Fonction continue sur un intervalle

Fonction continue sur un intervalle – Continuité
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : montrer qu’une fonction est continue en un point
Exercice 2 : dire si une fonction est continue sur un intervalle d’après sa représentation graphique
Exercice 3 : préciser sur quel intervalle une fonction est continue (continuité des fonctions usuelles)
Exercice 4 : étudier la continuité d’une fonction construite par opérations (somme, produit, différence)
Exercice 5 : définir une fonction continue sur un intervalle en fonction d’un paramètre
Exercice 6 : étudier le prolongement par continuité d’une fonction
Exercice 7 : étudier la continuité d’une fonction composée
Exercice 8 : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue sur un intervalle)
Exercice 9 : utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement
monotone sur un intervalle)
Exercice 10 : étudier la continuité d’une fonction en utilisant le théorème des gendarmes
Exercice 11 : écrire un algorithme d’encadrement par dichotomie
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Fonction continue sur un intervalle – Continuité – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (1 question)
Soit la fonction
Niveau : facile
par ( )
définie sur
{
√
. Montrer que
est continue en 2.
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Continuité d’une fonction en un point
Soit
une fonction définie sur et soit
est continue en
( )
.
si et seulement si
( ). En particulier
a une limite en
est continue en
égale à
si et seulement si
Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction
limite à droite de la fonction
( ) ou
en
Etudions la continuité de la fonction
( )
D’une part,
D’autre part, on a
Ainsi,
( )
( ), c’est-à-dire si et seulement si
( )
en
( )
( ) ou
( ).
( ) et la
( ).
en 2.
.
( )
√
( )
( )
.
donc la fonction
est continue en 2.
Rappel important : Une fonction ne peut pas être continue en un point (ou un intervalle) où elle n’est pas
définie. Autrement dit, l’étude de la continuité d’une fonction en un point qui n’appartient à l’ensemble de
définition de la fonction n’a aucun sens.
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2
Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan,
].
fonctions , et , définies sur [
,
et
sont les représentations graphiques respectives des
Pour chacune de ces trois fonctions, dire si la fonction est continue sur [
].
⃗
⃗
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
Rappel : Représentation graphique d’une fonction et continuité
Graphiquement, on peut reconnaître qu’une fonction est continue sur un intervalle
lorsqu’on peut tracer sa
courbe représentative de manière continue, c’est-à-dire sans lever le crayon. Par ailleurs, une fonction n’est pas
continue en un point
(
) lorsqu’on doit lever le crayon en .
La fonction
est continue sur [
La fonction
est continue sur [
( )
]. De même, la fonction
[ et sur ]
est continue sur [
].
] mais n’est pas continue en 3 puisque
( )
et
.
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3
Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Pour chacune des fonctions suivantes, rappeler sur quel(s) ensemble(s) la fonction est définie et continue.
( )
| |
√
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1)
La fonction
2)
La fonction
3)
La fonction
est une fonction polynôme (à coefficients réels), définie et continue sur
.
| |
est la fonction valeur absolue, définie et continue sur
.
√
est la fonction racine carrée, définie et continue sur
.
4)
La fonction
est la fonction inverse, définie et continue sur ]
[ et sur ]
[.
5)
La fonction
est la fonction cosinus, définie et continue sur
.
6)
La fonction
7)
est la fonction sinus, définie et continue sur
.
( )
Rappel : Partie entière d’un réel et fonction partie entière
La partie entière d’un nombre réel
note ( ). Pour tout
est l’unique entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. On la
, on a donc ( )
( )
La fonction partie entière est la fonction définie sur
fonction partie entière
.
qui, à tout réel , associe sa partie entière
( ). La
est donc ainsi définie :
( )
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4
La fonction est la fonction partie entière, définie sur . Cette fonction est continue en toute valeur réelle
non entière mais n’est pas continue en toute valeur réelle entière. Autrement dit, la fonction est continue sur
{
}.
En effet, pour tout
, d’une part
( )
( )
et d’autre part
.
8)
La fonction
est la fonction exponentielle, définie et continue sur
.
9)
La fonction
est la fonction logarithme népérien, définie et continue sur
.
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5
Exercice 4 (3 questions)
Soit la fonction
définie sur
Niveau : facile
par ( )
{
| |
√ (
.
)
1) Montrer que est continue sur
{ }.
2) Etudier la continuité de en 1.
3) En déduire la continuité de la fonction sur son ensemble de définition.
