x - Free

Durée 4h T STI
BAC BLANC 2009-2010
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
Exercice 1 ( 5 points)
1. (a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes Cl’équation d’inconnue z:
z2−2z+ 4 = 0.
On désigne par z1la solution de partie imaginaire positive et par z2l’autre solution.
(b) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
(c) En déduire le module et un argument de z2
1et de z2 2.
(d) Calculer ces deux nombres sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O;~ i,~ jd’unité graphique 1 cm.
On désigne par A, B, A0et B0les points d’affixes respectives :
zA= 1 + i√3 ; zB= 1 −i√3 ; zA0=−2 + 2i√3et zB0=−2−2i√3.
(a) Placer ces points dans le plan complexe.
(b) Déterminer et justifier la nature du quadrilatère AA0B0B.
(c) Soit Ωle point d’affixe −2.
Calculer les distances ΩA et ΩA0.
En déduire que les points A, B, A0et B0sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2 (4 points )
Dans un atelier de réparation un technicien s’occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants
à l’origine de la panne peuvent uniquement être : l’alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne
simultanée de deux ou trois composants est possible. Le technicien chargé de la détection des pannes établit le
diagnostic d’un ordinateur à l’aide d’un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d’une barre en
cas de panne.
Par exemple : (A ; CG ; P) signifie que l’alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne pro-
vient du processeur.
1. Etablir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne.
2. On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d’être établis. Quelle est la probabilité pour
qu’un seul des composants soit en panne ?
3. Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer :
Composant Alimentation Carte graphique Processeur
Prix en e80 160 80
Le coût d’une réparation est celui du remplacement des pièces auquel il faut ajouter un forfait de main-
d’oeuvre de 25 eindépendant du nombre de composants à remplacer.
(a) Soit Xla variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la
liste des valeurs possibles de X.
(b) Donner dans un tableau la loi de probabilité de X.
(c) Calculer l’espérance mathématique de X. Arrondir le résultat à l’unité.
(d) Quel devrait être le coût du forfait de la main-d’œuvre, arrondi à l’unité, pour que le prix moyen d’une
réparation soit de 200 e?

Durée 4h T STI
Exercice 3 (Probleme 11 pts)
Le plan est muni d’un repère orthogonal O;~ i,~ j(unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe
des ordonnées).
Partie A : Recherche d’une fonction
Soit gune fonction définie sur ]0 ; +∞[par :
g(x) = a(ln x)2+bln x+c,
où a, b et csont trois réels.
Déterminer a, b et c, sachant que sa courbe représentative dans le repère O;~ i,~ jpasse par les points A(1; 2),
B(e; 0) et C e3; 2.
Partie B : Etude d’une fonction
Soit fla fonction définie sur ]0 ; +∞[par :
f(x) = (ln x)2−3 ln x+ 2.
1. (a) Calculer la limite de fen 0.
(b) Calculer la limite de fen +∞. On pourra remarquer que pour tout xde ]0 ; +∞[, on a :
f(x) = ln x(ln x−3) + 2.
2. (a) Montrer que :
f0(x) = 2 ln x−3
x.
où f0désigne la fonction dérivée de f.
(b) Etudier le signe de f0(x)selon les valeurs de x.
(c) Dresser le tableau de variations de fsur ]0 ; +∞[.
3. (a) Résoudre dans Rl’équation d’inconnue X:
X2−3X+ 2 = 0.
(b) En déduire les solutions exactes dans ]0 ; +∞[de l’équation : f(x) = 0.
(c) Déduire, des questions 2.c. et 3.b., le signe de f(x)lorsque xvarie dans l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. On note Γla courbe représentative de fdans le repère O;~ i,~ j.
(a) Déterminer une équation de la tangente ∆à la courbe Γau point d’abscisse e.
(b) Tracer la courbe Γet la tangente ∆.
Partie C : Primitive
1. Montrer que la fonction, définie sur ]0 ; +∞[, par :
x7−→ x(ln x)2−5xln x+ 5x,
est une primitive sur ]0 ; +∞[de la fonction x7−→ (ln x)2−3 ln x.
2. En déduire la primitive Fde fsur ]0 ; +∞[qui s’annule pour x= 1.

CORRIGE
EXERCICE I ( 5 points )
1°) a) Equation du 2
224zz−+=0
12− =−
e degré
Δ= ( négatif ). L’équation admet donc 2 solutions complexes conjuguées :
24bac
1212223
1
222
bi ii
zi
a
−+ Δ ++
====+
3
et 21
13zz i==−
D’où S =
{}
13,13ii++
12z
=
1
arg 3 z
π
=
22z
=
2
arg 3 z
π
=−
b) Pour 11zi=+ 3 : r = 22 13 4 2ab+=+= =
1
cos
2
a
r
θ ==
3
sin donc
2
b
r
θ == 3
π
θ
=
c) 2
2
11
4zz==
2
11
2
arg 2arg 3 zz
π
==
2
2
22
4zz==
2
22
2
arg 2arg 3 zz
π
==−
(
)
2
2
113123zi i=+ =+ −3
2
1223zi=− +
et 2
2
21
223zz i==−
2°) a) voir figure
b) Les points A et B d’une part, et A’ et B’ d’autre part, sont symétriques par rapport à l’axe (Ox) car les
affixes de ces points sont conjuguées.
Les côtés [AB] et [A’B’] sont donc parallèles ( car orthogonaux à une même droite )
ABA’B’ est donc un trapèze.
De plus, par symétrie, AA’ = BB’ donc ABA’B’ est un trapèze isocèle.
c) ΩA =
()
21 3 3 3 93 1223
A
zz i i
Ω−=−−+ =−− =+= =
ΩA’ =
(
)
'2 223 23 23 A
zz i i
Ω− =−−−+ =− =
Ω est sur l’axe des abscisses, donc par symétrie ΩA = ΩB et ΩA’ = ΩB’
donc ΩA = ΩB = ΩA’ = ΩB’ = 23
donc A, B , A’ et B’ appartiennent au cercle C de centre Ω et de rayon 23.

