Université F. Rabelais 2012-2013 L3S2 Algèbre Feuille d'exercices n° 1 : Rappels 1 Vrai ou Faux Dans les questions qui suivent E est un espace vectoriel de dimension nie sur un corps K (R ou C). On fournira un contre exemple quand la proposition est fausse et la démonstration quand elle est vraie. 1. Si e1 , ..., en sont des vecteurs de E deux à deux non colinéaires, alors la famille (e1 , ..., en ) est libre. 2. La famille de fonctions (x → cosn (x))n≥0 est libre dans C 0 (R). 3. Soient F , G et H trois sous espaces vectoriels de E . Si F + H = G + H alors F = G. 4. Soient F , G et H trois sous espaces vectoriels de E . Si F ⊕H = G⊕H alors F et G sont isomorphes. 5. Si F et G sont deux sous espaces de E , distincts de E , alors F ∪ G 6= E . 6. Si u ∈ L(E) est tel que E = Keru ⊕ Imu alors u est un projecteur 7. Soient u et v deux endomorphismes de E . Alors Im(u + v) = Imu + Imv . 8. Si u ∈ L(E) et si G et H sont deux sous espaces vectoriels de E , alors on a u(G+H) = u(G)+u(H). 9. Soient u et v deux endomorphismes de E . Alors u ◦ v = 0 si et seulement si Imv ⊂ Kerv . 10. Soit u une application linéaire de E dans F , avec dimE > dimF . Alors u ne peut pas être injective. 11. Soit u une application linéaire de E dans F , avec dimE > dimF . Alors u est surjective. 12. Si u et v sont deux endomorphismes de E , alors le rang de u ◦ v est inférieur au rang de u et au rang de v . 13. Soit F un sous espace vectoriel de E , et u ∈ L(F, E). L'application v dénie par v(x) = u(x) si x ∈ F et v(x) = 0 si x ∈ / F est un endomorphisme de E . 14. Soit F un sous espace vectoriel de E , et u ∈ L(F, E). Il existe un endomorphisme v de E dont la restriction à F est égale à u. 15. L'ensemble des matrices non inversibles de Mn (K) est un sous espace vectoriel de Mn (K). 16. Soient A, B et C ∈ Mn (K). La matrice M = 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. A 0 C B de M2n (K) est inversible si et seulement si A et B sont inversibles. Deux matrices de Mn (C) ayant le même rang sont semblables. Si A et B sont deux matrices de Mn (C), rg(AB) = rg(BA). L'application déterminant est une surjection de Mn (K) sur K. Si A ∈ Mn (C) il existe λ ∈ C tel que A − λIn ne soit pas inversible. Soient A, B dans Mn (C) vériant AB = BA = (detA)In alors B est la transposée de la comatrice de A. Soit x ∈ E , comme le noyau d'une forme linéaire est de dimension dim(E) − 1, il existe une unique forme linéaire l ∈ E ∗ telle que l(x) = 1. Soit (e1 , ..., en ) et (f1 , ..., fn ) deux P bases de E , et M ∈ Mn (R) la matrice de passage de (ei ) à (fi ), càd qu'on a ∀i ∈ J1, nK, fi = nj=1 Mi,j ej . Alors la matrice de passage de (e∗i ) à (fi∗ ) est T M . Si b : Rn × Rn 7→ R est une forme bilinéaire, il existe une unique matrice inversible B ∈ Mn (R) telle que : ∀x, y ∈ Rn , b(x, y) = 1 T xBy. 2 Dualité. Soit E un R e.v. de dimensions 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E . Soit f1∗ , f2∗ , f3∗ ∈ E ∗ dénis par : f1∗ = 2e∗1 + e∗2 + e∗3 f2∗ = −e∗1 + 2e∗3 f3∗ = e∗1 + 3e∗2 . (1) Montrer que (f1∗ , f2∗ , f3∗ ) est une base de E ∗ et déterminer la base (f1 , f2 , f3 ) de E dont elle est la duale. 3 Parité. On travaille dans l'espace E des fonctions de R dans R. On note I (resp. P ) l'ensemble des fonctions impaires (resp. paires). 1. Montrer que I et P sont sous-e.v. de E . 2. Montrer qu'on a : M E=I P. 3. Calculer le projeté d'une fonction f ∈ E sur I parallélement à P . 4 Polynomes et e.v. Soit n ≥ 2, on considére l'application φ dénie sur R[X] par : φ(P )(X) = (X + 2)P (X) − XP (X + 1). 1. Montrer que φ est un endomorphisme de Rn [X]. 2. Calculer Ker(φ). 5 Matrices 1 .. Soit n ≥ 1 et U = . ∈ Mn,1 (R) et : 1 l :(Mn,1 (R)2 → Mn (R), (X, Y ) 7→ X t U + U t Y. 1. Montrer que l est linéaire. 2. Déterminer son rang. 2