Fonction de densité Une densité de probabilité est la limite d`un

Variables aléatoires continues
Fonction de densité
Variables aléatoires continues
Fonction de densité
Fonction de densité
Fonction de densité(suite)
Une densité de probabilité est la limite d’un histogramme
si on dispose d’un échantillon suffisamment important d’une
variable aléatoire continue X, représenté par un histogramme des
fréquences corrigées f (x) des différentes classes [x, x + dx] alors
fréquence = prob =surface = f (x)dx
Si les classes de valeurs soient suffisamment étroites : dx ≈ 0,
cet histogramme va ressembler à la courbe d’une fct dite :
densité de probabilité de la variable aléatoire,
Intuitivement, si une loi de probabilité a pour densité f , alors
l’intervalle infinitésimal [x, x + dx] a pour probabilité f (x)dx
La probabilité que a < X < b est l’intégrale de f sur [a, b]:
Z b
f (x) dx
P(a < X < b) =
a
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Fonction de densité
Variables aléatoires continues
Fonction de densité (suite)
Fonction de densité
Fonction de densité (suite)
Défintion
Pour une v.a. X de support ∆X = I, la fonction f (x) vérifiant
∀a, b ∈ I, P(a < X < b) =
Z
b
f (t)dt
a
est dite fonction de densité de X
Remarques:
1
2
3
4
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
R +∞
−∞ f (x) dx = 1
Rx
P(X = x) = x f (t)dt = 0
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
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Fonction de densité
Variables aléatoires continues
Fonction de densité: Exemple
Fonction de répartition
Exemple B. Soit la v.a X qui peut prendre n’importe valeur dans [0, 2]
avec une densité de probabilité constante f (x) = k , ∀x ∈ [0, 2].
le k ?
Z
Z
2
2
f (x)dx = 1 ⇒ 1 =
0
P(1 < X < 1, 5)?
P(1 < X < 1, 5) =
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1,5
f (x)dx =
1
Définition
La Fonction de répartition de X est la fonction définie sur R par
Z x
f (t)dt
∀x ∈ R F (x) = P[X ≤ x] =
−∞
kdx = 2K ⇒ k = 1/2
0
Z
Fonction de répartition
Z
1,5
1/2dx =
1
Variables Aléatoires
1/2[x]1,5
1
= 1/4
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Remarques:
1
∀x ∈ R, 0 ≤ F (x) ≤ 1
2
P(a < X < b) = F (b) − F (a)
3
F est une primitive de f , F ′ = f
4
F est une fct croissante continue ; Si en plus F est strictement
croissante on peut définir son inverse F −1
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Fonction de répartition
Variables aléatoires continues
Fonction de répartition
Fonction de répartition : Graphe
Fonction de répartition : Exemple
Les valeurs de F les probabilités cumulées: F est une fct sigmoidal
(sous forme de sigma)
Exemple B. (suite)
Pour x < 0
F (x) =
Figure: Graphe de la fonction de répartition F
Pour x ∈ [0, 2]
Z
Z x
F (x) =
f (t)dt =
−∞
Z
x
0dt = 0
−∞
0
0dt +
−∞
Z
x
1/2dt = 1/2(x − 0) = 1/2x
0
Pour x > 2
F (x) =
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Z
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x
f (t)dt =
−∞
Z
0
dt +
−∞
Z
2
1/2dt +
0

x < 0;
 F (x) = 0,
F (x) = 1/2 ∗ x, 0 ≤ x ≤ 2;

F (x) = 1,
x > 2.
Variables Aléatoires
Z
+∞
0dt = 1
2
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Fonction de répartition
Variables aléatoires continues
Fonction de répartition : Exemple
Espérance mathématique
Espérance mathématique
Définition
L’espérance mathématique de la v.a. X, notée E(X), est la moyenne
des valeurs possibles de X pondérées par leurs probabilités respectifs.
Z
E(X) =
x ∗ f (x) dx
x∈∆
Remarques
1
E(X) est dite aussi la moyenne de X et est alors notée µ
2
Généralement, pour r ∈ N le moment d’ordre r de X est
Z
r
x r ∗ f (x) dx
µr = E(X ) =
x∈∆
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Variance
Variables aléatoires continues
Variance
Variance
Espérance et variance : Exemple
Définition
La variance de la v.a. X, notée V (X), est la mesure de la dispersion
de X autour de sa moyenne µ
Z
(x − µ)2 ∗ f (x) dx
V (X) = E[(X − µ)2 ] =
x∈∆
Exemple B. Espérance et variance de X ?
Z 2
L’espérance de X est µ = E(X ) =
1/2xdx = 1/2[x 2 /2]20 = 1
0
La variance deZ X est
2
σ 2 = V (X ) =
0
1/2x 2 dx − 12 = 1/2[x 3 /3]20 − 1 = 1/3
Remarque: ∀r ∈ N, le moment centré d’ordre r de X est
Z
∗
r
µr = E[(X − µ) ] =
(x − µ)r ∗ f (x) dx
x∈∆
En particulier la variance n’est que le moment centré d’ordre 2
V (X) = µ∗2
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Quantiles
Variables aléatoires continues
Quantiles
Quantiles
Quantiles: Exemple 1.
Définition
Soit une probabilité α ∈]0, 1[, le quantile d’ordre α de X est le nombre
xα tel que
P(X ≤ xα ) = α.
Quantile d’ordre 0, 95 de la loi normale standard
x0,95 = 1, 64
N. B.
xα = F −1 (α) ⇔ F (xα ) = α
Quantiles particuliers:
la médiane de X est x1/2
les quartiles sont x1/4 , x1/2 , x3/4
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Quantiles: Exemple 2.
Médiane x0,5 = 100
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