ENS Lyon 2013 - 2014 TD 8-Exemples de variétés projectives et de

ENS Lyon 2013 - 2014
Master 1– Géométrie algébrique élémentaire Semaine du 31.03.2014
TD 8-Exemples de variétés projectives et de morphismes
Dans ce TD (et dans la suite...) une variété affine est une variété quasi-projective isomorphe
(comme variété quasi-projective) à un fermé algébrique d’un espace affine sur k.
0.1 Quelques exemples de morphismes
Soit Cla courbe d’équation x2+y2=z2dans P2. On définit F:C→P1par F([x:y:z]) =
[x−z:y]si x6=zet [y:−x−z]si x6=−z.
a) Montrer que Fest un morphisme de variétés projectives. En déduire que toute conique
irréductible de P2est isomorphe à P1.
b) Montrer que les automorphismes de P1sont de la forme [x:y]→[ax +by :cx +dy]pour
une matrice inversible a b
c d . En déduire un isomorphisme Aut(P1)'PGL2(k).
c) Montrer que f:P1×P1→P3qui envoie ([x:y],[z:t]) sur [xz :xt :yz :yt]est un
isomorphisme sur son image.
0.2 Un exemple très important
Soit X⊂Pnune variété quasi-projective et soient f0, ..., fm∈k[X0, ..., Xn]des polynômes
homogènes de même degré, sans zéro commun dans X. Montrer que
ϕ:X→Pm, p 7→ [f0(p) : ... :fm(p)].
est un morphisme de variétés quasi-projectives.
0.3 Local-global
Soit Xune variété quasi-projective. Un ouvert affine de Xest un ouvert Ude Xqui est
une variété affine. On se propose de montrer que les ouverts affines de Xforment une base pour
la topologie de X.
a) Montrer qu’il suffit de vérifier que toute variété quasi-affine Xadmet un recouvrement par
des ouverts affines.
b) Montrer que l’on peut supposer que X=Y−V(f)pour un f∈k[Y]. Prouver que dans
ce cas Xest une variété affine (et donc un ouvert affine de X...).
c) Montrer que si Hest un hyperplan de Pn, alors Pn−Hest une variété affine.
d) Montrer que A2− {(0,0)}est une variété quasi-projective qui n’est pas affine.
0.4 Produits de variétés quasi-projectives
Soient m, n ≥1et considérons l’application de Segre ψ:Pn×Pm→Pmn+m+n
ψ(([a0:... :an],[b0:... :bm]) = ([a0b0:a0b1:... :a0bm:a1b0:... :anbm]).
a) Montrer que ψest bien définie et injective.
b) Soit Σm,n l’image de ψ. Montrer que Σm,n est le fermé de Pmn+m+ndéfini par les équations
zi,j zk,l =zi,lzk,j , où (zi,j )0≤i≤n,0≤i≤msont les coordonnées homogènes sur Pmn+m+n.
c) Soient X⊂Pnet Y⊂Pmdes variétés quasi-projectives. Montrer que ψ(X×Y)est une
variété quasi-projective dans Pmn+m+n. Par définition, la structure de variété quasi-projective
sur X×Yest celle obtenue en l’identifiant avec ψ(X×Y).
1

d) Montrer que les fermés de Pn×Pmsont les zéros communs d’une famille de polynômes
Fi∈k[X0, ..., Xn, Y0, ..., Ym]qui sont bihomogènes (i.e. homogènes séparément en X0, ..., Xnet
Y0, ..., Ym). Décrire les fermés de Pn×Am.
e) Montrer que X×Y(en tant que variété quasi-projective) a la propriété universelle suivante :
si Zest une variété quasi-projective, alors les morphismes de Zdans X×Ysont en bijection
avec les paires de morphismes (Z→X, Z →Y), via les projections naturelles X×Y→Xet
X×Y→Y. En particulier, la structure de variété quasi-projective sur X×Ydéfinie ci-dessus
ne dépend pas (à isomorphisme près) des plongements X⊂Pnet Y⊂Pm.
f) Montrer que si Xest une variété quasi-projective, alors la diagonale ∆X={(x, x), x ∈
X} ⊂ X×Xest fermée dans X×X. En déduire que si f:X→Yest un morphisme de variétés
quasi-projectives, alors son graphe Γf={(x, f(x)), x ∈X}est fermé dans X×Y.
g) En utilisant la question f), montrer que l’intersection de deux ouverts affines dans une
variété quasi-projective est encore un ouvert affine.