Correction de l’exercice 4
1) Montrons que
Retour au menu
{ }, c’est-à-dire que
est continue sur
est continue sur ]
[ et sur ]
[.
Rappel : Continuité d’une fonction construite algébriquement par opération
Soient
et
deux fonctions continues sur un intervalle et soit
 la fonction (
un réel. Alors, on a les résultats suivants :
) est continue sur . Autrement dit, la somme de deux fonctions continues sur un
même intervalle est continue sur cet intervalle.
 la fonction (
) est continue sur . Autrement dit, la différence de deux fonctions continues sur un
même intervalle est continue sur cet intervalle.
 la fonction (
) est continue sur . Autrement dit, le produit de deux fonctions continues sur un même
intervalle est continue sur cet intervalle.
 la fonction
est continue sur . Autrement dit, le produit d’un réel par une fonction continue sur un
intervalle est continue sur cet intervalle.
Remarque : Le quotient de deux fonctions continues sur un même intervalle est abordé dans un prochain
exercice.
[, ( ) | |
. Sur cet intervalle, est la somme de la fonction valeur absolue,
[, et de la fonction affine
, continue sur
]
[. Par conséquent,
[.
Pour tout
]
continue sur
]
est continue sur ]
Pour tout
]
[, ( ) √ (
). Sur cet intervalle,
continue sur
]
[, par la fonction polynôme
conséquent, est continue sur ]
[.
Il en résulte que
est continue sur ]
2) Etudions la continuité de
D’une part,
( )
| |
[ et sur ]
est le produit de la fonction racine carrée,
, continue sur
]
[. Par
[.
en 1.
.
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D’autre part,
Ainsi,
( )
( )
√ (
( )
)
( )
3) Montrons que la fonction
.
. Autrement dit, la fonction
est continue sur
D’après la première question, est continue sur
continue en 1. On en déduit que est continue sur
est continue en 1.
.
{ } et d’après la question précédente,
est également
.
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Exercice 5 (1 question)
Soit la fonction
Niveau : moyen
définie sur
par ( )
{
√
(
soit continue sur son ensemble de définition.
. Déterminer la(les) valeur(s) du réel
)
Correction de l’exercice 5
]
Pour tout
[,
pour que
Retour au menu
( )
√
. Sur cet intervalle,
est la différence de la fonction racine carrée,
continue sur
donc sur ]
[, et de la fonction inverse, continue sur
donc sur ]
conséquent, étant la différence de fonctions continues sur un même intervalle, est continue sur ]
Pour tout
sur ]
[, ( )
]
[.
(
est continue sur ]
Il en résulte que
Reste à étudier la continuité de
( )
D’une part
Or, la fonction
(
)
) . Sur cet intervalle,
[ et sur ]
[. Par
[.
est une fonction polynôme, continue sur
donc
[.
en 4.
(√
)
et d’autre part
est continue en 4 si et seulement si
( )
(
( )
)
(
) .
( ), c’est-à-dire si et seulement si
.
Pour tout
,(
)
.
Rappel : Racines d’un trinôme du second degré
Soit
le discriminant du trinôme
(
). Alors
.
 1er cas :
Le trinôme
admet une racine réelle double :
 2e cas :
Le trinôme
admet deux racines réelles distinctes :
√
√
 3e cas :
Le trinôme
n’admet aucune racine réelle (mais admet deux racines complexes conjuguées).
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Soit
le discriminant du trinôme du second degré
Comme
, le trinôme
.
admet deux racines réelles distinctes :
√
Finalement, la fonction
. Alors
√
√
est continue en 4, et donc sur , si et seulement si
{
√
√
√
}.
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Exercice 6 (3 questions)
Niveau : moyen
Définition : Prolongement par continuité d’une fonction (hors programme)
Soit
un intervalle et soit
. Soit
prolongeable par continuité en
continuité de la fonction
2) La fonction
sur
( )
si et seulement si
( )
(
est alors la fonction ̃ définie et continue sur par ̃( )
1) Montrer que la fonction
{ } par
définie sur
{
définie sur
{ }. On dit que
une fonction définie et continue sur
} par
( )
est
). Le prolongement par
{
( )
{ }
.
est prolongeable par continuité sur
( )
.
est-elle prolongeable par continuité
?
3) La fonction
définie sur
par
( )
( )
est-elle prolongeable par continuité sur
Correction de l’exercice 6
1) La fonction
?
Retour au menu
est définie sur
{ } par
( )
.
