Exercice 1. On considère deux urnes contenant chacune dix

Université Mohammed V-Agdal
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Année Universitaire 2011/12
SMI4- M16 : Probabilités -Statistiques
Evaluation1
Durée 1 heure
Exercice 1.
On considère deux urnes contenant chacune dix boules : la première deux noires et huit blanches,
la deuxième cinq noires et cinq blanches.
1. On tire de la première urne trois boules simultanément et on désigne par X la variable aléatoire
représentant le nombre de boules blanches obtenues lors du tirage.
Déterminer la loi de probabilité de X.
2. On tire trois boules simultanément de l’une des deux urnes. Elles sont toutes blanches.
Quelle est la probabilité de les avoir tirées de la première urne ?
Exercice 2.
Une secrétaire effectue n appels téléphoniques distincts vers n correspondants distinct. A chaque
appel la secrétaire a la probabilité p de joindre son correspondant. Soit X la variable aléatoire
égale au nombre de correspondants obtenus.
1. Déterminer la loi de X et son espérance.
2. La secrétaire rappelle une seconde fois dans les mêmes conditions les correspondants qu’elle
n’a pas pu joindre la première fois. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de
correspondants qu’elle a pu joindre cette deuxième fois
Donner la loi de Y sachant que X=i pour tout i entier dans l’intervalle [0,n]
3. Soit Z=X+Y la variable aléatoire égale au nombre total de correspondants qu’elle a pu
joindre. Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale (n, p(2-p)) de paramètres
n et p(2-p).
Indication : on pourra utiliser le résultat suivant :
Exercice 3.
Soit X une v.a. continue de densité
1. Calculer l’espérance de X.
2. Calculer la fonction de répartition F de X et en déduire la probabilité
3. On pose
. Déterminer la densité de Z.
.