TD d`électrocinétique no3 bis Réponse d`un circuit linéaire du

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD d’électrocinétique no3 bis
Réponse d’un circuit linéaire du second ordre
à un échelon de tension ou de courant
Exercice 1 - Circuit RC parallèle en série avec L.
At= 0, le circuit est mis sous tension.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
2 . Déterminer les expressions de u(t= 0+) et de du
dtt=0+
en fonction
des données du problème ?
3 . On se place dans le cas où R=1
2rL C. Déterminer la loi d’évolution
vérifiée par u(t).
4 . Déterminer l’expression de la tension uen régime permanent en
fonction des données du problème. Est-elle en accord avec les résultats
trouvés dans les questions précédentes ?
5 . Représenter graphiquement u(t).
L
Cu ER
i
Figure 1
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentielle souhaitée.
Réponse : d2u(t)
dt2+ω0 Q
du(t)
dt+ω0
2u(t) = ω0 2Een posant 
ω0=1
√LC
Q=RrC
L
2. Faire un schéma du circuit à t= 0+. Indiquer les expressions des grandeurs électriques qui ne peuvent
présenter de discontinuité, déterminer ensuite les expressions des autres grandeurs électriques (n’utiliser que
la loi des mailles, la loi des noeuds et l’équation de fonctionnement du résistor). Terminer en recherchant
l’expression de la dérivée temporelle de la grandeur électrique recherchée.
Réponses : u(t= 0+) = 0 Vet du
dtt=0+
= 0 V.s−1
3. Réponse : pour t > 0,u(t) = E−E[1 + ω0t] exp (−ω0t)
4. Faire un schéma du circuit en régime permanent.
Réponse : u(t→+∞) = E
S. Bénet 1

Exercice 2 - Circuit RC parallèle en série avec RL parallèle.
At= 0, le circuit est mis sous tension.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
2 . Déterminer les expressions de u(t= 0+) et de du
dtt=0+
en fonction
des données du problème ?
3 . Déterminer l’expression de la tension uen régime permanent en
fonction des données du problème.
On observe un régime de fonctionnement transitoire pseudo-périodique.
4 . Quelle condition Rdoit-elle vérifier ?
5 . Déterminer la loi d’évolution vérifiée par la tension u(t) et la repré-
senter graphiquement.
L
R
C
R
u
E
Figure 2
1. Combiner une loi des mailles, deux lois des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles
afin de déterminer l’équation différentielle souhaitée.
Réponse : d2u(t)
dt2+ω0 Q
du(t)
dt+ω02u(t) = ω02Een posant 
ω0=1
√LC
Q=R
2rC L
2. Réponses : u(t= 0+) = 0 Vet du
dtt=0+
=E
RC
3. Réponse : pour t > 0,u(t) = E+E−cos(Ωt) + 1
Ω1 RC −1 τsin(Ωt)exp (−t/τ)avec τ=2Q ω0
et Ω =
ω0
2Qp4Q2−1
4. Réponse : u(t→+∞) = E
Exercice 3 - Circuit RL parallèle en série avec C.
At= 0, on ferme l’interrupteur Kqui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u(t).
2 . Déterminer l’expression de u(t= 0+) et du
dtt=0+
en fonction des
données du problème ?
3 . Déterminer l’expression de la tension uen régime permanent en
fonction des données du problème.
4 . Représenter l’allure des solutions possibles. Quelle est la résistance
critique ?
L
R
Cu
K
E
Figure 3
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentielle souhaitée.
Réponse : d2u(t)
dt2+1 RC
du(t)
dt+1 LC u(t) = 1 LC E
2. Réponses : u(t= 0+) = 0 Vet du
dtt=0+
=E
RC
3. Réponse : u(t→+∞) = E
3. Réponse : Rc=1
2rL C
S. Bénet 2/3

Exercice 4 - Circuit RC série en parallèle sur L en série avec R.
At= 0, on ferme l’interrupteur Kqui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Montrer que l’évolution de uest régie par l’équation différentielle :
d2u(t)
dt2+1 2R L+1 RC du(t) dt+1 2LC u(t) = 0
2 . Déterminer les conditions initiales u(0+) et du
dtt=0+
.
3 . Représenter qualitativement l’allure de u(t) pour un régime pseu-
dopériodique puis un régime apériodique.
L
R
Cu
R
E
K
Figure 4
1. Combiner une loi des mailles, une loi des nœuds et les équations de fonctionnement des différents dipoles afin
de déterminer l’équation différentielle souhaitée.
2. Réponses : u(t= 0+) = 0 Vet du
dtt=0+
=E
2RC
Exercice 5 - Circuit LC parallèle en série avec L.
At= 0, on ferme l’interrupteur Kqui était ouvert depuis très longtemps.
1 . Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t).
2 . Déterminer les expressions de q(t= 0+) et de dq
dtt=0+
en fonction
des données du problème ?
3 . Déterminer la loi d’évolution vérifiée par la charge q(t).
4 . En déduire les lois d’évolution vérifiées par les intensités de courant
i1(t) et i2(t).
5 . Pourquoi ces résultats théoriques ne peuvent-ils pas refléter la réalité
du circuit électrique ?
L
i1
L
i2
C1
+q
K
E
Figure 5
1. Réponse : d2q(t)
dt2+ω02q(t) = E Len posant ω0=r2 LC
2. Réponses : q(t= 0+) = 0 Vet dq
dtt=0+
= 0
3. Réponse : pour t > 0,q(t) = CE
2[1 −cos (ω0t)]
4. Réponse : pour t > 0,i1(t) = E
2Lt+1 ω0
sin (ω0t)et i2(t) = E
2Lt−1 ω0
sin (ω0t)
S. Bénet 3/3