PHYS-H-200 Physique quantique et statistique Chapitre 6: équation

PHYS-H-200 Physique quantique et statistique
Chapitre 6: ´ equation de Schr¨ odinger ` a trois
dimensions
Jean-Marc Sparenberg
Universit´ e Libre de Bruxelles
2011-2012
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1Potentiel central
2Potentiel coulombien attractif
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Potentiel central
´
Equation de Schr¨ odinger en coordonn´ ees sph´ eriques
´
Equation de Schr¨ odinger stationnaire (une particule, trois dimensions)
Hψ(~r)=Eψ(~r)⇐⇒ −~2
2m∆ + V(~r)!ψ(~r)=Eψ(~r)
o` uV(~r)=V(k~rk)=V(r)=potentiel central (` asym´ etrie sph´ erique)
Coordonn´ ees sph´ eriques
Icoordonn´
ee radiale : r>0
Icolatitude : 0≤θ≤π
Iangle azimutal : 0≤ϕ<2π
x=rsin θcos ϕ, y=rsin θsin ϕ,
z=rcos θ
0
θr
~r
ϕ
y
x
z
*
U
Fonction d’onde born´ ee et norm´ ee
Z|ψ(~r)|2d~r=Z∞
0
dr r2Z2π
0
dϕZπ
0
dθsin θ|ψ(r, θ, ϕ)|2=1
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Potentiel central
Laplacien et moment cin´ etique orbital
Laplacien en sph´ eriques sugg` ere s´ eparation variable radiale
∆ = ∂2
∂x2+∂2 ∂y2+∂2 ∂z2=1
r
∂2
∂r2r+1 r21
sin θ
∂
∂θ sin θ∂ ∂θ +1
sin2θ
∂2
∂ϕ2
Moment cin´ etique orbital (classique et quantique) ~ L=~r×~p
Idimensions = action
Icomposantes quantiques = op´
erateurs diff´ erentiels hermitiques
(r` egle de correspondance : ~p=−i~~ ∇ ⇒ ~ L=−i~~r×~ ∇)
Lx=ypz−zpy=−i~y∂
∂z−z∂ ∂y=−i~−sin ϕ∂ ∂θ −cos ϕ tan θ
∂
∂ϕ ,
Ly=zpx−xpz=−i~z∂
∂x−x∂ ∂z=−i~cos ϕ∂ ∂θ −sin ϕ tan θ
∂
∂ϕ ,
Lz=xpy−ypx=−i~x∂
∂y−y∂ ∂x=−i~∂ ∂ϕ
Icarr´
e~ L2=L2
x+L2 y+L2 z=−~2h1
sin θ
∂
∂θ sin θ∂ ∂θ +1
sin2θ
∂2
∂ϕ2i
´
Energie cin´ etique = ´ energie radiale +´ energie centrifuge (cf classique)
∆ = 1
r
∂2
∂r2r−~
L2
~2r2
⇒´ etude pr´ ealable de ~ L2et des variables angulaires θ, ϕ
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Potentiel central
(Non-)commutation et fonctions propres de ~ L
[Lx,Ly]=LxLy−LyLx=i~Lz,0
Iidem pour xz et yz : [Lj,Lk]=jkli~Ll(j,k,l=x,y,z)⇐⇒ ~
L×~ L=i~~ L
Irelations d’incertitude (g´
en´ eralis´ ees) pour composantes de ~ L
⇒moment cin´ etique orbital pas connu compl` etement (,classique)
[~ L2,Lz]=[L2
x,Lz]+[L2 y,Lz]=Lx[Lx,Lz]+[Lx,Lz]Lx+Lyi~Lx+i~LxLy=0
Iidem pour xet y⇒[~
L2,Li]=0 (i=x,y,z)
Ion peut connaitre simultan´
ement le module et une composante de ~ L
Observables qui commutent ⇒fonctions propres communes Y(θ, ϕ)
~
L2Y(θ, ϕ)=~2λY(θ, ϕ),LzY(θ, ϕ)=−i~∂
∂ϕ Y(θ, ϕ)=~µY(θ, ϕ)
R´ esolution par s´ eparation des variables :Y(θ, ϕ)= Θ(θ)Φ(ϕ)
´
Equation en ϕ(Lz) : dΦ
dϕ=iµΦ⇒Φ(ϕ)=C eiµϕ
Icontinues en ϕ=0 : Φ(2π)= Φ(0) ⇒quantification µ≡m∈Z
Iorthonorm´
ees : Φm(ϕ)=1
√2πeimϕ,R2π
0Φ∗
m(ϕ)Φm0(ϕ)dϕ=δmm0
´
Equation en θ(~ L2, annexe 6C) : solution par s´ erie
Iconverge ⇐⇒ tronqu´
ee ⇒quantification λ=l(l+1),l∈N
Ifonctions propres associ´
ees aux polynˆ omes de Legendre
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