Mathématiques 2 - chap1 Espaces vectoriels

IUT Louis Pasteur – Mesures Physiques
Mathématiques
2ème semestre
Damien JACOB
08-09
Chapitre 1 : Espaces vectoriels
I.
Définitions et exemples
Soit ‫ ܧ‬un ensemble et soit ॶ = ℝ ‫ ݑ݋‬ℂ .
‫ ܧ‬est un espace vectoriel sur ॶ si :
1. ‫ ܧ‬est muni d’une addition interne (on peut additionner les éléments de ‫ ܧ‬entre eux)
vérifiant :
i. ∀ ‫ݔ‬, ‫ ݔ ܧ ∈ ݕ‬+ ‫ ݕ = ݕ‬+ ‫ݔ‬
(commutativité)
ii. ∀ ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ܧ ∈ ݖ‬ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + ‫ ݔ = ݖ‬+ ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻ
(associativité)
iii. Il existe un élément neutre, noté 0ா , pour cette addition, c'est-à-dire
∀ ‫ ݔ ܧ ∈ ݔ‬+ 0ா = ‫ݔ‬
iv. Tout élément de ‫ ܧ‬admet une opposé, noté −‫ ݔ‬, telle que ‫ ݔ‬+ ሺ−‫ݔ‬ሻ = 0ா
2. ‫ ܧ‬est muni d’une multiplication externe par les éléments de ॶ vérifiant :
i. ∀ ‫ݔ‬, ‫ߣ ॶ ∈ ߣ ∀ ܧ ∈ ݕ‬ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ = ߣ‫ ݔ‬+ ߣ‫ݕ‬
(distributivité)
ሺߣ
ii. ∀ ‫ߣ ∀ ܧ ∈ ݔ‬, ߤ ∈ ॶ
+ ߤሻ‫ ݔߣ = ݔ‬+ ߤ‫ݔ‬
(distributivité)
iii. Cette multiplication admet 1 ∈ ॶ comme élément neutre, c'est-à-dire
∀ ‫ ܧ ∈ ݔ‬1‫ݔ = ݔ‬
Vocabulaire : les éléments de ॶ sont quelques fois appelés scalaires.
Propriétés :
i. 0ॶ . ‫ = ݔ‬0ா
ii. ሺ−1ሻ. ‫ = ݔ‬−‫ݔ‬
Vocabulaire et abréviation :
On abrévie souvent espace vectoriel par ࢋ࢜ et les éléments d’un ݁‫ ݒ‬sont quelques fois
appelés vecteurs.
Exemples :
i. ‫ = ܧ‬ሼ0ሽ est un espace vectoriel de ॶ
ii. ‫ ॶ = ܧ‬est un espace vectoriel de ॶ
iii. ‫ = ܧ‬ensemble des vecteurs de la géométrie (du plan ou de l’espace)
(de cette situation que vient le vocabulaire)
iv. ‫ = ܧ‬ℝ௡ est un espace vectoriel de ℝ (voir cours de Fonctions à Plusieurs Variables)
v. ‫ = ܧ‬ℝሾ‫ݔ‬ሿ : ensemble de tous les polynômes à coefficients réels est un
espace vectoriel de ℝ
Remarques :
• On admet que ces exemples sont des espaces vectoriels et on les qualifiera d’espaces
vectoriels de référence.
• Les vecteurs (au sens de l’algèbre linéaire) peuvent donc être des nombres, des
vecteurs (au sens de la géométrie), des polynômes, des fonctions, etc…
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Définition :
Soit ‫ ܧ‬un espace vectoriel de ॶ et soit ܸ ⊂ ‫( ܧ‬sous-ensemble de ‫)ܧ‬.
ܸ est un sous-espace vectoriel (࢙ࢋ࢜) de ‫ ܧ‬si et seulement si :
i. ܱா ∈ ܸ
ii. ∀ ‫ݔ‬, ‫ ݔ ܸ ∈ ݕ‬+ ‫ܸ ∈ ݕ‬
iii. ∀ ‫ܸ ∈ ݔߣ ॶ ∈ ߣ ∀ ܸ ∈ ݔ‬
Remarques :
• La propriété i. fait double emploi avec ii. et iii. mais on la mentionne parce qu’elle
permet quelques fois de prouver qu’un sous-ensemble n’est pas un sous-ensemble
vectoriel.
• Pour le propriété ii. , on dit que ܸ est stable pour l’addition et pour la iii. , on dit
que ܸ est stable pour la multiplication par les scalaires.
Propriété :
Soit ‫ ܧ‬un espace vectoriel de ॶ et ܸ ⊂ ‫ ܧ‬un espace vectoriel, alors ܸ est lui-même un
espace vectoriel de ॶ .
En pratique, pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on essaie de montrer
que c’est un sous-espace vectoriel d’un des espaces vectoriels de référence.
Remarque :
On ne peut pas à priori multiplier les éléments d’un ensemble vectoriel entre eux.
Mais certains exemples d’ensembles vectoriels possèdent une telle multiplication, qui n’a
pas de lien avec la structure d’espace vectoriel.
