Licence de Mécanique Thermodynamique LA3M1 DE du Lundi 02

Licence de Mécanique
Thermodynamique LA3M1
DE du Lundi 02 Novembre 2009
Durée du contrôle: 2h00
Les documents et calculettes ne sont pas autorisés.
Les durées entre parenthèses sont, bien sûr, données à titre indicatif
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QUESTIONS DE COURS (10 mn)
A propos de chaque énoncé, indiquer s’il est vrai ou faux et justifier votre réponse.
1.
Si un système subit un processus isentropique, ce processus est nécessairement réversible et adiabatique.
2.
Pour tout processus, la seconde loi de la thermodynamique exige que la variation d’entropie du système soit
positive ou nulle.
3.
Dans un processus d’écoulement permanent adiabatique, l’entropie du fluide augmente pour toute
irréversibilité présentée par le système.
4.
Un gaz parfait s’écoule dans un tuyau horizontal parfaitement calorifugé en subissant une perte de pression
par frottements visqueux :
– se refroidit-il ?
– s’échauffe-t-il ?
– conserve-t-il sa température ?
5.
Les systèmes suivants sont-ils fermés, ouverts ou isolés
–
–
–
–
Le corps humain
Une bouteille thermos fermée contenant du café
La terre
Une horloge électrique sous une cloche à vide.
PROBLEME (70 mn) Etude d’un vérin pneumatique
Remarque ; les valeurs numériques sont données à titre indicatif
L’étude s’intéresse aux différents modes de fonctionnement d’un vérin pneumatique. Toutes les parois du vérin
sont adiabatiques, séparées en deux corps C1 et C2 par un piston mobile parfaitement étanche pouvant être
actionné de l'extérieur par l'intermédiaire d'un axe transperçant le cylindre. Les deux corps contiennent un même
gaz, initialement à la même température To = 300 K. Ce gaz sera considéré comme un gaz parfait pour lequel le
rapport des capacités thermiques molaires à pression constante Cp et à volume constant Cv a pour valeur γ = 1.4 à
toute température.
On rappelle que C v =
R
Rγ
(J / mol.K) et CP =
(J / mol.K)
γ −1
γ −1
Initialement, les deux corps C1 et C2 ont même volume V0 = 10 litres, mais la pression initiale P20 = 2 bar est le
double de la pression initiale P10. Le piston est maintenu en équilibre en exerçant à l'extérieur une force Fo sur
l'axe.
Piston
P10=1bar
P20=2 bar
Corps 1
F0
Corps 2
1- Le piston est parfaitement adiabatique et l'on réduit progressivement la force extérieure de la valeur initiale Fo à
une valeur nulle, de telle sorte que le gaz subisse des transformations adiabatiques quasi statiques dans chaque
corps.
1.1- Déterminer le rapport des volumes V1f et V2f des deux corps en fin d'évolution quasi statique et en déduire les
expressions de V1f et V2f en fonction de V0.
1.2- Déterminer la pression finale Pf, les températures finales T1f et T2f,
1.3- Exprimer la variation totale d'énergie interne ΔU du système en fonction de P10 , γ et V0. Justifier le signe de
ΔU
1.4- Déterminer la variation d'entropie du système dans cette transformation.
2- Le piston est parfaitement diatherme (les transferts de chaleur sont possibles au travers de la paroi du piston).
Cette fois, la transformation quasi statique que l'on envisage n'est adiabatique que globalement. Elle ne l'est pas
pour chaque compartiment, puisque des échanges thermiques vont avoir lieu à travers le piston.
2.1- Déterminer le nouveau rapport des volumes V1f et V2f des deux corps en fin d'évolution quasi statique.
2.2- Déterminer la température finale Tf en utilisant l’expression de la variation d’entropie
2.3- En déduire la pression finale Pf
2.4- Déterminer la variation totale d'énergie interne
3- Le piston est diatherme. On supprime subitement la force extérieure F0.
3.1- Déterminer la variation totale d'énergie interne du système dans cette transformation.
3.2- En déduire la température finale Tf ainsi que la pression finale Pf.
3.3- Quelle est la variation d'entropie du système ?
4- Le piston est adiabatique. On supprime subitement la force extérieure F0.
On repère la position du piston par le rapport α = (V1 − V0 ) / V0 , avec V1 le volume du compartiment 1 à un
instant intermédiaire.
4.1- Etudier, en fonction de α , l'énergie interne totale des gaz contenus dans chaque compartiment en faisant
l'hypothèse qu'ils subissent une transformation quasi statique.
4.2- Calculer la variation de l'énergie minimale ΔU min des gaz en prenant l'état initial comme référence. Discuter
l'évolution thermodynamique d'un tel système (comparer par rapport à la situation de la question 1).
EXERCICE (40 mn) : Entropie de mélange, application du cours
Calcul de l’entropie lors d’un mélange de n gaz
On met en communication plusieurs compartiments d’un récipient de volumes V. Chacun des n compartiments i
est séparé par une paroi amovible. A l’instant initial avant l’opération de mélange, la pression, la température, le
volume sont respectivement P0 , T 0 , V 0 . Chaque compartiment contient un gaz parfait dont les capacités
i
i
i
thermiques molaires à pression constante et à volume constant s’expriment par Cpi(T) et Cvi(T). On notera la
fraction molaire x = ni n . Le récipient et les parois amovibles sont parfaitement calorifugés.
i
On enlève les parois et au bout d’un certain temps, on obtient un mélange idéal de gaz parfaits, à la température T
et à la pression P.
1- Déterminer l’expression de la température T du mélange en fonction de T 0 . On précisera à quelle température
i
est prise la valeur de la capacité calorifique de l’azote.
2- Déterminer l’expression de la pression P
3- Donner l’expression de la variation d’entropie ΔS . Que vaut le terme de production d’entropie par opération
interne Si
P10
Pi0
Pn0
T10
Ti0
Tn0
V10
Vi0
Vn0
n1
ni
nn
Paroi adiabatique
Compartiment i
Compartiment 1
Compartiment n