Questions susceptibles d`être posée

Questions susceptibles d’être posée
Elias Bouacida
March 26, 2015
Contents
1 Théorie des ensembles, dénombrement 2
1.1 Théorie des ensembles ........................................ 2
1.2 Dénombrement ............................................ 2
2 Expériences aléatoires et probabilités 2
2.1 Évènements .............................................. 2
2.2 Équiprobabilité ............................................ 3
3 Probabilités conditionnelles, Indépendance 3
4 Variables aléatoires 4
1

1 Théorie des ensembles, dénombrement
1.1 Théorie des ensembles
1. Donner les lois de De Morgan (ou dualité)
Soit deux ensembles Aet B, on a :
A∪B=A∩B
A∩B=A∪B
1.2 Dénombrement
1. Donner le nombre de permutations distinctes d’un ensemble fini de cardinal n > 0.
Le nombre de permutations distinctes d’un ensemble fini de cardinal n > 0est n!, où :
n! = 1 ×2× · · · × (n−1) ×n
Par convention, on pose 0! = 1.
2. Nombre d’arrangements de parrangements distincts pour un ensemble de cardinal n(avec 1≤p≤n).
Le nombre d’arrangements de parrangements distincts pour un ensemble de cardinal n(avec 1≤p≤n)
est :
Ap
n=n×(n−1) × · · · × (n−p+ 1) = n!
(n−p)!
3. Nombre de sous-ensembles distincts de cardinal pd’un ensemble de cardinal n(avec 0≤p≤n), lien
avec le nombre d’arrangements.
Le nombre de sous-ensembles distincts de cardinal pd’un ensemble de cardinal nest (avec 0≤p≤n):
Cp
n=n
p=n! (n−p)!p!=n×(n−1) × · · · × (n−p+ 1) p×(p−1) × · · · × 2×1=Ap
n
p!
2 Expériences aléatoires et probabilités
2.1 Évènements
1. Qu’appelle-t-on un évènement d’une expérience aléatoire ? Un évènement élémentaire ?
Soit une expérience aléatoire et son univers Ω. On appelle évènement un sous-ensemble de P(Ω),
c’est-à-dire un sous-ensemble de tous les résultats possibles. Un évènement est donc un élément de
P(Ω), l’ensemble des parties (=sous-ensembles) de Ω.
On appelle évènement élémentaire les singletons de P(Ω), c’est-à-dire les ensembles réduits à un seul
élément. Un événement élémentaire est donc de la forme {ω}, pour tout ω∈Ω.
2. Définition d’une probabilité ?
Soit une expérience aléatoire et son univers Ω. On appelle probabilité sur Ωune fonction Pde P(Ω)
dans [0,1] telle que :
•P(Ω) = 1
•Pour toute suite (dénombrable) de sous-ensemble de Ω:(Ai)i≥0disjoint deux à deux (∀j, k, j 6=
k, Aj∩Ak=∅):
P
[
i≥0
Ai
=X
i≥0
P(Ai)
2

3. Propriété d’une probabilité ?
•P(∅)=0;
•P(A∪B) = P(A) + P(B)si Aet Bsont disjoints (A∩B=∅)
• ∀A∈ P(Ω),P(A)=1−P(A)
• ∀A, B ∈ P(Ω),P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
•Pest croissante : ∀A, B ∈ P(Ω) avec A⊂B,P(A)≤P(B)
2.2 Équiprobabilité
1. Définition d’une probabilité uniforme
Soit une expérience aléatoire et son univers fini Ω. La probabilité uniforme sur Ωest celle qui associe
à chaque évènement élémentaire la même probabilité. Elle est définie par
∀ω∈Ω,P({ω}) = 1
|Ω|
On parle alors d’équiprobabilité pour l’expérience concernée.
2. Probabilité d’un événement Asur un univers fini Ωmuni de la probabilité Puniforme.
Soit une expérience aléatoire et son univers fini Ω, muni de la probabilité Puniforme. Pour tout
évènement A⊂Ω, on a:
P(A) = |A|
|Ω|
3 Probabilités conditionnelles, Indépendance
1. Définition d’une probabilité conditionnelle ? Résultat sur un univers Ωéquiprobable ?
Soit une expérience aléatoire d’un univers Ωet une probabilité Psur Ω. Soit un événement A⊂Ωtel
que P(A)>0. On appelle probabilité conditionnelle sachant Ala fonction de P(Ω) dans [0,1], notée
P(.|A), définie par :
∀B∈ P(Ω),P(B|A) = P(B∩A)
P(A)
Dans le cas où l’univers Ωest munie de la probabilité uniforme (=équiprobabilité), l’expression est la
suivante :
∀B⊂A, P(B|A) = |B|
|A|
2. Énoncé de la règle de Bayes.
Soit une expérience aléatoire décrite par l’univers Ωet la probabilité P. Soit Aet Bdeux évènements
de probabilités non nulles (P(A)>0et P(B)>0). On a :
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B)
3. Règle des probabilités totales.
Soit une expérience aléatoire décrite par l’univers Ωet la probabilité P. Soit une partition (Ai)1≤i≤n
de Ωen névénements A1, . . . , An. Soit Bun événement quelconque. On a :
P(B) =
n
X
i=1
P(B∩Ai)
3