EXERCICE II (
4 points )
1°) Nous pouvons utiliser un arbre ( voir ci-dessous )
Les 7 diagnostics sont :
A CG P ; A CG P ; A CG P ;
A
CG P ;
A
CG P;
A
CG P ;
A
CG P.
Le cas A CG P est bien sûr à éliminer car on ne cherche pas à réparer un ordinateur qui fonctionne.
2°) Il y équiprobabilité donc P (A) = card A
card Ω ;
Or ici, il y a 3 cas où 1 seul des composants est en panne : A CGP ; A CG P ;
A
CG P .
Donc p = 3
7.
3°) a)
CG P(80€) +25 € X = 105 €
A P +25 € X = 185 €
CG (160€) P(80€) +25 € X = 265 €
P +25 € X = 105 €
CG P(80€) +25 € X = 185 €
A
(80€) P +25 € X = 265 €
CG (160€) P(80€) +25 € X = 345 €
Les valeurs possibles de X sont donc : 105, 185, 265 et 345.
b) xi105 185 265 345
i
p
= p(X = xi) 2
7 2 7 2 7 1 7
c) 5
1
() ii
i
E
Xp
=
=×
∑x
. E (X) = 1455 208
7€
d) Il faudrait retirer environ 8 € à chaque valeur de X pour que le prix moyen d’une réparation soit de 200
€
E n effet E (X – 8 ) = E (X) – 8
Le forfait serait alors de 17 €.

PROBLEME ( 11 points )
(
)
2
( ) ln lngx a x b x c=++
Partie A :
La courbe passe par A ( 1 ; 2) donc donc
(1) 2g=
(
)
2
ln1 ln1 2abc
+
+= donc 2c=
La courbe passe par B ( e ; 0) donc donc
() 0ge=
(
)
2
ln ln 0ae bec
+
+= donc
0abc++=
donc 2ab+=− (1)
La courbe passe par C ( ; 2) donc donc
3
e3
()2ge =
(
)
2
33
ln ln 2ae bec
+
+= or
3
ln 3ln 3ee==
donc 93 donc ou encore
20abc++= 93ab+= 30ab
+
= (2)
La 1e équation nous donne 2ba
=
−− et en remplaçant dans la 2e équation, on obtient : 32aa−−=0
2
Donc ou encore
2a=1a= , puis b3=− et rappelons que c2
=
.
On peut écrire alors :
(
)
2
() ln 3ln 2gx x x=−+
.
()
2
() ln 3ln 2
f
Partie B : xx x=−+
ln
xx →=−∞ ∞
1°) a) lim , donc et
0
()
0
lim 3ln
xx →−=+
(
)
2
0
lim ln
xx →
=
+∞
et donc par somme : 0
lim ( )
xfx →=+∞
f
C admet donc la droite d’équation x = 0 pour asymptote ( verticale )
b)
() ( )
2
( ) ln 3ln 2 ln ln 3 2fx x x x x=−+= −+
( cours ) donc
lim ln
xx →+∞ =+∞
(
)
lim ln 3
xx →+∞
−
=+∞ donc lim ( )
xfx →+∞
=
+∞
2°) a) 1 1 ln 3 2ln 3
'( ) 2(ln ) 3 2 x fx x x
x
xxx x
−
=×−×=−= donc 2ln 3
'( ) x fx
x
−
=
b) et c) Comme x > 0, '( )
f
x est du signe de 2ln 3
x
−
, x 0 3
2
e + ∞
(
)
'
f
x − +
(
)
f
x
+∞ +∞
1
4
−
3
2
3
2ln 3 0 ln 2
x
xxe−≥⇔ ≥ ⇔ ≥
2
33 3
22 2
() ln 3ln 2fe e e
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠ +
22
3333999188
ln 3 ln 2 3 2 2
222242444
ee
⎛⎞ ⎛⎞
=−×+=−×+=−+=−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
1
4
−
01 3°) a) S =
232XX−+= 24bacΔ= − =
{
}
1; 2
b)
()
22
() 0 ln 3ln 2 3 2 0fx x x X X=⇔ − +⇔ − +=
0
en posant
232XX−+= lnXx
=
1
X
= ou 2
X
=
ln 1
x
= ou ln 2x=
x
e= ou 2
x
e= S =
{
}
2
;ee