos y = x
D
f
= [ - 1 ; 1 ]
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
arccos ( x )
Propriétés :
a) arccos n’est ni pair, ni impair sur [ - 1 ; 1 ]
b) arccos est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arccos ) ‘ ( x ) =
1
'( )
f y
=
( arccos) ‘ (u(x)) =
c) arccos est continue sur [ - 1 ; 1 ], décroissante sur [ - 1 ; 1 ]
cos (arccos (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arccos(cos(x)) = x si x ∈ [ 0 ; π ]
Remarque : ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, ( arcsin ) ‘ ( x ) + ( arccos ) ‘ ( x ) = 0
Donc en intégrant, ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, arcsin ( x ) + arccos ( x ) = k ∈ ℝ et en posant x = 0 on trouve
∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, arcsin ( x ) + arccos ( x ) =
Exemple : Résoudre dans ℝ l’équation arcsin ( x ) = arccos ( 2 x ) et donner le domaine de définition de cette équation
Domaine de définition

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Cours Fonctions trigonométriques réciproques 3 / 3 P2016 Aleth Chevalley
1.3. Arctan
tan : ] -
2
π
;
2
π
[  ℝ est continue et strictement
croissante.
Donc tan : ] -
2
π
;
2
π
[  tan (] -
2
π
;
2
π
[) = est
bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arctan : ℝ  ] - ; [
x ֏ y tel que tan y = x
D
f
=
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
arctan ( x )
y = - pi / 2
y = pi / 2
Propriétés :
a) arctan est impair sur ℝ
b) arctan est dérivable sur ℝ et
( arctan ) ‘ ( x ) =
1
'( )
f y
( arctan ) ‘ (u(x))
c) arctan est continue sur ℝ, croissante sur ℝ et
lim
x
→ + ∞
arctan ( x ) =
-
lim
x
→ ∞
arctan ( x ) =
d) Utilisation des formules de trigonométrie
2
2
1 tan
cos(2 )
1 tan
θ
θ
θ
−
=+
2
2tan
sin(2 )
1 tan
θ
θ
θ
=+
2
2tan
tan(2 )
1 tan
θ
θ
θ
=−