2 - Département de Mathématiques d`Orsay

Licence de Mathématiques – M301
Orsay 2016–17
Feuille d’exercices 2
Exercice 1. Soient X, Y des espaces métriques et f : X → Y une application continue.
1. Montrer que f est continue si et seulement si pour tout A ⊂ Y , f −1 (A◦ ) ⊂ (f −1 (A))◦ . Même
question avec f −1 (A) ⊂ f −1 (A).
2. Soient A, B ⊂ X tels que A = B. Montrer que f (A) = f (B).
Exercice 2. Des ensembles compacts ?
On munit RN (N ≥ 1) de sa topologie naturelle, et les parties A ⊂ RN de la topologie induite. Les
ensembles suivants sont-ils compacts ?
1. Z et n1 , n ∈ Z∗ ?
2. {(1/n, y) ∈ R2 | n ∈ Z∗ , 0 ≤ y ≤ 1/n} et (x, y) ∈ R2 , xy = 1 ?
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3. Les groupes Sln R et O(n) dans Mn R ' Rn ?
4. L’ensemble {P ∈ Mn R | P 2 = P } des projecteurs ?
5. L’ensemble {P ∈ Mn R | P 2 = P , KerP ⊥ ImP } des projecteurs orthogonaux, Rn étant muni
d’une structure euclidienne ?
Exercice 3. Homéomorphismes.
1. On munit Z et Q de la distance induite par la distance usuelle de R. Ces deux espaces sont-ils
homéomorphes ?
2. Est-ce que R est homéomorphe à R \ {0}, muni de la topologie induite ?
Indication : On pourra utiliser la description des parties ouvertes-fermées de R, voir feuille 1.
3. Montrer que Rn muni de la norme euclidienne est homéomorphe à sa boule unité ouverte.
4. Donner un exemple de bijection continue entre deux espaces métriques qui n’est pas un homéomorphisme.
Exercice 4.
Soit (X, d) un espace métrique et soit (xn )n∈N une suite de X convergente vers x. Montrer que
{xn , n ≥ 0} ∪ {x} est une partie compacte de X.
Exercice 5. Distance à une partie.
Soient (X, d) un espace métrique et A ⊂ X. Pour tout x ∈ X, on note d(x, A) := inf y∈A d(x, y).
1. Montrer que la fonction x ∈ X → d(x, A) ∈ R est bien définie et 1-lipschitzienne.
2. Soit x ∈ X. Montrer que d(x, A) = d(x, Ā), et que d(x, A) = 0 si et seulement si x ∈ Ā.
3. Montrer que tout fermé de X est intersection dénombrable d’ouverts. Qu’en déduit-on par
passage au complémentaire ?
4. Soient A et B sont deux fermés disjoints de X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U
et V de X contenant respectivement A et B.
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Exercice 6.
1. Soit (X, d) un espace métrique et K une partie compacte de X.
(a) Montrer que pour tout x ∈ X, il existe un point y ∈ K tel que d(x, y) = d(x, K).
(b) Supposons que pour chaque x ∈ X, le point qui réalise la distance à K est unique ; on note
ce point p(x). Montrer alors que l’application “projection” p : X → K est continue.
2. Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E de dimension n.
On note d la distance associée à la norme k · k.
(a) Soit x ∈ E. Montrer qu’il existe y ∈ F tel que d(x, F ) = d(x, y).
(b) Y a-t-il unicité ? On pourra par exemple travailler dans R2 muni de la norm k · k∞ .
Exercice 7. Soit f : X → Y une application entre deux espaces métriques.
1. Montrer que si f est continue alors son graphe
Γf := {(x, y) ∈ X × Y ; y = f (x)}
est fermé dans X × Y . La réciproque est-elle vraie en général ?
2. Montrer réciproquement que si Y est compact et Γf est fermé, alors f est continue.
Exercice 8.
Une application f : X → Y entre deux espaces métriques est dite propre si, pour tout compact K
de Y , f −1 (K) est un compact de X.
On travaille maintenant dans Rn normé. Soit f : Rn → Rn continue.
1. Montrer que f est propre si et seulement si kf (x)k → ∞ lorsque kxk → ∞.
2. On suppose f propre. Montrer que f est fermée (i.e. l’image directe de tout ensemble fermé est
un fermé).
Exercice 9. Soit (X, d) un espace métrique compact.
1. On suppose X discret. Montrer alors que X est fini.
2. Montrer que X contient une partie au plus dénombrable dense. On dit que X est séparable.
3. Soit (Oi )i∈I une famille d’ouverts non vides de X, deux à deux disjoints. Montrer que I est au
plus dénombrable.
Exercice 10.
Soit α = (αn )n≥0 une suite de nombres réels positifs et Kα le sous-ensemble de `2 (N, R) défini
par Kα = {(un )n≥0 ∈ `2 : |un | ≤ αn }. Montrer que Kα est compact si et seulement si α appartient à
`2 (N, R).
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