Rappels en Algèbre

Rappels en Algèbre
www.mathmaurer.com – Cours – 4ème
I – Les nombres relatifs
Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou –), suivi d'une valeur numérique composée de chiffres et
éventuellement d'une virgule.
En général, on l'écrit entre parenthèses pour éviter les confusions de signe dans les calculs.
1 - Addition de 2 nombres relatifs
Propriété 1: Si les nombres sont positifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est positive.
Exemples: (+3) + (+5) = (+8)
(+7,2) + (+2,4) = (+9,6)
Propriété 2: Si les nombres sont négatifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est négative.
Exemples: (2) + (7) = (9)
(4,32) + (3,25) = (7,57)
Propriété 3: Si les nombres sont de signes contraires, alors on soustrait les valeurs numériques et on garde
le signe associé à la plus grande valeur numérique.
Exemples: (4) + (+3) = (1)
(+11,4) + (13,6) = (2,2)
(+6) + (1) = (+5)
(5,06) + (+8,17) = (+3,11)
(5) + (+5) = 0
2 - Soustraction de 2 nombres relatifs:
Définition 1: Tout nombre relatif possède un opposé. L'opposé du nombre a est le nombre (a) tel que:
a  (a)  0
Exemples:
Nombre a
Opposé de a
Vérification a + (a)
(+1)
(1)
(+1) + (1) = 0
(2)
((2)) = (+2)
(2) + (+2) = 0
0
0
0+0=0
Définition 2: Soustraire un nombre b d'un nombre a, c'est additionner le nombre a et l'opposé du nombre b.
a  b  a  (b)
Exemples: (+4)  (+3) = (+4) + (3) = (+1) car (3) est l'opposé de (+3).
(+7)  (2) = (+7) + (+2) = (+9) car (+2) est l'opposé de (2).
(2,5)  (+5,4) = (2,5) + (5,4) = (7,9)
(23,4)  (1,2) = (23,4) + (+1,2) = (22,2)
Remarque: Lorsque dans un calcul, il y a une succession d'additions et de soustractions, on commence toujours
par "transformer" les soustractions en addition de l'opposé, puis on effectue les calculs.
Exemple: (+7) + (4) – (5) – (+6) =
(+7) + (4) + (+5) + (6) =
(+7) + (+5) + (4) + (6) =
(+12) +
(10) =
(+2)
II – Les fractions
1 - Rappels des critères de divisibilité essentiels
Comment savoir si un nombre a pour diviseur 2, 3 ou 5 sans faire la division ?
2 Un nombre entier a pour diviseur 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemple: Le chiffre des unités de 234 est 4 donc 2 est un diviseur de 234. En effet, 234 = 117 × 2
3 Un nombre entier a pour diviseur 3 si la somme de ses chiffres a pour diviseur 3.
Exemple: La somme des chiffres de 234 est 2 + 3 + 4 = 9 et 3 est un diviseur de 9 donc 3 est un diviseur de
234 . En effet, 234 = 78 × 3
5 Un nombre entier a pour diviseur 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemple: Le chiffre des unités de 170 est 0 donc 5 est un diviseur de 170. En effet, 170 = 34 × 5
Calcul mental: Pour diviser par 5, il suffit de diviser par 10 puis de multiplier le résultat obtenu par 2.
2 - Fractions et nombres décimaux
Définition 3: On appelle fraction le nombre, noté
a
, où a et b sont des nombres entiers, b étant différent
b
de zéro, tel que:
a
 a  b  a / b avec b  0
b
Vocabulaire: a est appelé numérateur de la fraction et b dénominateur de la fraction.
Propriété 4: Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction.
254 2540 25400


;
10
100
1000
7
70
0, 007 

.
1000 10000
25, 4 
Exemples:
52 
52 520 5200


;
1
10
100
Remarque: Avec les fractions, on dispose de nouveaux nombres. En effet, certaines fractions peuvent s'écrire
sous forme décimale mais pas toutes.
Exemples:
5
2
 5  2  2,5 donc
5
2
a une écriture décimale.
1
1
 1  3  0,3333... donc n'a pas d'écriture décimale.
3
3
3 - Représentation d'une fraction sur une droite graduée
a
sur une droite graduée, on partage les unités
b
en b parts égales, puis on compte a parts en commençant à zéro. a
b
Propriété 5: Pour placer la fraction
Nombre de parts
Découpage des unités
5
; il faut découper une unité en 8 parts égales, puis
8
en compter 5 en partant de 0.
5
8
Exemples: • Plaçons la fraction
A
5
Le point A a pour abscisse .
8
10
; il faut découper une unité en 3 parts égales, puis
3
en compter 10 en partant de 0.
• Plaçons la fraction
Le point B a pour abscisse
10
3
B
10
.
3
4 - Règles de calcul
a
ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son
b
dénominateur par un même nombre différent de zéro.
a ac
a a c

et 
b bc
b b c
Propriété 6: Le quotient
Application: Comparer deux fractions
Exemple: Comparons les fractions
4
7
et
.
5
10
Pour comparer des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur.
4 42 8
=
=
;
5 5  2 10
8
7
4
7
>
donc on peut conclure que
> .
10 10
5 10
Application: Simplifier une fraction
Exemple: Simplifions la fraction
14
.
10
14 ÷ 2 = 7 donc 14 = 7 × 2 et 10 ÷ 2 = 5 donc 10 = 5 × 2 d'où
14 7  2 7


10 5  2 5
Application: Effectuer une division à diviseur décimal
Jusqu'à présent, le cas d'un diviseur non entier n'a pas été envisagé (ex: 12 ÷ 0,3).
Désormais, on sait faire : Exemple: 12 ÷ 0,3 =
12 12  10 120
=
=
= 120 ÷ 3 = 40
0,3 0,3  10
3