Corrigés - Maths54

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Primitives et intégrales
a. f : x a x 5 − 2 x 4 + 3 x 2 − 7 x + 4
Solutions
I =R
f est une fonction polynôme, donc f est est continue sur R et elle admet des primitives sur R .
D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :
x a x5
x a x4 ,
x a x3 ,
x a x2 ,
x a x,
x a1
admettent respectivement pour primitives les fonctions :
xa
x6
,
6
xa
x5
,
5
xa
x4
,
4
xa
x3
,
3
xa
x2
,
2
xax
La fonction f admet pour primitives sur R la fonction F :
F ( x) =
b. f : x a
x 6 2 x5
7
−
+ x 3 − x 2 + 4 x + C , où C ∈
6
5
2
sin x
cos 4 x
 π π
Sur I =  − ,
 2 2
 π π 
I =− , 
 2 2 

 , le cosinus ne s’annule pas et la fonction f est continue sur cet intervalle
Posons u ( x) = cos x alors u '( x) = − sin x et f ( x) = −
u '( x)
= −u '( x) u −4 ( x)
4
u ( x)
 π π
Les fonctions F définies sur I =  − ,  par
 2 2
1
1 1
1 1
F ( x) = u −3 ( x) =
+C =
+ C avec C ∈ R
3
3
3 u ( x)
3 cos3 x
sont les primitives de f sur I.
 Gérard Hirsch – Maths54
Primitives et intégrales
Solutions
Calculer les intégrales
A=∫
Sur
[ 0,1 ] ,
1
1 + x dx
0
alors 1 + x > 0 et la fonction f ( x) = 1 + x est continue sur cet intervalle,
l’intégrale A existe
Posons u ( x) = 1 + x alors u '( x) = 1 et f ( x) = u ( x) u '( x)
La fonction F définie sur [ 0,1 ] par
[ u ( x) ]
F ( x) =
3/ 2
3
2
=
2
(1 + x)3/ 2 est bien une primitive de f
3
sur I.
Alors A =
π/2
B=∫
1
2
2
2
(1 + x)3/ 2  =  23/ 2 − 1 =  2 2 − 1

0
3
3
3
sin 4 x cos x dx
0
 π
Sur  0,  , la fonction f ( x) = sin 4 x cos x est continue, l’intégrale B existe
 2
Posons u ( x) = sin x alors u '( x) = cos x et f ( x) = u 4 ( x) u '( x)
1
1
 π
La fonction F définie sur  0,  par F ( x) = u 5 ( x) = sin 5 x
5
5
 2
 π
est une primitive de f sur  0,  .
 2
π/ 2
1
1
π
 1
Alors B = sin 5 x  =  sin 5 − sin 5 0  =
0
5
5
2
 5
C=∫
π/4
(1 + tan 2 x) tan x dx
0
 π
Sur  0,  , la fonction f ( x) = (1 + tan 2 x) tan x est continue, l’intégrale C existe
 4
Posons u ( x) = tan x alors u '( x) = (1 + tan 2 x) et f ( x) = u '( x) u ( x)
 Gérard Hirsch – Maths54
Primitives et intégrales
Solutions
1
1
 π
La fonction F définie sur  0,  par F ( x) = u 2 ( x) = tan 2 x est une primitive de f sur
2
2
 4
 π
 0, 4  .
Alors C =
π/4
1
1
π
 1
 tan 2 x  =  tan 2 − tan 2 0  =
0
2
5
4
 2
Remarque
En remplaçant tan x par
on a
∫
π/4
0
sin x
1
et 1 + tan 2 x par
cos x
cos 2 x
(1 + tan 2 x) tan x dx = ∫
π/ 4
0
sin x
dx qui s’intègre en posant au choix
cos3 x
u ( x) = tan x ou u ( x) = cos x
D=∫
x +1
1
0
x + 2x + 2
2
dx
Le trinôme du second degré x 2 + 2 x + 2 est à discriminant négatif, il n’admet pas de racine
dans R et le signe du trinôme prouve que ∀x ∈ R , x 2 + 2 x + 2 > 0
et donc aussi pour
x ∈ [ 0,1 ]
Sur [ 0,1 ] , la fonction f ( x) =
x +1
x + 2x + 2
2
est continue, l’intégrale D existe
Posons u ( x) = x 2 + 2 x + 2 alors u '( x) = 2 x + 2 = 2( x + 1) et f ( x) =
u '( x)
2 u ( x)
La fonction F définie sur [ 0,1 ] par F ( x) = u ( x) = x 2 + 2 x + 2 est une primitive de f sur
[ 0, 1 ] .
1
Alors D =  x 2 + 2 x + 2  = 5 − 2

0
 Gérard Hirsch – Maths54
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