Fonction de densité Une densité de probabilité est la limite d`un

Variables aléatoires continues Fonction de densité
Fonction de densité
Une densité de probabilité est la limite d’un histogramme
si on dispose d’un échantillon suffisamment important d’une
variable aléatoire continue X, représenté par un histogramme des
fréquences corrigées f(x)des différentes classes [x,x+dx ]alors
fréquence = prob =surface =f(x)dx
Si les classes de valeurs soient suffisamment étroites : dx ≈0,
cet histogramme va ressembler à la courbe d’une fct dite :
densité de probabilité de la variable aléatoire,
Intuitivement, si une loi de probabilité a pour densité f, alors
l’intervalle infinitésimal [x,x+dx ]a pour probabilité f(x)dx
La probabilité que a<X<best l’intégrale de fsur [a,b]:
P(a<X<b) = Zb
a
f(x)dx
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Fonction de densité(suite)
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Fonction de densité (suite)
Défintion
Pour une v.a. Xde support ∆X=I, la fonction f(x)vérifiant
∀a,b∈I,P(a<X<b) = Zb
a
f(t)dt
est dite fonction de densité de X
Remarques:
1f(x)≥0∀x∈R
2R+∞
−∞ f(x)dx =1
3P(X=x) = Rx
xf(t)dt =0
4P(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a≤X≤b)
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Variables aléatoires continues Fonction de densité
Fonction de densité (suite)
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Variables aléatoires continues Fonction de densité
Fonction de densité: Exemple
Exemple B. Soit la v.a Xqui peut prendre n’importe valeur dans [0,2]
avec une densité de probabilité constante f(x) = k,∀x∈[0,2].
le k?
Z2
0
f(x)dx =1⇒1=Z2
0
kdx =2K⇒k=1/2
P(1<X<1,5)?
P(1<X<1,5) = Z1,5
1
f(x)dx =Z1,5
1
1/2dx =1/2[x]1,5
1=1/4
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Variables aléatoires continues Fonction de répartition
Fonction de répartition
Définition
La Fonction de répartition de Xest la fonction définie sur Rpar
∀x∈RF(x) = P[X≤x] = Zx
−∞
f(t)dt
Remarques:
1∀x∈R,0≤F(x)≤1
2P(a<X<b) = F(b)−F(a)
3Fest une primitive de f,F′=f
4Fest une fct croissante continue ; Si en plus Fest strictement
croissante on peut définir son inverse F−1
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Variables aléatoires continues Fonction de répartition
Fonction de répartition : Graphe
Les valeurs de Fles probabilités cumulées: Fest une fct sigmoidal
(sous forme de sigma)
Figure: Graphe de la fonction de répartition F
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Variables aléatoires continues Fonction de répartition
Fonction de répartition : Exemple
Exemple B. (suite)
Pour x<0
F(x) = Zx
−∞
0dt =0
Pour x∈[0,2]
F(x) = Zx
−∞
f(t)dt =Z0
−∞
0dt +Zx
0
1/2dt =1/2(x−0) = 1/2x
Pour x>2
F(x) = Zx
−∞
f(t)dt =Z0
−∞
dt +Z2
0
1/2dt +Z+∞
2
0dt =1
F(x) = 0,x<0;
F(x) = 1/2∗x,0≤x≤2;
F(x) = 1,x>2.
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Variables aléatoires continues Fonction de répartition
Fonction de répartition : Exemple
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Variables aléatoires continues Espérance mathématique
Espérance mathématique
Définition
L’espérance mathématique de la v.a. X, notée E(X), est la moyenne
des valeurs possibles de Xpondérées par leurs probabilités respectifs.
E(X) = Zx∈∆
x∗f(x)dx
Remarques
1E(X)est dite aussi la moyenne de Xet est alors notée µ
2Généralement, pour r∈Nle moment d’ordre rde Xest
µr=E(Xr) = Zx∈∆ xr∗f(x)dx
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