Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.

Chapitre 9
Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.
I. Fonctions vectorielles. ...................................................................2
1/ Limite. ...............................................................................2
2/ Continuité et dérivabilité...........................................................2
3/ Propriétés de la dérivation. ........................................................3
4/ Taylor-Young. .......................................................................4
II. Les courbes paramétrées. .............................................................5
1/ Définition. ...........................................................................5
2/ Interprétation cinématique, vitesse/accélération.................................5
3/ Tangente. ............................................................................5
4/ Étude locale des arcs plans.........................................................6
5/ Les branches infinies. ...............................................................8
6/ Longueur d’une courbe. ............................................................8
III. Exemples de courbes paramétrées..................................................8
1/ Plan d’étude.........................................................................8
2/ Exemple 1 : l’astroïde ..............................................................9
3/ Exemple 2 : La cycloïde ...........................................................9
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Chapitre 9
Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.
I. Fonctions vectorielles.
I.1/ Limite.
Définitions. Soit Iun intervalle de R. On note I, l’ensemble Iavec ses bornes dans R.
1. Une fonction vectorielle f est une application de R dans Rn . Les fonctions f1,...,fn de R dans R
telles que f=(f1,...,fn)sont appelées les fonctions composantes de f.
2. Soit t0dans I,ldans R, alors fadmet une limite len t0notée lim
t→t0
f(t)=lsi et seulement si
lim
t→t0f(t)−l=0
Remarque. On rappelle que la norme utilisée dans la définition de la limite est une norme quelconque
puisqu’en DF toutes les normes sont équivalentes.
Propriété.1 Soient f=(f1,...,fn) une application vectorielle de I dans Rn , t0 un élément de I et
l=(l1,...,ln)dans Rn. On a alors :
lim
t→t0
f(t)=l⇐⇒ ∀k∈{1,...,n}lim
t→t0
fk(t)=lk
I.2/ Continuité et dérivabilité.
Définitions. Soit fune application d’un intervalle Ide Rdans Rnet t0un réel de I.
1. fest continue en t0si et seulement si lim
t→t0
f(t)=f(t0).
2. f est dérivable en t0 si et seulement s’il existe l dans Rn vérifiant lim
t→t0
f(t)−f(t0)
t−t0=l
. On note
alors f′(t0)=l.
3. f est continue (resp. dérivable) sur I si et seulement si f est continue (resp. dérivable) en tout
point de I.
2

Notation. On note :
-∆n(I, Rn)l’ensemble des applications de Idans Rnnfois dérivables,
-Cn(I, Rn)l’ensemble des applications nfois dérivables avec f(n)continue,
-C∞(I, Rn)l’ensemble des applications de Idans Rninfiniment dérivable.
Propriétés.2Soit f=(f1,...,fn)une application d’un intervalle Ide Rdans Rnalors :
1. fest continue en t0si et seulement si les fisont continues en t0pour tout ide {1,...,n}.
2. f est dérivable en t0 si et seulement si les fi sont dérivables en t0 pour tout i de { 1 ,...,n} . Dans
ce cas, on a :
f′(t0)=(f′
1(t0),...,f′ n(t0))
Exemple. L’application fsuivante est dérivable sur Ret f′est définie par :
fR→R2
t↦1−t2
1+t2;2t 1+t2
f′R→R2
t↦−4t
(1+t2)2;2(1−t2) (1+t2)2
I.3/ Propriétés de la dérivation.
Propriétés élémentaires.3Soient fet gdans ∆1(I, Rn).
1. Pour tous λ,µde R,λ.f +µ.g est dérivable et : (λ.f +µ.g)′=λ.f ′+µ.g′
2. Si hest dérivable d’un intervalle Jdans Ialors f o h est dérivable et (f o h)′=(f′o h)×h′
Propriétés - dérivabilité et linéarité.4Soient fet gdans ∆1(I, Rn).
1. Pour toute AL Lde Rndans Rp, l’application L o f est dérivable sur Iet (L o f)′=L o f′
2. Si ϕ est une application bilinéaire alors ϕ(f, g) est dérivable et ϕ(f, g)′=ϕ(f′, g)+ϕ(f, g′) . En
particulier :
●t↦f(t).g(t)(produit scalaire) est dérivable sur Iet (f.g)′=f′.g +f.g′.
