. 1. Définitions et vocabulaire Définition : a est un nombre relatif non

CHAPITRE 15 – PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF.
I. NOTATION a n .
1. Définitions et vocabulaire
Définition :
a est un nombre relatif non nul.
●
a0 = 1
●
a1 = a
●
Si
n  2 alors a n = a  a  …  a
produit de n facteurs égaux à a
Exemples

70 = 1 ;

71 = 7 ;

( - 3,14 ) = 1 ;

( - 3,14 ) 1 =

23
0
car 2
- 3,14 ;

 3 0
-  = 1 ;
 a

 3 1
3
-  = ;
a


a

( - 3 ) 4 = 81 ;
=8
3
=222
4
car (- 3) = (- 3)  (- 3)  (- 3)  (- 3) ;

( - 1 ) 2017 =
-1.
Vocabulaire
a n est la puissance de a d’exposant n , et on lit « a puissance n ».
Cas particuliers :
L. GUADALUPI

a 2 est le carré de a ;

a 3 est le cube de a.
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.1
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul.
L’inverse de a se note
1
a
ou a - 1 :
1
a-1 =
a
Exemples
-1
=
1
;
2

2

(- 5 ) - 1
=
1
-5
= -

 4 -1
3
 
=
3
 
4

 3 -1
- 
 7
1
;
5
-7
3
=
= -
7
.
3
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul, et n est un entier naturel.
L’inverse de a n se note a - n :
a
- n
=
1
an
Exemples

4-2 =
1
4

2
(- 5 ) - 3 =
=
1
(- 5 ) 3
– 53
= -
L. GUADALUPI
Chapitre 15 – Synthèse
1
1
53
.
.
MTH4015 – Page S.2
2. Des pièges à éviter
Conventions :
La puissance s’adresse au nombre ou la paire de parenthèses placés juste devant.
La puissance est prioritaire par rapport aux additions, soustractions, multiplications
et divisions.
( - 3 )2
Ne pas confondre

(- 3)2
=
et - 3 2 :
( - 3 )( - 3 )

=
= 9;
Ne pas confondre

( 3  7 )4
( 3  7 )4=
- 32 =
21 4

( 5 + 3 )2
( 5 + 3 )2

3  7 4 = 3  2 401
= 7 203 .
et 5 + 3 2 :
= 82

5 + 32
= 5+9
= 14 .
= 64 ;
L. GUADALUPI
-9 .
et 3 × 7 4 :
= 194 481 ;
Ne pas confondre
-33
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.3
II. Règles de calcul
Pour tout nombre relatif a, et pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls,
on a :
Règle n° 1 :
am  an = am+n
Exemples
10 3  10 2 = 10 3 + 2


(−2 )
4
 (−2 ) 7 =
(−2 )
4+7
=
(−2 )
11
= 10 5 ;
;
= - 2 11 .
Règle n° 2 :
am
= am–n
n
a
Exemples
2 10

2
8
= 2
10 – 8

10 - 4
10
2
= 22 ;
33

3
7
= 3 3 – 7;
= 10 - 4 – 2
= 10 - 6 ;

= 3 - 4;
10 - 3
10
-5
= 10 - 3 – ( - 5 )
= 10 - 3 + 5
= 10 2
Démonstration :
am
an
L. GUADALUPI
= am 
1
an
1
= a-n
an
= am  a-n
car
= am–n
d’après la règle n° 1.
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.4
Règle n° 3 :
( am )
n
= amn
Exemples

(22 )3
= 223

( 5-2 )-3
= …………… ;
= 2 6;

( 10 - 3 ) 2
= ……………
= 10 - 3  2;
= 10 - 6;
Règle n° 4 :
a n  b n = (a  b)
n
Exemples

53  23 =
( 5  2 )3

3-2 × 4-2 =
= 10 3;
=
( 3  4 )-2
12 - 2 .
Règle n° 5 :
a n  a  n
=
bn  b 
Exemples

83
16 3
8 3
=  
16 

 1 3
=   ;
2
=
L. GUADALUPI
1
23
  2
 
2
=
2
22
= ……………
= ……………
;
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.5