Rappel : Continuité d’une fonction définie par le quotient de deux fonctions
Soit
une fonction continue sur un intervalle
fonction
et soit
une fonction non nulle continue sur . Alors, la
est continue sur . Autrement dit, le quotient d’une fonction continue sur un intervalle par une
fonction non nulle continue sur un même intervalle est continue sur cet intervalle.
Remarque importante : En particulier, toute fonction rationnelle (c’est-à-dire toute fonction quotient de
fonctions polynômes) est continue sur son ensemble de définition.
La fonction
{ }.
est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son ensemble de définition, à savoir sur
{ },
Pour tout
Comme
( )
en 1 de la fonction
(
( )
( )
,
)(
)
( )
. Dès lors,
( )
et
.
est prolongeable par continuité en 1. Le prolongement par continuité
est la fonction ̃ définie et continue sur
par ̃ ( )
{
{ }.
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2) La fonction
La fonction
définition
{
est définie sur
{
(
(
)
(
( )
Il vient
.
},
( )
)(
( )
est la différence de deux fonctions rationnelles donc elle est continue sur son ensemble de
{
}.
Pour tout
(
} par
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
)
)(
(
)(
)
)
( )
et
(
)
( )
. Comme
( )
,
)
.
est prolongeable par continuité en 1.
( )
En revanche,
Comme
(
)
n’admet pas de limite finie en
3) La fonction
est définie sur
(
)
( )
et
(
)
(
n’est pas prolongeable par continuité en 1.
1,
( )
.
( )
par
La fonction est le quotient de la fonction
( ), continue sur
, continue sur
(fonction linéaire). De plus, pour tout
continue sur son ensemble de définition .
(fonction sinus), par la fonction
,
. Par conséquent,
est
Rappel : Dérivabilité d’une fonction en un point – Limite d’un taux d’accroissement
Soit
une fonction définie sur et soit
Pour tout
, tel que
.
, le nombre noté
( )
( )
est appelé taux d’accroissement de
Si ce taux d’accroissement admet une limite finie en , on dit que
dérivable en
( )
si et seulement si
⏟
( )
( )
est dérivable en . Autrement dit,
est
( réel fini).
Remarque : Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé de
( )
en .
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
en
et noté
( ).
( )
( )
( )
( )
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En définitive,
( )
( )
donc
est prolongeable par continuité. Le prolongement par
( )
continuité de la fonction
est la fonction ̃ définie et continue sur
par ̃ ( )
{
.
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Exercice 7 (2 questions)
Niveau : moyen
√
1) Montrer que la fonction
est définie et continue sur .
√
2) En déduire que la fonction
par ( )
définie sur
{
est continue sur
Correction de l’exercice 7
.
Retour au menu
1) Montrons que la fonction
√
est définie et continue sur .
Rappel : Définition et continuité d’une fonction composée
Soient
et
deux fonctions numériques définies respectivement sur
La fonction composée de
( )
et
, est définie par (
.
)
( )
( ( )) pour
et
.
et ( )
Autrement dit, pour
Si
par , notée
et
, on a (
sont continues respectivement sur
La fonction
√
et
)( )
( ( )).
, alors la fonction composée
est la composée de la fonction , définie sur
fonction , définie sur
par ( ) √ . Cette fonction composée, notée
suivantes sont satisfaites :
et ( )
.
Or, d’une part, la fonction
avec
.
D’autre part, la fonction
est continue sur
par ( )
.
, par la
, est définie si les conditions
est une fonction polynôme donc elle est définie et continue sur
est la fonction racine carrée donc elle est définie et continue sur
. Autrement dit,
. Vérifions
que, pour tout
, ( )
. Posons le discriminant du trinôme
:
.
Comme
, le trinôme
n’admet pas de racine réelle et est du signe de son monôme de plus haut
degré (ici
). Par conséquent, pour tout
, ( )
. Autrement dit, ( )
avec
.
Par composition, la fonction
continue sur .
2) Montrons que la fonction
est définie sur
est continue sur
 Etudions tout d’abord la continuité de
sur
par (
)( )
√
et cette fonction est
.
{ }.
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est définie par ( )
{ },
Pour tout
 Montrons désormais que
Pour tout
(√
) (√
)(√
)(√
)
(
)(√
)
)
, le trinôme
(
. Alors
(
)(
(au numérateur), il vient alors que, pour tout
)
(
)
√
(par continuité en 1) et, d’autre part,
continuité en 1). Par quotient des limites, il résulte que
( )
, on a finalement
Finalement, la fonction
,
)
) (√
Or, d’une part,
.
