Les fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses
Obtenir les angles d’un triangle
Si f (x) est une fonction définie pour a < x < b et qui est telle que quel
que soit y entre c et d, l’équation
f (x) = y
admet une solution x unique, on dit que f admet une fonction inverse f −1
et on écrit
x = f −1 (y).
L’arcsinus
Comme la fonction sin x croît strictement de -1 à 1 lorsque x croît de
−π/2 à π/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arcsinus, qui donne
l’angle (en radians) si l’on connaît le sinus :
x = arcsin y ⇔ y = sin x ,
−1 ≤ y ≤ 1 ⇔ −π/2 ≤ x ≤ π/2.
y
1.0
y
0.5
-1.5 -1.0 -0.5
-0.5
(1)
1.5
1.0
0.5
sin x
0.5
1.0
1.5
arcsin y
x
-1.0
-1.0
-0.5
-0.5
-1.0
-1.5
0.5
1.0
x
L’arccosinus
Comme la fonction cos x décroît strictement de 1 à -1 lorsque x croît
de 0 à π, elle admet une fonction inverse, la fonction arccosinus, qui donne
l’angle (en radians) si l’on connaît le cosinus :
x = arccos y ⇔ y = cos x ,
−1 ≤ y ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ π.
1
(2)
y
1.0
y
0.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
cos x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
3.0
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
arccos y
0.5
1.0
x
L’arctangente
Comme la fonction tan x croît strictement de −∞ à +∞ lorsque x croît
de −π/2 à π/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arctangente, qui
donne l’angle (en radians) si l’on connaît la tangente :
x = arctan y ⇔ y = tan x ,
y
6
4
2
-1.5 -1.0 -0.5
-2
-4
-6
−∞ < y < +∞ ⇔ −π/2 < x < π/2.
y
1.5
1.0
0.5
tan x
0.5
1.0
1.5
x
-10
-5
-0.5
-1.0
-1.5
(3)
arctan y
5
10
x
Exemple
5
3
Θ
4
Dans le triangle précédent, on peut obtenir l’angle au moyen de n’importe
laquelle des fonctions trigonométriques inverses :
θ = arcsin
3
4
3
= arccos = arctan = 0, 6435 = 36 ◦ 520 11”.
5
5
4
2
Exercice
Obtenir l’angle θ du triangle suivant :
13
5
Θ
12
Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. θ = 0, 3948 = 22 ◦ 370 13”
3