Remarques :
• Un ensemble qui vérifie les 4 propriétés de la première partie de la définition de
l’espace vectoriel est appelé groupe commutatif.
• On peut définir des espaces vectoriels plus généralement dès que ॶ est un corps
(ensemble muni d’une addition interne et d’une multiplication interne pour laquelle
tout élément non-nul est inversible).
II.
Combinaison linéaire, familles libres et liées
Définition :
Soit ‫ ܧ‬un espace vectoriel de .
Soit ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ∈ ‫ ܧ‬.
On appelle combinaison linéaire de ‫ݔ‬ଵ … ‫ݔ‬௞ avec les coefficients ‫ ݔ‬de ‫ ܧ‬tel que
‫ߣ = ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଵ + ߣଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ߣ௞ ‫ݔ‬௞
Propriété :
‫ ܧ‬est un espace vectoriel de ॶ et ܸ ⊂ ‫ ܧ‬.
ܸ est un sous-ensemble vectoriel de ‫ ܧ‬si et seulement si ܸ est stable, par combinaison
linéaire, c'est-à-dire ∀ ‫ݔ‬, ‫ ܸ ∈ ݕ‬et ∀ ߣ, ߤ ∈ ॶ ߣ‫ ݔ‬+ ߤ‫ܸ ∈ ݕ‬
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Définition :
Une famille de ݇ vecteurs (c'est-à-dire ݇ vecteurs) est libre si et seulement si aucun d’entre
eux ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Une famille qui n’est pas libre
est liée.
Cas particuliers :
i. Une famille contenant le vecteur nul est toujours liée ሺ0ா ሻ.
ii. Une famille contenant 2 fois le même vecteur est liée.
Propriété :
Une famille de ݇ vecteurs ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ∈ ‫ ܧ‬est libre si et seulement si la seule manière
d’écrire 0ா comme combinaison linéaire de ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ est de prendre tous les coefficients
nuls, c'est-à-dire que ߣଵ ‫ݔ‬ଵ + ߣଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ߣ௞ ‫ݔ‬௞ = 0ா ⟹ ߣଵ = ߣଶ = ߣଷ = 0
III.
Famille génératrice, famille de base, famille de
dimension
Définition :
Soit ‫ ܧ‬un ensemble vecteur de ॶ et soit ܸ ⊂ ‫ ܧ‬un sous-ensemble vectoriel.
Une famille ሼ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ሽ est génératrice de ܸ si et seulement si tout élément de ܸ s’écrit
comme combinaison linéaire de ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ , c'est-à-dire
∀ ‫ ܸ ∈ ݔ‬, ∃ߣଵ , ߣଶ , … , ߣ௞ ‫ߣ = ݔ ݍݐ‬ଵ ‫ݔ‬ଵ + ߣଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ߣ௞ ‫ݔ‬௞
Remarques :
i. Les notions libre/liée d’une part et génératrice d’autre part, sont indépendantes.
ii. La notion libre/liée ne dépend que des éléments de la famille.
iii. La notion de famille génératrice dépend du contexte : une famille génératrice est
toujours génératrice de quelque chose (un sous-ensemble vectoriel).
Définition :
Soit ‫ ܧ‬un ensemble vectoriel de ॶ et ሼ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ሽ une famille d’éléments de ‫ܧ‬.
On appelle sous-espace engendré par ࢞૚ , ࢞૛ , … , ࢞࢑ , noté ܸ݁ܿ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ሻ le sousensemble vectoriel de ‫ ܧ‬formé de l’ensemble des combinaisons linéaires de ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ .
ܸ݁ܿ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ሻ = ሼߣଵ ‫ݔ‬ଵ + ߣଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ߣ௞ ‫ݔ‬௞ \ ߣଵ , ߣଶ , … , ߣ௞ ∈ ॶሽ
Remarque :
Il arrive quelque fois qu’une famille de vecteurs soit à la fois libre et génératrice d’une
certain sous-ensemble vectoriel de ॶ .
Définition :
Soit ‫ ܧ‬un ensemble vectoriel de ॶ et ܸ ⊂ ‫ ܧ‬un sous-ensemble vectoriel.
On appelle base de ࢂ une famille libre d’éléments de ܸ ሼ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௞ ሽ qui est également génératrice.
Remarque :
Il existe des sous-ensembles vectoriels qui n’admettent pas de base.
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Propriété :
Soit ܸ ⊂ ‫ ܧ‬un sous-ensemble vectoriel de ‫ ܧ‬mais également un ensemble vectoriel de ॶ
admettant des bases.
Alors toutes ces bases sont constituées du même nombre de vecteurs.
Définition :
Le nombre de vecteurs constituant toute base de ܸ ⊂ ‫ ܧ‬est appelée la dimension de ࢂ,
notée ܸ݀݅݉ .
Remarques :
• ሼ0ா ሽ ne contient aucune famille libre, il n’a pas de base et on pose ݀݅݉ሼ0ா ሽ = 0
• Constatant que la notion de famille est une notion finie, certains espaces vectoriels
n’ont pas de base car il faudrait des familles infinies. Ces espaces vectoriels sont dits
de dimension infinie et on ne s’y intéressera pas beaucoup.