√
Après factorisation du trinôme
(
)
admet deux racines réelles distinctes :
√
( )
{ }.
)
le discriminant du trinôme du second degré
Comme
est continue sur
est continue en 1.
(
Posons
{ } donc
,
√
(
. Cette fonction est le quotient d’une fonction
{ } par une fonction (affine) non nulle continue sur
continue sur
( )
√
( )
( )
(√
(par
. Et comme, par définition de la fonction ,
( ). De ce résultat, il découle que la fonction
est continue sur
)
est continue en 1.
.
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Exercice 8 (1 question)
Niveau : moyen
Soit une fonction continue sur [
moins une solution.
] et à valeurs dans [
]. Montrer que l’équation ( )
Correction de l’exercice 8
admet au
Retour au menu
Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit
une fonction continue sur un intervalle
strictement compris entre les limites de
Autrement dit, l’équation ( )
Notons
en
de bornes
et
(finies ou infinies). Alors, pour tout réel
et en , il existe au moins un réel
de
tel que ( )
admet au moins une solution dans .
la fonction définie sur [
] par ( )
( )
.
Tout d’abord, est la différence de la fonction , continue sur [
] ; par conséquent, est continue sur [
].
sur [
], et de la fonction linéaire
Ensuite, ( )
( )
.
( )
Enfin,
( )
( )
.
( )
( )
.
( ). Or, pour tout
. Or, pour tout
[
[
],
],
( )
( )
. Ainsi,
. Ainsi,
( )
, continue
, c’est-à-dire
, c’est-à-dire
[ ( ) ( )] donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( )
Or,
admet au
]. Autrement dit, l’équation ( )
moins une solution dans [
admet au moins une solution dans
[
].
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Exercice 9 (7 questions)
Niveau : moyen
On considère l’équation ( ) :
.
Première partie – Encadrement d’une solution
1) Justifier que ( ) admet une unique solution
2) Proposer un encadrement de d’amplitude
dans .
.
Deuxième partie – Valeur exacte d’une solution par la méthode de Cardan
Soient
et
deux réels.
3) Démontrer que (
4) En déduire que si
)
et
(
)
(
vérifient le système {
5) Démontrer que, pour tous réels
)(
6) Résoudre dans l’équation ( ) :
7) En déduire la valeur exacte de .
.
est solution de ( ).
, alors
non nuls, {
et
)
{
(
)
.
.
Correction de l’exercice 9
Retour au menu
1) Justifions que l’équation ( ) admet une unique solution
dans .
Rappel : Théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)
Si
est une fonction continue et strictement
monotone sur un intervalle
de bornes
et
(finies ou infinies), alors, pour tout réel
strictement compris entre les limites de
et en , il existe un unique réel
que ( )
de
Monotonie
de
croissante
décroissante
Intervalle
[ ( )
en
[
]
tel
[
[
[ ( )
]
]
]
]
[
( )]
[ ( )
( )[
]
( )
( )]
[ ( )
( )]
( )]
.
Soit la fonction
définie sur
par
continue sur
. De surcroît,
(]
[)
l’équation ( )
]
( )
( )
]
( )
( )
. Comme
et
( )[ ]
( )
( )[
( )[
est une fonction polynôme, elle est
( )
. Ainsi,
[. Or,
]
[ donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
[.
admet au moins une solution dans ]
Montrons que cette équation n’admet qu’une solution en étudiant la stricte monotonie de .
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16
La fonction est la somme de la fonction
(fonction cube), strictement croissante sur , et de la
fonction
(fonction affine de taux d’accroissement positif), strictement croissante sur . Comme
est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur , est strictement croissante sur .
est une fonction continue et strictement monotone sur ]
Finalement,
(]
[)
( )
]
( )[
valeurs intermédiaires, l’équation ( )
que l’équation ( ) admet une unique
( )
-2
-1,699
-1,392
-1,073
-0,736
-0,375
0,016
0,443
0,912
1,429
2
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
De cette première étude, on conclut
]
[
que
(encadrement d’amplitude
).
Pour tous réels
(
)
)
(
)
)(
(
)
(
(
)
et
En particulier, (
vérifient le système {
)
)(
)(
)
.
(
)
(
et
et pour tout entier naturel
non
nul, on a :
)
4) Déduisons-en que si
(
(
.