0.5 Un théorème fondamental
Cet exercice utilise les deux exercices précédents et le théorème d’élimination projective.
a) Montrer que si Xest une variété quasi-projective, alors la projection Pn×X→Xest
fermée (utiliser le fait que Xadmet un recouvrement ouvert affine).
b) Montrer que si Xest une variété projective (i.e. un fermé projectif) et si Yest une variété
quasi-projective, alors l’image de tout morphisme f:X→Yest fermée dans Y. Indication :
factoriser f:X→X×Y→Yet utiliser le fait que le graphe de fest fermé dans X×Y.
c) En déduire que si Xest un fermé projectif irréductible, alors O(X) = k(rappelons que
O(X)désigne l’ensemble des fonctions régulières sur X). Indication : si f∈O(X), voir fcomme
morphisme f:X→A1⊂P1et utiliser le b).
0.6 Le plongement de Veronese
Soient n, d ≥1et posons N=n+d
n−1. On note M0, ..., MNles monômes homogènes de
degré den X0, ..., Xn, dans un certain ordre 1.
a) Montrer que l’application
ρn,d :Pn→PN, p 7→ [M0(p) : ... :MN(p)]
est bien définie et injective.
b) Montrer qu’il s’agit d’un morphisme de variétés projectives et vérifier que son image est
fermée et donnée par des équations homogènes de degré 2(donc l’image est une intersection de
quadriques).
c) Montrer que ρn,d est un isomorphisme sur son image.
d) Montrer que si Xest un fermé de Pnet si f∈k[X0, ..., Xn]est homogène non nul, alors
X−V(f)est un ouvert affine de X. En déduire que toute famille finie de points d’une variété
quasi-projective Xest contenue dans un ouvert affine de X.
e) Soit Xun fermé de Pn. Montrer que Xpeut être défini par des équations homogènes
F1=... =Fk= 0, tous les Fiayant le même degré, disons d. En déduire que Xest isomorphe à
ρn,d(Pn)∩L, pour un sous-espace projectif convenable Lde PN. Conclure que Xest isomorphe
à une variété projective qui est une intersection de quadriques !
f) On considère le cas particulier n=d= 2, donc
ρ2,2:P2→P5,[a:b:c]7→ [a2:ab :b2:ac :bc :c2].
1. On pourra s’amuser à vérifier qu’il y a vraiment N+ 1 tels monômes.
2

Montrer que l’image de ρ2,2est V(I)⊂P5, où Iest l’idéal engendré par les mineurs 2×2de la
matrice X0X1X3
X1X2X4
X3X4X5.
g) (plus difficile) Montrer que Iest premier, et donc I=I(Im(ρ2,2)). La surface Im(ρ2,2)
s’appelle la surface de Veronese.
0.7 Morphismes finis de variétés quasi-projectives
Soient X, Y des variétés quasi-projectives et soit ϕ:X→Yun morphisme. On dit que ϕ
est fini si Yadmet un recouvrement Y=∪iUipar des ouverts affines tels que ϕ−1(Ui)soit un
ouvert affine de Xet ϕ:ϕ−1(Ui)→Uisoit un morphisme fini de variétés affines 2.
I. On suppose que X, Y sont des fermés algébriques affines. On veut montrer que cette défi-
nition est compatible avec l’ancienne, i.e. si ϕ:X→Yest un morphisme fini avec la définition
ci-dessus, alors k[X]est un k[Y]-module de type fini.
a) Montrer qu’il existe fi∈k[Y]tels qu’en posant Ui=D(fi) := Y−V(fi), on ait un
recouvrement satisfaisant encore les conditions dans la définition d’un morphisme fini. Indication :
partir d’un recouvrement Uicomme dans la définition d’un morphisme fini et choisir fitels que
D(fi)⊂Ui.
b) Expliquer pourquoi k[X][1/ϕ∗(fi)] est un k[Y][1/fi]-module de type fini pour tout iet
l’idéal engendré par les fiest k[Y].
c) Conclure.
II. On se propose de démontrer le théorème fondamental suivant :
•Soit Xun fermé de Pnet soient f0, f1, ..., fddes polynômes homogènes de même degré, sans
zéro commun dans X. Alors le morphisme
ϕ:X→ϕ(X)⊂Pd, x 7→ [f0(x) : f1(x) : ... :fd(x)]
est fini.
a) En utilisant un plongement de Veronese, expliquer pourquoi on peut supposer que les fi
sont de degré 1, ce que l’on supposera dans la suite.
b) On note Vi=ϕ(X)∩Ui, où Uiest la carte usuelle sur Pd. Expliquer pourquoi les Vi
forment un recouvrement de ϕ(X)par des ouverts affines, tels que ϕ−1(Vi)soit un ouvert affine
de X.
c) On veut montrer que ϕ:ϕ−1(Vi)→Viest fini.
i) Montrer qu’il suffit de prouver l’assertion suivante : pour tout m≥0et G∈k[X0, ..., Xn]
homogène de degré mil existe F∈k[t0, ..., td, td+1]homogène, unitaire comme polynôme en td+1
et tel que F(fm
0, ..., fm
d, G)=0sur X.
ii) En considérant l’image du morphisme X→Pd+1,x→[fm
0(x) : ... :fm
d(x) : G(x)] et
l’hypothèse que les fisont sans zéros communs dans X, démontrer l’existence de F.
