inversibilite de la fonction exponentielle d`un champ de vecteurs

DEPARTEM
Magiste
équations
aux dérivées
INVERSIBILITè
EXPONENTIELLE D’UN CHA
P
résenté par :
soutenu le
D
evant le jury composé de
Président:
Mr M. M
Examinateurs:
Mr N. Rahmani
Mme
Mr Y
. M
Rapporteur: Mr
A.LANSARI
Année Universitaire: 2013/201
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Mémoire de
Magiste
r en Mathématiques
aux dérivées partielles et appli
thème
INVERSIBILITè
DE LA FONCTION
EXPONENTIELLE D’UN CHAMP DE VECTEURS
résenté par :
Mr MOULAY KHATIR I
SMAIL
soutenu le
: 23 JUIN 2014
evant le jury composé de :
Mr M. M
essirdi MCA à l’
Université de
Mr N. Rahmani
Professeur à l’
USTO
Mme
S.Rahmani Professeur à l’
USTO
. M
aliki
MCA à l’Université de
A.LANSARI
MCA à
l’Université de
Année Universitaire: 2013/2014
partielles et application
s
DE LA FONCTION
MP DE VECTEURS
SMAIL
Université de
Tlemcen
USTO
Oran
USTO
Oran
MCA à l’Université de
Tlemcen
l’Université de
Tlemcen

1

Table des Matières
Introduction 2
1 Espace de Frêchet doux et propriétés. 7
1.1 Espace de Frêchet gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Espace de Frêchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Propriétés des espaces de Frêchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Espace de Frêchet gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Espace de Frêchet doux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Equivalence douce de deux graduations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Applications douces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Isomorphisme doux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Espace de Frêchet doux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Résolvante et spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Opérateur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Générateur in…nitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Opérateur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Propriétés des opérateurs d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Absorbant positif et négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Propriétés de la fonction exp d’un champ de vecteurs 32
2.1 Fonction exponentielle d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2

2.2 La X-dérivation de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 La X-dérivation de la fonction exp X=. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Série entière de la fonction exp X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Formule de Taylor de exp X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Série entière de exp X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 Injectivité de la X-dérivation de la fonction X7! exp X. . . . . . . . . . 43
2.4.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Noyaux de la X- dérivation de la fonction X7! exp X........... 48
2.4.4 Relation de Plancherel et de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Inversibilité de la fonction exponentielle d’un champ de vecteurs par le
théorème de Nash-Moser 56
3.1 Flot borné et ‡ot opérant doucement sur un espace de Frêchet E: ......... 56
3.1.1 Flot borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Absorbant et ‡ot conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.3 Flot opèrant doucement sur un espace de Frêchet . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.5 Propriétés usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Propriétés de la fonction exponentielle d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 67
3.2.1 La fonction exponentielle d’un champ de vecteurs est douce . . . . . . . . 67
3.2.2 Surjectivité de la dérivée de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Propriété de l’inverse à droite de la dérivée de la fonction exponentielle . 71
3.3 Inversibilité de la fonction exponentielle par le théorème de Nash-Moser . . . . . 74
4 Applications 75
4.1 Stabilité douce de degré r et de base b sur un espace de Frêchet . . . . . . . . . . 75
4.2 Surjectivité locale de l’opérateur adXpar un di¤éomorphisme adjoint sur 1
0. . 77
3

Introduction
La théorie des groupes de Lie et algèbres de Lie in…nis a été développée par H.Omori,J.Milnor
et autres, et récemment par A. Kriegel et P. Michor en appliquant le concept des groupes de
Lie régulier qui est plus simple et plus général que celui introduit par Omori.Ces idées ont étés
utiliseés par le Professeur Andrzej Zajtz dans ses articles (cf:[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] )
pour développer les calculs sur les groupes de di¤éomorphismes à un paramètre dans les espaces
de Frêchet de dimension in…nie .
L’inversibilité de la fonction exponentielle a été étudiée par N.Kopell (1970) et M.I.Bryn
(1974) qui ont donné des résultats négatifs et par J.Palis ,S.Smale (1969) ,J.Grabowski (1988)
et A.Zajtz (2001) qui ont donné des résultats positifs.
Nous allons prolonger ces résultats pour des X‡ots qui opérent doucement sur un espace
de Frêchet.
Dans l’espace de Banach des fonctions continues,muni de la norme de la convergence uni-
forme l’opérateur adjoint et en général les opérateurs de la dérivée de Lie, ne sont pas continus
(bornés). Pour cette raison nos résultats sont formulés dans les espaces de Frêchet.
Soient Mune variété compacte Riemannienne,(M) = (T M )l’espace des champs de
vecteurs de classe C1sur M. Le groupe Diff(M)de tous les di¤éomorphismes sur Mde
classe C1posséde la structure d’un groupe de Frêchet de dimension in…nie.
On pose
D=D(M)Diff1(M)
le groupe des di¤éomorphismes f de classe C1de M ,telles que fid et toutes ses
dérivées sont globalement bornées .
Le champ de vecteurs X2(M)génère un ‡ot
4