Equations de droites

Équations de droites
−
→ −
→
Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère (O; i , j ), qui a priori, n’a pas besoin d’être orthonormé.
On considère les points A(3; 1), B(−1; 2) et C(m; 4), où m est un réel fixé.
−−→
1. Calculer les coordonnées du vecteur AB .
Exercice 1.
2. Sachant que C ∈ (AB), déterminer la valeur de m.
→
Exercice 2. Une droite d est dirigée par le vecteur −
u (−4; 1). E est le point de coordonnée (6; 5)
′
et d est la parallèle à d passant par E.
Le point F (−2; 7) appartient-il à d′ ?
1
Équations cartésiennes d’une droite
→
Exercice 3. Soit ∆ la droite passant par G(1; 3) et dirigée par le vecteur −
v (2; 3).
Soit M (x; y) un point quelconque du plan. Prouver que l’équivalence suivante est vraie :
M (x; y) ∈ ∆ ⇐⇒ 3x − 2y + 3 = 0
Vocabulaire : L’égalité 3x − 2y + 3 = 0 est appelée équation cartésienne de la droite ∆. Cela
signifie que :
1. Si les coordonnées (x; y) d’un point M rendent vraie l’égalité 3x − 2y + 3 = 0, alors ce point
est sur ∆.
2. Si M (x; y) est sur ∆, alors l’égalité 3x − 2y + 3 = 0 est vraie.
Exercice 4.
Le point H(3; 6) est-il sur ∆ ? Même question pour K(−4; 7).
Exercice 5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ∆ avec l’axe des x
et avec l’axe des y.
Exercice 6. Mettre l’équation 3x − 2y + 3 = 0 sous la forme y = mx + p, où m et p sont deux
réels. De quelle fonction f ∆ est-elle la représentation graphique ?
Théorème : Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0, où a, b et c
sont des réels, a et b n’étant pas nuls simultanément. Plus particulièrement :
1. Si b 6= 0, alors l’équation ax + by + c = 0 peut s’écrire y = mx + p, où m et p sont deux réels
fixés. m est appelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et p est appelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cette droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Si b = 0, alors a 6= 0 et l’équation ax + by + c = 0 peut s’écrire x = k, où k est un réel fixé.
La droite d’équation x = k est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : L’équation y = mx + p est appelée équation réduite.
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Équations de droite
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Exercice 7. Représenter dans un repère les droite suivantes et en déterminer une équation. Cette
équation sera mise sous la forme y = mx + p dès que cela est possible.
1. (AB) où A(3; 1), B(−1; 2).
−
→
2. (D), droite passant par I(1; 0) et dirigée par t (1; 4).
3. (RS), où R(−3; 1) et S(−3; 4).
4. (RP ), où R(−3; 1) et P (5; 1).
Exercice 8.
1. Lors de la résolution d’un exercice, Cécile trouve pour équation de la droite (d) : 4x − 2y + 8 = 0.
Le professeur approuve.
Éric trouve pour la même droite (d) : −8x+2y−16 = 0. Le professeur approuve aussi. Pourquoi ?
2. Bien qu’ayant approuvé les deux réponses, le professeur rajoute : “vous auriez dû simplifier”.
Qu’entend-il par là ?
3. Mettre l’équation 4x − 2y + 8 = 0 sous la forme y = mx + p. Existe-t-il plusieurs réponses
possibles ?
Remarque : Ainsi, on dit : “UNE équation de la droite d est 4x − 2y + 8 = 0.” Mais on dit :
“L’équation réduite de la droite d est y = 2x + 4.”
Propriété : Soit A(x1 ; y1 ) et B(x2 ; y2 ) deux points du plan.
Si x1 6= x2 , alors la droite (AB) est sécante avec l’axe des ordonnées et sa pente vaut
y1 − y2
.
x1 − x2
Théorème : Soit a, b et c trois réels fixés, a et b n’étant pas nuls simultanément.
L’ensemble ayant pour équation ax + by + c = 0 est une droite admettant pour vecteur directeur le
→
vecteur −
u (−b; a).
Soit m et p deux réels. L’ensemble d’équation y = mx + p est une droite admettant pour vecteur
→
directeur le vecteur −
v (1; m).
Exercice 9.
Représenter dans un repère les droites définies par les équations suivantes.
1. d1 : 2x − 3y + 5 = 0
2. d2 : y = −3x + 1
3. d3 : y = −2
4. d4 : x = −2
2
Droites parallèles
Exercice 10.
Rappeler quelles peuvent être, dans le plan, les positions relatives de deux droites.
Théorème : Les droites d et d′ respectivement définies par les équations ax + by + c = 0 et
a′ x + b′ y + c′ = 0 sont parallèles si, et seulement si le réel ab′ − a′ b vaut 0.
Les droites D et D ′ définies par les équations réduites y = mx + p et y = m′ x + p sont parallèles
si, et seulement si m = m′ .
Exercice 11. Les droites (d) : x − 5y + 3 = 0 et (d′ ) : −3x + 15y − 7 = 0 sont-elles parallèles ? Si
oui, sont-elles strictement parallèles ou confondues ?
Exercice 12.
Soit la droite ∆ d’équation y =
parallèle à ∆ et passant par L(−2; 5).
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x
− 1. Déterminer une équation de la droite ∆′ ,
2
Équations de droite
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Applications : systèmes d’équations
Considérons les deux équations suivantes :
2x − 3y = 5
4x − 5y = −7
Ces deux équation constituent un système dont l’inconnue est le couple (x; y). Résoudre ce système, c’est déterminer tous les couples de nombre réels vérifiant simultanément les deux équations
ci-dessus.
Remarque : L’ensemble des couples de nombres réels se note R2 , ce qui se lit “R 2”. Attention, le
couple (1; −1) n’est pas égal au couple (−1; 1).
Ainsi, on dit souvent : “Résoudre dans R2 le système suivant ...”
Interprétation géométrique
Exercice 13. Représenter dans un même repère les droites d’équations 2x−3y = 5 et 4x−5y = −7
et prouver que ces droites sont sécantes.
2x − 3y = 5
2
Exercice 14. Résoudre dans R le système :
.
4x − 5y = −7
Que représente le couple solution ?
Théorème : Soit a, b et c d’une part et a′ , b′ , c′ d’autre part 6 nombres réels. Considérons le
système :
ax + by = c
a′ x + b′ y = c′
1. Si le nombre ab′ − a′ b 6= 0, alors le système ci-dessus admet une unique solution et cette
solution représente les coordonnées du point d’intersection des droites d’équation respective
ax + by = c et a′ x + b′ y = c′ .
2. Si le nombre ab′ − a′ b = 0, alors soit le système ci-dessus est sans solution, soit il en possède
une infinité.
Remarque : le nombre ab′ − a′ b est appelé déterminant du système.
Exercice
15. Résoudre dans R2 les systèmes
suivants :
2x + 5y = −1
2x − 5y = −1
(a)
(b)
2x + 3y = 4
−4x + 10y = 6
Exercice
16. Résoudre les système suivants :
u + v = 10
(a)
2
u − 2uv + v 2 = 16
(c)
x + 5y = 4
2x + 10y = 8
√
x + y 2 = 12
√
(b)
2 x − y 2 = −3
Exercice 17.
Une parabole passe par les points de coordonnées (5; 5), (−1; 3) et (−2; −1).
Déterminer son équation sous la forme y = ax2 + bx + c, a, b et c étant trois réels à déterminer.
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