TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES 2 Année

TRAVAUX DIRIGES
DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES
2ème Année
Certains résultats sont donnés à titre indicatif sous réserve d’erreurs de dactylographie

MAP L2, TD No1
Transformée de Laplace
Exercice 1
Calculer par intégration la transformée de Laplace des fonctions suivantes :
a/ )(. teat γ ap−
1
b/ )().( ttCos
γ
ω
²²
ω +p
p
c/ )().( ttSin
γ
ω
²²p
ω
ω
+
d/ )t().t²(Sin
γ
()
4²
2+pp
e/ )t().t²(Cos
γ
()
4²
2²
+
+
pp
p
Exercice 2
a) Calculer la transformée de Laplace du signal suivant par calcul direct.
0
x0
t
τ
XM
b) Calculer de nouveau la transformée de Laplace de ce signal par construction
graphique.
p
e
.X)p(X
p
M
O
τ −
−
=1
Exercice 3
Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace du signal périodique
suivant :
0
x3
t
τ
XM
T

pT
p
M
e
e
.
p
X
)p(X −
−
−
−
=1
1
3
τ
Exercice 4
Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de y0(t) et du signal
périodique y(t).
y0
t
Τ
2
YM
Τ
y
t
Τ
2
YM
Τ
()
4
1
22
T
.pth.
p
.
T
Y
.)p(Y M =
Exercice 5
Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de x0(t) et du signal
périodique x(t).
x0
2.τ
τ
t
3.τ
XM
x
2.τ
τ
t
3.τ
XM
1
1
²
1
)(11
²
1
)( 2
2
2
0++
+−
=
− −= −−
−
−−
pp
p
M
pp
M
ee
e
p
X
pXee
p
X
pX
ττ
τ
ττ
ττ
. . .
Exercice 6
Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de x0(t) et du signal
périodique x(t).

0
x0
t
Τ
2
XM
-XM
Τ
0
x
t
Τ
2
XM
-XM
Τ
(
)
4
. 1 .
2
0T
ptanh
P
X
)p(Xe
P
X
)p(X M
p
MT=
−= −
τ
Exercice 7
Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace correspondant à une
arche de sinusoïde x0(t) puis la transformée de Laplace d’une sinusoïde redressée x(t).
()
2
2
1
1
T
p
T
p
e
e
²²p
pX −
−
−
+
+
=
ω
ω

MAP L2, TD No2
Transformée inverse de Laplace
Application à la résolution des équations différentielles
Calculer les transformées de Laplace inverse des fonctions suivantes et dessiner
leurs évolutions temporelles.
1) Série 1
a) F(p) = p
ee pp 2
21 −− +− f(t) =
γ (t) - 2 γ (t-1) + γ (t-2)
b) F(p) = 1
1
2+
+Π−
p
ep
f(t) = sin(t) . γ (t) + sin(t-π) . γ (t-π)
c) F(p) = 1
2
−
−
p
ep
f(t) = e 2−t γ (t-2)
d) F(p) = 22
2++
Π−
pp
ep
f(t) = sin (t-
Π
).e )( t−Π γ (t-π)
e) F(p) = )1(
1
p
ep − + ∑−−−−= )n.t()n.t()t(f 122
γγ
f) F(p) = )1(
1
2
2
+
−Π−
pp
ep
g) F(p) = )1(
)1(
3
2
p
p
ep
e
−
−
−
−
2) Série 2 : Utilisation de la décomposition en éléments simples
a) F(p) = )1(
1
+pp f(t) = (1-e t−) .γ(t)
b)
F(p) = 23
1
2++
−
pp
p f(t) = (-2.e t−+3.e t.2−) .γ(t)
c)
F(p) = 23
1
2++
+
pp
p f(t) = e t2− .γ(t)
d) F(p) = )9)(2(
1
2−+ pp f(t) = )65(
30
1233 ttt eee −− −+ .γ(t)
e) F(p) = 2
)2)(1(
1−− pp f(t) = (e t-e t2 + tet2) .γ(t)
f) F(p) = )1()2(
1
2−+ pp f(t) = )t()].(ee[ ttt
γ 31
9
12+− −
g) F(p) = 4)1(
2)1(3
2++
−+
p
p f(t) = e
(
)
(
)
)t().tsintcos.(
t
γ 223 −
−
Cas des racines complexes :