Exemple : reprise des exemples de référence du I.
i. Cf ci-dessus
ii. ݀݅݉ℝ = 1 est une base formée d’un réel non-nul
iii. Soit ‫‘ ܧ‬espace des vecteurs de la géométrie du plan.
1 0
݀݅݉‫ = ܧ‬2 et ቀ ቁ ቀ ቁ en forment une base.
0 1
Soit ‫ ܨ‬l’espace des vecteurs de la géométrie dans l’espace.
1 0 0
݀݅݉‫ = ܨ‬3 et ൭0൱ ൭1൱ ൭0൱ en forment une base.
0 0 1
1
0
0
0
1
…
iv. ‫ = ܧ‬ℝ௡
݀݅݉ℝ௡ = ݊ et ൮ ൲ ൮ ൲ … ൮ ൲ en forment une base.
…
…
0
0
0
1
Les bases données dans les exemples ii. et iii. sont à chaque fois les plus simples
possibles, elles sont appelées bases canoniques.
v. Les espaces des polynômes et des fonctions sont de dimension infinie.
IV.
Rang d’une famille de vecteurs
Définition :
Soit ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ une famille de ݇ vecteurs dans ‫ ܧ‬, un ensemble vectoriel de ॶ .
On appelle rang de cette famille le nombre maximal de vecteurs pris parmi ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ et
formant une famille libre, c'est-à-dire le nombre de vecteurs formant la plus grande sousfamille libre extraite de ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ .
Propriétés :
• La famille ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ est libre si et seulement si son rang est ݇ , c'est-à-dire qu’une
famille est libre si et seulement si son rang est égal au nombre de vecteurs qui la
constitue.
• La famille ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ est génératrice de ܸ , sous-ensemble vectoriel de ‫ ܧ‬avec
ܸ݀݅݉ = ‫ ݌‬si et seulement si son rang est égal à ‫ ݌‬ሺ‫ݒ‬௜ ∈ ܸሻ , c'est-à-dire qu’une
famille est génératrice si et seulement si son rang est égal à la dimension du sousensemble vectoriel qu’elle engendre.
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•
Soit ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ une famille d’éléments de ܸ sous-ensemble de ‫ ܧ‬avec ܸ݀݅݉ = ‫ ݌‬.
ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ forme une base de ܸ si et seulement si ‫݃ݎ‬ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ = ‫ ݌‬et ݇ = ‫ ݌‬.
Remarque : on note souvent «‫ » ݃ݎ‬pour rang.
•
Soit ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ une famille d’éléments de ܸ sous-ensemble de ‫ ܧ‬avec ܸ݀݅݉ = ‫ ݌‬.
i. Si ݇ < ‫ ݌‬, alors la famille ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ n’est pas génératrice de ܸ .
ii. ‫݃ݎ‬ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ ≤ ܸ݀݅݉ = ‫݌‬
iii. Si ݇ > ‫ ݌‬, alors la famille ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ est liée.
Propriété :
Le rang d’une famille de vecteurs ne change pas :
i. Si on échange 2 vecteurs
ii. Si on multiplie un vecteur par un élément de ॶ
iii. Si on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.
Ces trois types d’opération sont appelées opérations élémentaires sur les vecteurs.
En pratique, pour connaître le rang d’une famille de vecteurs, on va lui associer une famille
dite échelonnée qui, obtenue à l’aide d’opérations élémentaires, a même rang que la famille
de départ.
Définition :
Soit ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ une famille d’éléments de ܸ sous-ensemble de ‫ ܧ‬. En fixant ‫ ܤ‬une base de
‫ܧ‬, on peut écrire les composantes ou coordonnées de ሼ‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ሽ dans la base ‫ܤ‬.
La famille est dite échelonnée si et seulement si :
‫ݒ‬௞ଵ
‫ݒ‬ଵଵ
‫ݒ‬ଶଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ܽ‫ݒ ܿ݁ݒ‬ଵ = ൮‫ݒ‬ଵ ൲
‫ݒ‬ଶ = ൮‫ݒ‬ଶ ൲
…
‫ݒ‬௞ = ‫ݒۇ‬௞ ‫ۊ‬
…
…
…
‫ݒ‬ଵ௞
‫ݒ‬ଶ௞
‫ݒۉ‬௞௞ ‫ی‬
Si ‫ݒ‬ଵ௜ est la 1ère composante non-nulle de ‫ݒ‬ଵ alors ‫ݒ‬௝௜ = 0 pour tous les ‫ݒ‬௝ avec ݆ = 2 … ݇
Si cette 1ère composante d’indice ݅ non-nulle n’est pas la 1ère composante de ‫ݒ‬ଵ , tous les
‫ݒ‬௦ ሺ݆ = 2 … ݇ሻ ont des composantes nulles de 1 à ݅ − 1 .
On refait de même pour ‫ݒ‬ଶ et tous les suivants.
Propriété :
Le rang d’une famille échelonnée est égal au nombre de vecteurs non-nuls qui y figure.
Finalement, pour calculer le rang d’une famille de vecteurs, on lui associe à l’aide
d’opérations élémentaires une famille échelonnée.
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