●Dans le cas où n=2,det(f, g)est dérivable et det(f, g)′=det(f′, g)+det(f, g′)
Conséquence.5 Soient f dans ∆
1(I, Rn)
et ... la norme euclidienne de Rn . Alors l’application
t↦f(t)est dérivable sur l’ouvert {t∈If(t)≠0}et :
f′=f.f ′
f
Exercice.6 Soit (I, f(t)) un courbe paramétrée de Rn vérifiant f(t) constant. Montrer que pour tout
tde I, les vecteurs f(t)et f′(t)sont orthogonaux.
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I.4/ Taylor-Young.
Notation. Soit Aet Bdes points de Rnet Ð→ uun vecteur de Rn. On note :
1. A+Ð→ ul’image de Apar la translation de vecteur Ð→ u.
2. A−B=Ð→ BA
Théorème de Taylor-Young.7 Soient I un intervalle de R , t0 dans I et n dans N et f dans Cn(I, Rn) .
f(t)=f(t0)+ÐÐÐ→ f′(t0)(t−t0)+ÐÐÐ→ f′′(t0)(t−t0)2
2! +...+ÐÐÐÐ→
f(n)(t0)(t−t0)n
n!+(t−t0)nÐÐ→
ε(t)
où εest une application de Idans Rvérifiant lim
t→t0ÐÐ→
ε(t)=0
Remarques.
1. Pour avoir une vision géométrique de ce théorème, les éléments f(t) et f(t0) de Rn sont considérés
comme des points de Rn , les
ÐÐÐÐ→
f(k)(t0) de Rn sont considérés comme des vecteurs. Ainsi f(t) est
vu comme l’image de f(t0)par une série de translations.
2. Attention, les (t−t0)k
k!sont tous des réels.
3. Comme pour les fonctions à valeurs dans R , on note o((t−t0)n) le (t−t0)nÐÐ→ ε(t) . Attention, ici
o((t−t0)n)est un vecteur.
4. On approche f(t) par un polynôme à coefficients dans Rn et l’erreur commise est donnée par
(t−t0)nÐÐ→ ε(t).
5. Pour faire un DL d’une fonction vectorielle, il suffit de faire un DL de chaque fonction composante.
Exercice.8Le DL2(0)de la fonction f(t)=(tsin(t), et,ln(1−t))est :
f(t)=
0
1
0
+
0
1
−1
t+1
2
2
1
−1
t2+o(t2)
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II. Les courbes paramétrées.
II.1/ Définition.
Définition.
1. On appelle arc paramétré Ck un couple (I, f) où I est un intervalle I de R d’intérieur non vide
et fune fonction Ckde Idans Rn.
2. Le support de l’arc paramétré est l’ensemble f(I).
Attention.
Ne pas confondre support d’un arc et l’arc lui-même. Par exemple, les arcs paramétrés
suivants ont même support mais sont différents :
f∶[0,2π]→R2
θ↦(cos(θ),sin(θ)) g∶[0,4π]→R2 θ↦(cos(θ),sin(θ))
II.2/ Interprétation cinématique, vitesse/accélération.
Définition. L’étude d’un arc paramétré (I, f) correspond à l’étude du mouvement d’un mobile dans le
plan.
1. l’intervalle Ireprésente l’intervalle de temps.
2. le support f(I)représente la trajectoire du mobile.
3. f′(t)est la vitesse du mobile à l’instant t.
4. f′′(t)est l’accélération du mobile à l’instant t.
Définitions.
1. Si f′(t)≠0, le point f(t)est dit régulier, sinon le point f(t)est dit singulier ou stationnaire.
2. Si f′(t)et f′′(t)ne sont pas colinéaires, le point f(t)est dit birégulier.
Remarque. Ainsi fadmet un point non birégulier en t0si et seulement si : det(f′(t0), f′′(t0))=0
II.3/ Tangente.
Théorème.9
1. Soit p le premier entier de N∗ tel que
ÐÐÐÐ→
f(p)(t0) soit non nul alors
ÐÐÐÐ→
f(p)(t0) est un vecteur directeur
de la tangente au point t0.
2. En un point régulier, le vecteur vitesse est un vecteur directeur de la tangente.
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