Corrigés - Maths54

Primitives et intégrales Solutions
Gérard Hirsch – Maths54
a. 542 :2374fx x x x x I−+−+ =aR
f est une fonction polynôme, donc f est est continue sur R et elle admet des primitives sur R.
D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :
5432 ,,,,1xx xx xx xx xxxaaaaaa
admettent respectivement pour primitives les fonctions :
65432
,,,,,
65432
xxxxx
x
xxxxxxa aaaaa
La fonction f admet pour primitives sur R la fonction F :
65
32
27
() 4 ,
65 2
xx
F x x x x C où C=− +− ++ ∈
b. 4
sin
:,
cos 2 2
x
fx I
x
ππ
=− a
Sur ,
22
Iππ
=− , le cosinus ne s’annule pas et la fonction f est continue sur cet intervalle
Posons () cosux x= alors '( ) sinux x=− et 4
4
'( )
() '() ()
()
ux
f
xuxux
ux
−
=− =−
Les fonctions F définies sur ,
22
Iππ =− par
3
33
11111
() ()
33()3cos
Fx u x C CavecC
ux x
−
==+=+ ∈R
sont les primitives de f sur I.

Primitives et intégrales Solutions
Gérard Hirsch – Maths54
Calculer les intégrales
1
0
1Axdx=+
∫
Sur
[
]
0,1 , alors 10x+> et la fonction () 1
f
xx
=
+ est continue sur cet intervalle,
l’intégrale A existe
Posons () 1ux x=+ alors '( ) 1ux= et () () '()
f
xuxux=
La fonction F définie sur
[
]
0,1 par
[
]
3/2
3/2
() 2
() (1 )
33
2
ux
Fx x==+ est bien une primitive de f
sur I.
Alors 1
3/2 3/2
0
222
(1 ) 2 1 2 2 1
333
Ax
=+ = −= −
/2
0
4
sin cos
B
xxdx
π
=∫
Sur 0, 2
π
, la fonction 4 () sin cos
f
xxx= est continue, l’intégrale B existe
Posons ( ) sinux x= alors '( ) cosux x= et 4
() () '()
f
xuxux=
La fonction F définie sur 0, 2
π
par 55
11
() () sin
55
Fx u x x==
est une primitive de f sur 0, 2
π
.
Alors /2
555
0
11 1
sin sin sin 0
5525
Bx
ππ
==−=
/4
0
2
(1 tan ) tanCxxdx
π
=+
∫
Sur 0, 4
π
, la fonction 2 ( ) (1 tan ) tan
f
xxx=+ est continue, l’intégrale C existe
Posons () tanux x= alors 2
'( ) (1 tan )ux x=+ et () '() ()
f
xuxux
=

Primitives et intégrales Solutions
Gérard Hirsch – Maths54
La fonction F définie sur 0, 4
π
par 22
11
() () tan
22
Fx u x x== est une primitive de f sur
0, 4
π
.
Alors /4
222
0
11 1
tan tan tan 0
2542
Cx
ππ
==−=
Remarque
En remplaçant sin
tan cos
x
x par
x
et 2
2
1
1tan cos x par
x
+
on a
/4 /4
00
2
3
sin
(1 tan ) tan cos
x
x
xdx dx
x
ππ
+=
∫∫
qui s’intègre en posant au choix
() tanux x= ou ( ) cosux x=
1
02
1
22
x
Ddx
xx
+
=++
∫
Le trinôme du second degré 222xx++
est à discriminant négatif, il n’admet pas de racine
dans R et le signe du trinôme prouve que 2
,220xxx∀∈ + + >R et donc aussi pour
[
]
0,1x∈
Sur
[
]
0,1 , la fonction 2
1
()
22
x
fx
xx
+
=
+
+ est continue, l’intégrale D existe
Posons 2
() 2 2ux x x=++ alors '( ) 2 2 2( 1)ux x x
=
+= + et '( )
() 2()
ux
fx ux =
La fonction F définie sur
[
]
0,1 par 2
() () 2 2Fx ux x x
=
=++
est une primitive de f sur
[
]
0, 1 .
Alors
1
2
0
22 5 2Dxx =++=−