Si en outre les A1, . . . , Ansont tels que ∀i, P(Ai)>0, on a :
P(B) =
n
X
i=1
P(B|Ai)P(Ai)
4. Définition de l’indépendance de deux événements Aet B.
Soit une expérience aléatoire décrite par l’univers Ωet la probabilité P. Soit Aet Bdeux évènements.
On dit que Aet Bsont indépendants si et seulement si :
P(A∩B) = P(A)×P(B)
De plus, si P(A)>0,Aet Bsont indépendants si et seulement si :
P(B|A) = P(B)
(La même formule existe en remplaçant Apar Bet Bpar A.)
4 Variables aléatoires
1. Définition d’un fonction injective / surjective / bijective.
Soit Aet Bdeux ensembles. Soit fune fonction de Avers B.
On dit que fest injective si et seulement si pour tout xet ydans A,x6=y⇒f(x)6=f(y).
On dit que fest surjective si et seulement si pour tout ydans B, il est au moins un xdans Atel que
f(x) = y.
fest bijective si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire que chaque élément de Aest associé
à un unique élément de B.
2. Définition d’une variable aléatoire.
Soit une expérience aléatoire d’univers Ωet de probabilité associée P. Soit un ensemble quelconque
W. Une variable aléatoire sur (Ω,P),X, est une fonction de Ωdans W.Xest dite à valeurs dans W.
3. Définition d’une loi de probabilité
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P)et à valeurs dans W. On définit une probabilité sur W, la loi
de X, notée PX, par
∀A⊂W, PX(A) = P(X−1(A)) = P({ω∈Ω|X(ω)∈A)
On note aussi
PX(A) = P(X∈A)
et pour tout x∈W,
PX({x}) = P(X=x)
4. Définition d’une fonction de répartition
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P)et à valeurs dans R. On appelle fonction de répartition de X
la fonction FXde Rdans [0,1] définie par:
∀t∈R, FX(t) = P(X≤t) = PX(] − ∞, t])
5. Propriétés fondamentales de la fonction de répartition.
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P)à valeurs dans Ret FXsa fonction de répartition. La fonction
FXvérifie les quatre propriétés fondamentales suivantes :
4

(a) limt→−∞ FX(t)=0;
(b) limt→+∞FX(t)=1;
(c) FXest croissante :
s≤t⇒FX(s)≤FX(t)
(d) FXest continue à droite en tout point :
∀t∈Rlim
h→0+FX(t+h) = FX(t)
6. Donner la loi de probabilités d’une variable aléatoire Xsuivant une loi Bernoulli de paramètre p.
P(X= 0) = 1 −p
P(X= 1) = p
7. Donner la loi de probabilités d’une variable aléatoire Xsuivant une loi binomiale de paramètre (n, p).
∀k∈ {0,1, . . . , n},P(X=k) = Ck
npk(1 −p)n−k
8. Donner la loi de probabilités d’une variable aléatoire Xsuivant une loi géométrique de paramètre p.
∀k∈N∗,P(X=k) = p(1 −p)k−1
9. Donner la loi de probabilités d’une variable aléatoire Xsuivant une loi de Poisson de paramètre λ.
∀k∈N,P(X=k) = e−λλk
k!
5