Pour tous réels
(
)
De cette dernière étude, on conclut
]
[
que
(encadrement d’amplitude
).
est :
)
)
(
0,590
0,591
0,592
0,593
0,594
0,595
0,596
0,597
0,598
0,599
0,600
( )
-0,024621
-0,020575
-0,016525
-0,012472
-0,008415
-0,004355
-0,000291
0,0037762
0,0078472
0,0119218
0,016
Formule du binôme de Newton (hors programme)
⏟
(
(
[, ce qui revient à dire
( )
-0,375
-0,337349
-0,299392
-0,261123
-0,222536
-0,183625
-0,144384
-0,104807
-0,064888
-0,024621
0,016
De cette deuxième étude, on
]
[
conclut que
(encadrement d’amplitude
).
et ,
(
dans ]
. Utilisons pour ce faire un tableau de valeurs et la
à l’équation ( ), d’amplitude
Un encadrement de la solution
3) Démontrons que (
[ donc, d’après le corollaire du théorème des
admet une unique solution
[.
dans ]
d’amplitude
2) Proposons un encadrement de
méthode par balayage.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
]
[ et, d’après ce qui précède,
)(
, alors
)
)
∑( )
)
.
est solution de ( ).
(
)
)
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Par conséquent, si
vérifient le système {
et
5) Démontrons que, pour tous réels
Pour tous réels
et
et
est solution de ( ).
, alors
(
{
non nuls, {
)
.
non nuls,
(
{
(
)
{
{
l’équation ( ) :
.
)
(
{
)
{
6) Résolvons dans
Soit le discriminant du trinôme
admet deux racines réelles distinctes :
(
)
√
(
.
√
)
√
L’équation ( ) admet deux solutions réelles :
√ et
(
)
(
)
. Comme
√
, le trinôme
√
√
√ .
7) Donnons la valeur exacte de .
√
Posons
√ . Alors, d’après la question 6), en posant
Posons de plus
est solution de ( ).
. Alors l’équivalence établie à la question 5) prouve que les réels
√
le système {
,
et
satisfont
√
.
√
On en déduit, d’après la question 4), que
√
Finalement,
√
√
√
√
est solution de ( ).
√
.
√
Remarques :


(
√
√
√
√
√ )(
√
√ )
√
√
√
d’où
√
√
√
√
√√
. Autrement dit,
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Exercice 10 (1 question)
Soit la fonction
Niveau : moyen
par ( )
définie sur
{
( )
. Montrer que
est continue sur .
Correction de l’exercice 10
Retour au menu
 Montrons tout d’abord que
est continue sur
.
Pour tout non nul, est le produit de la fonction carré d’une part par la composée de la fonction inverse par la
fonction sinus d’autre part, toutes continues sur . Par conséquent, est continue sur .
 Montrons enfin que
est continue en 0.
Rappel : Théorème des gendarmes – Théorème d’encadrement des limites
Soient ,
Si pour
et
trois fonctions et soit un nombre réel.
« assez voisin » de
( )
( )
( ), si
( )
et si
( )
, alors
.
, |
Pour tout réel
|
( fini ou infini), ( )
( )|
( )|
. D’où, en multipliant par
. Autrement dit,
|
( )|
,
, c’est-à-dire
|
( )|
| ( )|
donc, d’après le théorème des gendarmes en 0, il résulte que
Or,
( )
.
| ( )|
. Par conséquent,
.
Et comme par définition de la fonction , ( )
continuité de la fonction
Il résulte que
. Il vient alors que
, on a bien
( )
( )
, résultat qui traduit la
en 0.
est continue sur
.
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19
Exercice 11 (2 questions)
Niveau : difficile
1) Montrer que l’équation
admet deux solutions réelles.
2) Ecrire un algorithme avec AlgoBox permettant d’obtenir un encadrement de chaque solution avec une
amplitude de
.
Correction de l’exercice 11
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1) Montrons que l’équation
Soit la fonction
admet deux solutions réelles.
par ( )
définie sur
.
est continue et dérivable comme somme de fonctions continues et dérivables sur
( )
(
) (
)
. Pour tout
réel, on a :
(
)
Or, pour tout réel,
, d’où
(par décroissance de la fonction
).
Par conséquent, comme
pour tout réel , ( ) est du signe de . Autrement dit, ( )
si et
seulement si
et ( )
si et seulement si
. On en déduit que est strictement décroissante sur
]
] et strictement croissante sur [
[.
 Montrons que l’équation ( )
admet une et une seule solution dans ]
D’une part, par continuité de la fonction
en 0, ( )
réel non nul, ( )
D’autre part, pour tout
.
