. 1. Définitions et vocabulaire Définition : a est un nombre relatif non

L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.1
CHAPITRE 15 – PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF.
I. NOTATION a n .
1. Définitions et vocabulaire
Définition :
a est un nombre relatif non nul.
● a 0 = 1
● a 1 = a
● Si n  2 alors a n = a  a  …  a
produit de n facteurs égaux à a
Exemples
 7 0 = …………… ;
 7 1 = …………… ;
 ( )
- 3,14 0 = …………… ;
 ( )
- 3,14 1 = …………… ;
 2 3 = ……………
car 2 3 = …………………………
- 3
a
0
= …………… ;
- 3
a
1
= …………… ;
 ( )
- 3 4 = …………… ;
car ( - 3) 4 = ………………………………………… ;
 ( )
- 1 2017 = …………… .
Vocabulaire
a n est la puissance de a d’exposant n , et on lit « a puissance n ».
Cas particuliers :
 a 2 est le carré de a ;
 a 3 est le cube de a.

L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.2
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul.
L’inverse de a se note 1
a ou a - 1 :
a - 1 = 1
a
Exemples
 2 - 1 = ……………
 ( )
- 5 - 1 = ……………
= …………… ;
4
3 - 1
= …………… ;
- 3
7 - 1
= ……………
= …………… .
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul, et n est un entier naturel.
L’inverse de a n se note a - n :
a - n = 1
a n
Exemples
 4 - 2 = ……………
 ( )
- 5 - 3 = ……………
= ……………
= …………… .

L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.3
2. Des pièges à éviter
Conventions :
La puissance s’adresse au nombre ou la paire de parenthèses placés juste devant.
La puissance est prioritaire par rapport aux additions, soustractions, multiplications
et divisions.
Ne pas confondre ( )
- 3 2 et - 3 2 :
 ( )
- 3 2 = ……………
= ……………;
 - 3 2 = ……………
= …………… .
Ne pas confondre ( )
3  7 4 et 3  7 4 :
 ( )
3  7 4 = ……………
= ……………;
 3  7 4 = ……………
= …………… .
Ne pas confondre ( )
5 + 3 2 et 5 + 3 2 :
 ( )
5 + 3 2 = ……………
= …………… ;
 5 + 3 2 = ……………
= …………… .

L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.4
II. Règles de calcul
Pour tout nombre relatif a, et pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls,
on a :
Règle n° 1 :
a m  a n = a m + n
Exemples
 10 3  10 2 = ……………
= …………… ;
 ( )
− 2 4  ( ) − 2 7 = ……………
= ……………
= …………… .
Règle n° 2 :
a m
a n = a m – n
Exemples
 2 10
2 8 = ……………
= …………… ;
 3 3
3 7 = …………… ;
= …………… ;
 10 - 4
10 2 = ……………
= …………… ;
 10 - 3
10 - 5 = ……………
= …………… .
= …………… .
Démonstration :
a m
a n = a m  1 a n
= a m  a - n car 1
a n = a - n
= a m – n d’après la règle n° 1.

L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.5
Règle n° 3 :
( )
a m n = a m  n
Exemples
 ( )
2 2 3 = ……………
= …………… ;
 ( )
10 - 3 2 = …………… ;
= …………… ;
 ( )
5 - 2 - 3 = ……………
= …………… ;
Règle n° 4 :
a n  b n = ( )
a  b n
Exemples
 5 3  2 3 = ……………
= …………… ;
 3 - 2 × 4 - 2 = ……………
= …………… .
Règle n° 5 :
a n
b n = 
a
b n
Exemples
 8 3
16 3 = ……………
= …………… ;
= …………… ;
2 2 = ……………
= ……………
= ……………