CHAPITRE 15 – PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF. I. NOTATION a n . 1. Définitions et vocabulaire Définition : a est un nombre relatif non nul. ● a0 = 1 ● a1 = a ● Si n 2 alors a n = a a … a produit de n facteurs égaux à a Exemples 3 0 - = …………… ; a ( - 3,14 ) = …………… ; 3 1 - = …………… ; a ( - 3,14 ) 1 = …………… ; ( - 3 ) 4 = …………… ; 23 = …………… car 2 3 7 0 = …………… ; 7 1 = …………… ; 0 = ………………………… 4 car ( - 3) = ………………………………………… ; ( - 1 ) 2017 = …………… . Vocabulaire a n est la puissance de a d’exposant n , et on lit « a puissance n ». Cas particuliers : L. GUADALUPI a 2 est le carré de a ; a 3 est le cube de a. Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.1 Définition – Notation : a est un nombre relatif non nul. L’inverse de a se note 1 a ou a - 1 : 1 a-1 = a Exemples -1 2 = …………… (- 5 ) - 1 4 -1 = …………… ; 3 3 -1 - 7 = …………… = …………… = …………… ; = …………… . Définition – Notation : a est un nombre relatif non nul, et n est un entier naturel. L’inverse de a n se note a - n : a - n = 1 an Exemples 4 - 2 = …………… (- 5 ) - 3 = …………… = …………… = …………… . L. GUADALUPI Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.2 2. Des pièges à éviter Conventions : La puissance s’adresse au nombre ou la paire de parenthèses placés juste devant. La puissance est prioritaire par rapport aux additions, soustractions, multiplications et divisions. ( - 3 )2 Ne pas confondre (- 3)2 et - 3 2 : = …………… = = ……………; Ne pas confondre ( 3 7 )4 ( 3 7 )4= - 32 = …………… ( 5 + 3 )2 ( 5 + 3 )2 3 7 4 = …………… = …………… . et 5 + 3 2 : = …………… = …………… ; L. GUADALUPI …………… . et 3 7 4 : = ……………; Ne pas confondre …………… Chapitre 15 – Synthèse 5 + 32 = …………… = …………… . MTH4015 – Page S.3 II. Règles de calcul Pour tout nombre relatif a, et pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls, on a : Règle n° 1 : am an = am+n Exemples 10 3 10 2 = …………… (−2 ) 4 ( − 2 ) 7 = …………… = …………… ; = …………… = …………… . Règle n° 2 : am = am–n n a Exemples 2 10 28 = …………… 10 - 4 10 2 = …………… ; 33 37 = …………… ; = …………… = …………… ; = …………… ; 10 - 3 10 - 5 = …………… = …………… . = …………… . Démonstration : am an L. GUADALUPI = am 1 an 1 = a-n n a = am a-n car = am–n d’après la règle n° 1. Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.4 Règle n° 3 : ( am ) n = amn Exemples (22 )3 = …………… ( 5-2 )-3 = …………… ; = …………… ; ( 10 - 3 ) 2 = …………… = …………… ; = …………… ; Règle n° 4 : a n b n = (a b) n Exemples 5 3 2 3 = …………… 3-2 × 4-2 = = …………… ; = …………… …………… . Règle n° 5 : a n a n = bn b Exemples 83 16 3 = …………… = …………… = …………… = …………… ; = …………… = …………… ; L. GUADALUPI 2 2 Chapitre 15 – Synthèse MTH4015 – Page S.5