). Or, |
(
résultats suivants, en multipliant respectivement par | |
| |
Comme
|
limites par encadrement que
|
|
|
des limites, il résulte que
[ ( )
|
|
| | et |
|
, d’où les
|
| |.
.
, c’est-à-dire
(
( )
On vient de montrer que, sur ]
])
:
et |
, il vient d’après le théorème des limites par
Finalement, par somme des limites,
(]
, c’est-à-dire
| |
encadrement que
et | |
|
(par composition des limites), il vient d’après le théorème des
| |
De même, comme
].
)
. Comme enfin
, par produit
.
],
( )[
.
[
est non seulement continue et strictement décroissante mais aussi que
[. Par conséquent, comme
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( )
]
].
que
[
[, d’après le
admet une unique solution
telle
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20
 Montrons que l’équation ( )
méthode que précédemment.
admet une et une seule solution dans [
On a montré d’une part que ( )
nul. Comme |
|
| | et |
et d’autre part que ( )
|
| | et comme
théorème des limites par encadrement, que
( )
produit des limites,
[)
[ ( )
(
| |
) , pour tout
| |
et
et
réel non
, il vient, en utilisant le
. Finalement, par somme puis par
.
On vient de montrer que, sur [
([
[ en utilisant la même
( )[
[,
[
est non seulement continue et strictement croissante mais aussi que
[. Par conséquent, comme
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( )
[
[.
que
[
[, d’après le
admet une unique solution
telle
En définitive, l’équation ( )
admet deux solutions et deux seules (l’une négative et l’autre positive),
notées et . Autrement dit, l’équation
admet deux solutions
et
.
2) Ecrivons un algorithme avec AlgoBox permettant d’obtenir une valeur approchée de
et
à
près.
Rappel : Variante du théorème de bijection (variante du corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires)
Si
est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
infinies) et si ( ) ( )
, alors l’équation ( )
de bornes
et
(finies ou
admet une unique solution dans .
Explications : Appuyons-nous sur la variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci-dessus.
 Pour commencer, on détermine un intervalle [
solutions de l’équation ( )
avec ( )
 On calcule alors le
de l’intervalle [
[
] ou [
solution de l’équation ( )
. En effet, si (
] contenant l’une des
.
] puis, parmi les intervalles
], on détermine celui auquel appartient la
) et (
) sont de même signe, c'est
] et, dans ce cas, on affecte à
que la solution se trouve dans l’intervalle [
la valeur de
.
 On réitère la démarche en faisant jouer à la variante
le rôle de
ou de
selon l’intervalle retenu, jusqu’à obtenir la précision demandée.
]
Remarque : L’intervalle initial [
peut être choisi après avoir représenté la fonction dans un repère.
Ci-contre est représentée la fonction f dans un repère orthonormé
( ⃗ ⃗) du plan.
⃗
⃗
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Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox
1 VARIABLES
2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE
Fonction numérique utilisée :
3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE
F1(x)=pow(x,2)-x*sin(x)-cos(x)
4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE
5 milieu EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 AFFICHER "Indiquer la précision désirée : "
8 LIRE precision
9 AFFICHER precision
10 AFFICHER "Indiquer la borne inférieure : "
11 LIRE borne_inferieure
12 AFFICHER borne_inferieure
13 AFFICHER "Indiquer la borne supérieure : "
14 LIRE borne_superieure
15 AFFICHER borne_superieure
16 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE
17 DEBUT_TANT_QUE
18 milieu PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2
19 SI (F1(milieu)*F1(borne_superieure)>0) ALORS
20
DEBUT_SI
21
borne_superieure PREND_LA_VALEUR milieu
22
FIN_SI
23
SINON
24
DEBUT_SINON
25
borne_inferieure PREND_LA_VALEUR milieu
26
FIN_SINON
27 FIN_TANT_QUE
28 AFFICHER borne_inferieure
29 AFFICHER " < solution < "
30 AFFICHER borne_superieure
31 FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
Recherche d’un encadrement de
***Algorithme lancé***
Indiquer la précision désirée : 0.001
Indiquer la borne inférieure : -2
Indiquer la borne supérieure : -1
-1.2207031 < solution < -1.2197266
***Algorithme terminé***
(
)
Recherche d’un encadrement de
(
)
***Algorithme lancé***
Indiquer la précision désirée : 0.001
Indiquer la borne inférieure : 1
Indiquer la borne supérieure : 2
1.2197266 < solution < 1.2207031
***Algorithme terminé***
Fonction continue sur un intervalle – Continuité – Exercices corrigés
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