TD d`électrocinétique no3 bis Réponse d`un circuit linéaire du

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD d’électrocinétique no3 bis
Réponse d’un circuit linéaire du second ordre
à un échelon de tension ou de courant
Exercice 1 -
Circuit RC parallèle en série avec L.
A t = 0, le circuit est mis sous tension.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
du
2 . Déterminer les expressions de u(t = 0+ ) et de
en fonction
dt t=0+
des données du problème ?
r
1 L
. Déterminer la loi d’évolution
3 . On se place dans le cas où R =
2 C
vérifiée par u(t).
4 . Déterminer l’expression de la tension u en régime permanent en
fonction des données du problème. Est-elle en accord avec les résultats
trouvés dans les questions précédentes ?
L
R
E
C
u
i
Figure 1
5 . Représenter graphiquement u(t).
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentielle souhaitée.

1

 ω0 = √

LC
d2 u(t) ω0 du(t)
r
Réponse :
+
+ ω0 2 u(t) = ω0 2 E
en posant

dt2
Q dt

Q = R C
L
2. Faire un schéma du circuit à t = 0+ . Indiquer les expressions des grandeurs électriques qui ne peuvent
présenter de discontinuité, déterminer ensuite les expressions des autres grandeurs électriques (n’utiliser que
la loi des mailles, la loi des noeuds et l’équation de fonctionnement du résistor). Terminer en recherchant
l’expression de la dérivée temporelle
la grandeur électrique recherchée.
de du
+
Réponses : u(t = 0 ) = 0 V et
= 0 V.s−1
dt t=0+
3. Réponse : pour t > 0, u(t) = E − E [1 + ω0 t] exp (−ω0 t)
4. Faire un schéma du circuit en régime permanent.
Réponse : u(t → +∞) = E
S. Bénet
1
Exercice 2 -
Circuit RC parallèle en série avec RL parallèle.
A t = 0, le circuit est mis sous tension.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
du
en fonction
2 . Déterminer les expressions de u(t = 0+ ) et de
dt t=0+
des données du problème ?
3 . Déterminer l’expression de la tension u en régime permanent en
fonction des données du problème.
L
R
u
R
C
E
On observe un régime de fonctionnement transitoire pseudo-périodique.
Figure 2
4 . Quelle condition R doit-elle vérifier ?
5 . Déterminer la loi d’évolution vérifiée par la tension u(t) et la représenter graphiquement.
1. Combiner une loi des mailles, deux lois des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles
afin de déterminer l’équation différentielle souhaitée.

1

ω0 = √


2
d u(t) ω0 du(t)
LC
r
Réponse :
+
+ ω0 2 u(t) = ω0 2 E
en posant
2

dt
Q dt

Q = R C
2 L
du
E
2. Réponses : u(t = 0+ ) = 0 V et
=
dt t=0+
RC 2Q
1
1
1
sin(Ωt) exp (−t/τ ) avec τ =
et Ω =
−
3. Réponse : pour t > 0, u(t) = E + E − cos(Ωt) +
Ω RC
τ
ω0
ω0 p 2
4Q − 1
2Q
4. Réponse : u(t → +∞) = E
Exercice 3 -
Circuit RL parallèle en série avec C.
A t = 0, on ferme l’interrupteur K qui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
du
+
en fonction des
2 . Déterminer l’expression de u(t = 0 ) et
dt t=0+
données du problème ?
3 . Déterminer l’expression de la tension u en régime permanent en
fonction des données du problème.
4 . Représenter l’allure des solutions possibles. Quelle est la résistance
critique ?
E
K
L
u
C
R
Figure 3
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentielle souhaitée.
1 du(t)
1
1
d2 u(t)
+
+
u(t) =
E
Réponse :
dt2
RC dt
LC LC
E
du
=
2. Réponses : u(t = 0+ ) = 0 V et
dt t=0+
RC
3. Réponse : u(t → +∞)
=
E
r
1 L
3. Réponse : Rc =
2 C
S. Bénet
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Exercice 4 -
Circuit RC série en parallèle sur L en série avec R.
A t = 0, on ferme l’interrupteur K qui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Montrer que l’évolution de u est régie par l’équation différentielle :
d2 u(t) 1 R
du(t)
1
1
+
+
+
u(t) = 0
dt2
2 L RC
dt
2LC
K
R
R
L
E
2 . Déterminer les conditions initiales u(0+ ) et
du
dt
u
C
.
t=0+
Figure 4
3 . Représenter qualitativement l’allure de u(t) pour un régime pseudopériodique puis un régime apériodique.
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentiellesouhaitée.
E
du
=
2. Réponses : u(t = 0+ ) = 0 V et
dt t=0+
2RC
Exercice 5 -
Circuit LC parallèle en série avec L.
A t = 0, on ferme l’interrupteur K qui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t).
dq
+
2 . Déterminer les expressions de q(t = 0 ) et de
en fonction
dt t=0+
des données du problème ?
L
L
i1
i2
+q
C1
E
3 . Déterminer la loi d’évolution vérifiée par la charge q(t).
K
4 . En déduire les lois d’évolution vérifiées par les intensités de courant
i1 (t) et i2 (t).
Figure 5
5 . Pourquoi ces résultats théoriques ne peuvent-ils pas refléter la réalité
du circuit électrique ?
d2 q(t)
E
1. Réponse :
+ ω0 2 q(t) =
dt2
L
2. Réponses : q(t = 0+ ) = 0 V
et
en posant ω0 =
dq
=0
dt t=0+
r
2
LC
CE
[1 − cos (ω0 t)]
2 E
E
1
1
4. Réponse : pour t > 0, i1 (t) =
sin (ω0 t) et i2 (t) =
sin (ω0 t)
t+
t−
2L
ω0
2L
ω0
3. Réponse : pour t > 0, q(t) =
S. Bénet
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