. 1. Définitions et vocabulaire Définition : a est un nombre relatif non

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CHAPITRE 15 – PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF.
I. NOTATION a n .
1. Définitions et vocabulaire
Définition :
a est un nombre relatif non nul.
● a 0 = 1
● a 1 = a
● Si n  2 alors a n = a  a  …  a
produit de n facteurs égaux à a
Exemples
 7 0 = 1 ;
 7 1 = 7 ;
 ( )
- 3,14 0 = 1 ;
 ( )
- 3,14 1 = - 3,14 ;
 2 3 = 8
car 2 3 = 2  2  2
- 3
a
0
= 1 ;
- 3
a
1
= - 3
a ;
 ( )
- 3 4 = 81 ;
car (- 3) 4 = (- 3)  (- 3)  (- 3)  (- 3) ;
 ( )
- 1 2017 = - 1 .
Vocabulaire
a n est la puissance de a d’exposant n , et on lit « a puissance n ».
Cas particuliers :
 a 2 est le carré de a ;
 a 3 est le cube de a.

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Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul.
L’inverse de a se note 1
a ou a - 1 :
a - 1 = 1
a
Exemples
 2 - 1 = 1
2 ;
 ( )
- 5 - 1 = 1
- 5
= - 1
5 ;
4
3 - 1
= 3
4
- 3
7 - 1
= - 7
3
= - 7
3 .
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul, et n est un entier naturel.
L’inverse de a n se note a - n :
a - n = 1
a n
Exemples
 4 - 2 = 1
4 2
 ( )
- 5 - 3 = 1
( )
- 5 3
= 1
– 5 3 .
= - 1
5 3 .

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2. Des pièges à éviter
Conventions :
La puissance s’adresse au nombre ou la paire de parenthèses placés juste devant.
La puissance est prioritaire par rapport aux additions, soustractions, multiplications
et divisions.
Ne pas confondre ( )
- 3 2 et - 3 2 :
 ( )
- 3 2 = ( ) - 3 ( ) - 3
= 9 ;
 - 3 2 = - 3  3
= - 9 .
Ne pas confondre ( )
3  7 4 et 3 × 7 4 :
 ( )
3  7 4 = 21 4
= 194 481 ;
 3  7 4 = 3  2 401
= 7 203 .
Ne pas confondre ( )
5 + 3 2 et 5 + 3 2 :
 ( )
5 + 3 2 = 8 2
= 64 ;
 5 + 3 2 = 5 + 9
= 14 .

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II. Règles de calcul
Pour tout nombre relatif a, et pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls,
on a :
Règle n° 1 :
a m  a n = a m + n
Exemples
 10 3  10 2 = 10 3 + 2
= 10 5 ;
 ( )
− 2 4  ( ) − 2 7 = ( ) − 2 4 + 7
= ( )
− 2 11 ;
= - 2 11 .
Règle n° 2 :
a m
a n = a m – n
Exemples
 2 10
2 8 = 2 10 – 8
= 2 2 ;
 3 3
3 7 = 3 3 – 7;
= 3 - 4;
 10 - 4
10 2 = 10 - 4 – 2
= 10 - 6 ;
 10 - 3
10 - 5 = 10 - 3 – ( - 5 )
= 10 - 3 + 5
= 10 2
Démonstration :
a m
a n = a m  1 a n
= a m  a - n car 1
a n = a - n
= a m – n d’après la règle n° 1.

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Règle n° 3 :
( )
a m n = a m  n
Exemples
 ( )
2 2 3 = 2 2  3
= 2 6;
 ( )
10 - 3 2 = 10 - 3  2;
= 10 - 6;
 ( )
5 - 2 - 3 = ……………
= …………… ;
Règle n° 4 :
a n  b n = ( )
a  b n
Exemples
 5 3  2 3 = ( )
5  2 3
= 10 3;
 3 - 2 × 4 - 2 = ( )
3  4 - 2
= 12 - 2 .
Règle n° 5 :
a n
b n = 
a
b n
Exemples
 8 3
16 3 = 
8
16 3
= 
1
2 3 ;
= 1
2 3 ;
2 2 =  2
2 2
= ……………
= ……………