III. En utilisant II, démontrer que pour tout fermé irréductible Xde Pnon peut trouver un
morphisme fini surjectif X→Pdpour un certain d.
0.8 La Grassmanienne
Soit Vun k-espace vectoriel de dimension n. On note Gr(r, n)l’ensemble des sous-espaces
vectoriels de dimension rde V. On choisit une base e1, ..., ende V, ce qui fait que les ei1∧... ∧eir
(pour 1≤i1< ... < ir≤n) forment une base de ∧r(V). Cela permet d’identifier P(∧rV) =
2. Par définition, cela veut dire que si on choisit des isomorphismes de variétés quasi-projectives ϕ−1(Ui)'Zi
et Ui'Ti, avec Zi, Tides fermés algébriques affines, alors le morphisme induit par fentre Ziet Tiest fini, i.e.
k[Zi]est entier sur k[Ti]. Noter que cela ne dépend pas du choix des isomorphismes choisis, car tout isomorphisme
de fermés algébriques affines est un morphisme fini et que les morphismes finis sont stables par composition.
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P(n
r)−1et on note (pi1,...,ir)les coordonnées homogènes sur cet espace projectif. Si t∈ ∧r(V), on
note
L(t) = {v∈V|t∧v= 0}.
I. (algèbre multilinéaire) On fixe un sous-espace Lde V, de dimension r.
a) Montrer que ∧r(L)est une droite dans ∧r(V). On note [L]le point de P(∧r(V)) corres-
pondant à cette droite. Décrire les coordonnées homogènes de [L]en termes des mineurs de taille
maximale de la matrice d’une base de Ldans e1, ..., en.
b) Montrer que si t∈ ∧r(V)est une base de la droite ∧r(L), alors L=L(t). En déduire que
l’application L→[L]est une injection Gr(r, n)→P(ΛrV)(plongement de Plucker).
c) Montrer que Gr(r, n)est en bijection avec l’ensemble des matrices A∈Mr,n(k)de rang
maximal, modulo l’action à gauche de GLr(k). Vérifier que le plongement de Plucker Gr(r, n)→
P(Λr(V)) 'P(n
r)−1envoie la classe d’une matrice Asur la collection de ses mineurs de taille
r×r.
d) Montrer que l’image de Gr(r, n)dans P(∧r(V)) est l’ensemble des droites engendrées par
des vecteurs décomposables, i.e. de la forme f1∧... ∧fr, avec f1, ..., frune famille libre de V.
e) Montrer que t∈ ∧r(V)est décomposable si et seulement si dim L(t)≥r, ou encore si et
seulement si l’application linéaire
Tt:V→ ∧r+1(V), v →t∧v
a rang inférieur ou égal à n−r.
II (structure de variété algébrique sur Gr(r, n)).
a) En utilisant I, montrer que l’image du plongement de Plucker est un fermé algébrique de
P(∧r(V)), défini par des polynômes homogènes de degré n−r+ 1, à coefficients entiers. On
identifie dans la suite Gr(r, n)avec son image par le plongement de Plucker, ce qui permet de
voir Gr(r, n)comme variété projective.
b) On note Ui1,...,irla carte affine de P(∧r(V)) définie par pi1,...,ir6= 0 (pi1,..,irsont les coor-
données homogènes sur P(∧r(V))). Montrer que Ui1,...,ir∩Gr(r, n)est isomorphe (comme variété
quasi-projective) à Ar(n−r).
c) Montrer que les Ui1,...,ir∩Gr(r, n)sont deux à deux non disjoints. Conclure que Gr(r, n)
est irréductible.
d) (plus difficile) Montrer que Gr(2,4) (qui classifie les droites projectives dans P3) est iso-
morphe à la quadrique d’équation p1,2p3,4−p1,3p2,4+p1,4p2,3= 0 dans P5.
0.9 La cubique tordue
On note Cl’image du plongement de Veronese P1→P3(rappelons qu’il envoie [a:b]sur
[a3:a2b:ab2:b3]).
a) Montrer que Cest l’intersection de 3quadriques : V(X0X2−X2
1),V(X0X3−X1X2)et
V(X1X3−X2
2).
b) Montrer que l’intersection de deux quelconques parmi ces quadriques est la réunion de C
et d’une droite.
c) Montrer que Cest l’intersection de deux hypersurfaces.
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