Equations de droites

Équations de droites
Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère (O;−→ i , −→ j), qui a priori, n’a pas besoin d’être or-
thonormé.
Exercice 1. On considère les points A(3; 1),B(−1; 2) et C(m; 4), où mest un réel fixé.
1. Calculer les coordonnées du vecteur −−→ AB .
2. Sachant que C∈(AB), déterminer la valeur de m.
Exercice 2. Une droite dest dirigée par le vecteur −→ u(−4; 1).Eest le point de coordonnée (6; 5)
et d′est la parallèle à dpassant par E.
Le point F(−2; 7) appartient-il à d′?
1 Équations cartésiennes d’une droite
Exercice 3. Soit ∆la droite passant par G(1; 3) et dirigée par le vecteur −→ v(2; 3).
Soit M(x;y)un point quelconque du plan. Prouver que l’équivalence suivante est vraie :
M(x;y)∈∆⇐⇒ 3x−2y+ 3 = 0
Vocabulaire : L’égalité 3x−2y+ 3 = 0 est appelée équation cartésienne de la droite ∆. Cela
signifie que :
1. Si les coordonnées (x;y)d’un point Mrendent vraie l’égalité 3x−2y+ 3 = 0, alors ce point
est sur ∆.
2. Si M(x;y)est sur ∆, alors l’égalité 3x−2y+ 3 = 0 est vraie.
Exercice 4. Le point H(3; 6) est-il sur ∆? Même question pour K(−4; 7).
Exercice 5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ∆avec l’axe des x
et avec l’axe des y.
Exercice 6. Mettre l’équation 3x−2y+ 3 = 0 sous la forme y=mx +p, où met psont deux
réels. De quelle fonction f∆est-elle la représentation graphique ?
Théorème : Toute droite du plan admet une équation de la forme ax +by +c= 0, où a,bet c
sont des réels, aet bn’étant pas nuls simultanément. Plus particulièrement :
1. Si b6= 0, alors l’équation ax +by +c= 0 peut s’écrire y=mx +p, où met psont deux réels
fixés. mest appelé .........................................................................
et pest appelé..............................................................................
Cette droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
2. Si b= 0, alors a6= 0 et l’équation ax +by +c= 0 peut s’écrire x=k, où kest un réel fixé.
La droite d’équation x=kest .............................................................
Remarque : L’équation y=mx +pest appelée équation réduite.
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Exercice 7. Représenter dans un repère les droite suivantes et en déterminer une équation. Cette
équation sera mise sous la forme y=mx +pdès que cela est possible.
1. (AB)où A(3; 1),B(−1; 2).
2. (D), droite passant par I(1; 0) et dirigée par −→ t(1; 4).
3. (RS), où R(−3; 1) et S(−3; 4).
4. (RP ), où R(−3; 1) et P(5; 1).
Exercice 8.
1. Lors de la résolution d’un exercice, Cécile trouve pour équation de la droite (d):4x−2y+8 = 0.
Le professeur approuve.
Éric trouve pour la même droite (d):−8x+2y−16 = 0. Le professeur approuve aussi. Pourquoi ?
2. Bien qu’ayant approuvé les deux réponses, le professeur rajoute : “vous auriez dû simplifier”.
Qu’entend-il par là ?
3. Mettre l’équation 4x−2y+ 8 = 0 sous la forme y=mx +p. Existe-t-il plusieurs réponses
possibles ?
Remarque : Ainsi, on dit : “UNE équation de la droite dest 4x−2y+ 8 = 0.” Mais on dit :
“L’équation réduite de la droite dest y= 2x+ 4.”
Propriété : Soit A(x1;y1)et B(x2;y2)deux points du plan.
Si x16=x2, alors la droite (AB)est sécante avec l’axe des ordonnées et sa pente vaut y1−y2
x1−x2
.
Théorème : Soit a,bet ctrois réels fixés, aet bn’étant pas nuls simultanément.
L’ensemble ayant pour équation ax +by +c= 0 est une droite admettant pour vecteur directeur le
vecteur −→ u(−b;a).
Soit met pdeux réels. L’ensemble d’équation y=mx +pest une droite admettant pour vecteur
directeur le vecteur −→ v(1; m).
Exercice 9. Représenter dans un repère les droites définies par les équations suivantes.
1. d1: 2x−3y+ 5 = 0
2. d2:y=−3x+ 1
3. d3:y=−2
4. d4:x=−2
2 Droites parallèles
Exercice 10. Rappeler quelles peuvent être, dans le plan, les positions relatives de deux droites.
Théorème : Les droites det d′respectivement définies par les équations ax +by +c= 0 et
a′x+b′y+c′= 0 sont parallèles si, et seulement si le réel ab′−a′bvaut 0.
Les droites Det D′définies par les équations réduites y=mx +pet y=m′x+psont parallèles
si, et seulement si m=m′.
Exercice 11. Les droites (d) : x−5y+ 3 = 0 et (d′) : −3x+ 15y−7 = 0 sont-elles parallèles ? Si
oui, sont-elles strictement parallèles ou confondues ?
Exercice 12. Soit la droite ∆d’équation y=x
2−1. Déterminer une équation de la droite ∆′,
parallèle à ∆et passant par L(−2; 5).
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3 Applications : systèmes d’équations
Considérons les deux équations suivantes :
2x−3y= 5
4x−5y=−7
Ces deux équation constituent un système dont l’inconnue est le couple (x;y).Résoudre ce sys-
tème, c’est déterminer tous les couples de nombre réels vérifiant simultanément les deux équations
ci-dessus.
Remarque : L’ensemble des couples de nombres réels se note R2, ce qui se lit “R 2”. Attention, le
couple (1; −1) n’est pas égal au couple (−1; 1).
Ainsi, on dit souvent : “Résoudre dans R2le système suivant ...”
Interprétation géométrique
Exercice 13. Représenter dans un même repère les droites d’équations 2x−3y= 5 et 4x−5y=−7
et prouver que ces droites sont sécantes.
Exercice 14. Résoudre dans R2le système : 2x−3y= 5
4x−5y=−7.
Que représente le couple solution ?
Théorème : Soit a,bet cd’une part et a′,b′,c′d’autre part 6 nombres réels. Considérons le
système :
ax +by =c
a′x+b′y=c′
1. Si le nombre ab′−a′b6= 0, alors le système ci-dessus admet une unique solution et cette
solution représente les coordonnées du point d’intersection des droites d’équation respective
ax +by =cet a′x+b′y=c′.
2. Si le nombre ab′−a′b= 0, alors soit le système ci-dessus est sans solution, soit il en possède
une infinité.
Remarque : le nombre ab′−a′best appelé déterminant du système.
Exercice 15. Résoudre dans R2les systèmes suivants :
(a) 2x+ 5y=−1
2x+ 3y= 4 (b) 2x−5y=−1
−4x+ 10y= 6 (c) x+ 5y= 4
2x+ 10y= 8
Exercice 16. Résoudre les système suivants :
(a) u+v= 10
u2−2uv +v2= 16 (b) √x+y2= 12
2√x−y2=−3
Exercice 17. Une parabole passe par les points de coordonnées (5; 5),(−1; 3) et (−2; −1).
Déterminer son équation sous la forme y=ax2+bx +c,a,bet cétant trois réels à déterminer.
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