ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE POUR LES ÉLÈVES INGÉNIEURS

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE
POUR LES ÉLÈVES
INGÉNIEURS
Formation HUGo

Table des matières
1 Propriétés des entiers 2
1.1 Divisionentière........................... 2
1.1.1 Tests de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Nombrepremier........................... 3
1.3 Idéaux, PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Congruences 7
2.1 Classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Résoudre les congruences linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Classesrésiduelles ......................... 9
3 Propriétés des entiers modulaires 12
3.1 Fonctiond’Euler .......................... 12
3.2 Théorème d’Euler et petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . 12
3.3 Application du théorème d’Euler : le cryptosystème RSA . . . . . 14
4 Structures algébriques 15
4.1 Groupes............................... 15
4.1.1 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Sous-groupe............................. 16
4.3 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Corpsetanneaux .......................... 18
4.4.1 Polynômes ......................... 19
4.5 Construction d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5.1 Logarithme de Zech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.2 Classes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1

Chapitre 1
Propriétés des entiers
Ce chapitre aborde des notions que l’on rencontre avant d’entrer en école d’in-
génieurs : notion de divisibilité, nombre premier, PGCD et PPCM ainsi que la no-
tion d’idéal. Il introduit également une vision algorithmique. Comment effectuer
la division euclidienne efficacement ? Comment calculer un PGCD ou un PPCM ?
Ces rappels basiques sont utiles pour vous remémorer les définitions, la manière
d’écrire une preuve et comprendre un algorithme.
L’ensemble des nombres entiers est noté Z:
Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .},
et celui des entiers n≥0est noté N.
Dans la suite, les lettres désigneront toujours des entiers quelconques, sauf préci-
sion : ainsi, a > 0signifiera ∀a∈Zet a > 0, et « il existe atel que... » fera
référence à un entier avérifiant une certaine condition.
1.1 Division entière
Soit a, b ∈Z, b divise asi il existe c∈Ztel que a=bc. L’élément best alors
un diviseur de aet on écrit b|a.
Exemple. −6|30 190|0 11|759
Notation. Il ne faut pas confondre la notation b|aqui est un booléen (VRAI ou
FAUX) de aet b/a qui est la valeur de la division de bpar a. Par exemple, 3|6est
vrai alors que 3|4est faux, et on a 3/6 = 0,5et 3/4 = 0,75.
Théorème 1.1.1. Quels que soient les entiers a,b,c,ona:
a) 1|a,a|a,a|0.
b) 0|aSSI a= 0.
c) Si a|bet b|c, alors a|c.
2

d) Si a|bet a|c, alors a|(bx +cy),∀x, y ∈Z.
e) a|bet b|aSSI a=±b.
Théorème 1.1.2. (Division entière) Si a, b ∈Z,b≥1, alors il existe un unique
couple (q, r)∈Z2tel que
a=bq +ravec 0≤r < b
qest appelé le quotient et rle reste de la division de apar b.
(r=amod b
q=ba/bc
Exemple. Si a= 73 et b= 17, alors :
q= 4, r = 5,
b73/17c= 4,
73 mod 17 = 5 .
Un entier cest un diviseur commun àaet bsi c|aet c|b.
1.1.1 Tests de divisibilité
1. Un nombre est divisible par 2ksi ses kderniers chiffres sont divisibles par
2k.
2. Un nombre est divisible par 5ksi ses kderniers chiffres sont divisibles par
5k.
3. Un nombre est divisible par 3ou 9si la somme de ses chiffres est divisible
par 3ou par 9.
Exemple. 2125 est divisible par 5k, pour k= 3 et 1638 est divisible par 9.
1.2 Nombre premier
Un entier p≥2est dit premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1et p. Sinon
on dit que le nombre est composé.
Théorème 1.2.1. (Théorème fondamental de l’arithmétique) Tout entier n≥2
admet une factorisation unique comme produit de puissances de nombres pre-
miers.
n=pe1
1pe2 2···pek
k
3

1.3 Idéaux, PGCD et PPCM
Un idéal de Zest un ensemble non vide d’entiers qui est clos par addition et
par multiplication par un entier arbitraire .
Définition. Un ensemble I⊆Znon vide est un idéal si et seulement si pour tout
a, b ∈Iet pour tout z∈Z,a+b∈Iet az ∈I.
Remarques :
1. Si a∈Ialors −a∈I
2. 0∈Icar a+ (−a)∈I
3. Si 1∈Ialors I=Z.
Définition. aZ:= {az :z∈Z}est l’ensemble des multiples de a.aZest un idéal
engendré par a. Tous les idéaux de la forme aZsont appelés idéaux principaux.
Considérons maintenant a1Z+a2Z+···+akZ:= {a1z1+···+akzk:z1,··· , zk∈
Z}. Cet objet est un idéal engendré par les ai. C’est le plus petit idéal contenant
les ai.
Exemple.
—a= 3, aZ ={. . . , −9,−6,−3,0,3,6, . . .}
—a1= 3, a2= 5, a1Z+a2Z=Zcar 2a1−a2= 1 (voir Remarque 3)
—a1= 4, a2= 6, a1Z+a2Z= 2Z.
Théorème 1.3.1. Pour tout idéal I⊂Z, il existe un unique entier positif dtel que
I=dZ.
Pour a, b ∈I, on appelle d∈Zun diviseur commun de aet bsi d|aet d|b.
L’élément dest le PGCD de aet bsi d≥0et tous les autres diviseurs communs
de aet bdivisent d.
Théorème 1.3.2. Pour tout a, b ∈Z, il existe un unique PGCD dde aet bet de
plus aZ+bZ=dZ.
Remarque : P GCD(a, 0) = |a|.
Calcul du PGCD : En pratique, on utilise l’algorithme d’Euclide :
Calcul de P GCD(a, b)
R0 := |a|;
R1 := |b|; (b6= 0)
Tantque R1>0Faire
R:= Reste_Division(R0, R1) ;
R0 := R1;
R1 := R;
En sortie R1=0, et R0 = pgcd(a, b).
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