Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.

Chapitre 9
Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.
I. Fonctions vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/
2/
3/
4/
Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Propriétés de la dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Taylor-Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II. Les courbes paramétrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1/
2/
3/
4/
5/
6/
Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Interprétation cinématique, vitesse/accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Étude locale des arcs plans.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Les branches infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Longueur d’une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III. Exemples de courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1/ Plan d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2/ Exemple 1 : l’astroïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3/ Exemple 2 : La cycloïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
Chapitre 9
Fonctions vectorielles, arcs paramétrés.
I. Fonctions vectorielles.
I.1/ Limite.
Définitions. Soit I un intervalle de R. On note I, l’ensemble I avec ses bornes dans R.
1. Une fonction vectorielle f est une application de R dans Rn . Les fonctions f1 , . . . , fn de R dans R
telles que f = (f1 , . . . , fn ) sont appelées les fonctions composantes de f .
2. Soit t0 dans I, l dans R, alors f admet une limite l en t0 notée lim f (t) = l si et seulement si
t→t0
lim ∥f (t) − l∥ = 0
t→t0
Remarque. On rappelle que la norme utilisée dans la définition de la limite est une norme quelconque
puisqu’en DF toutes les normes sont équivalentes.
Propriété. Soient f = (f1 , . . . , fn ) une application vectorielle de I dans Rn , t0 un élément de I et
l = (l1 , . . . , ln ) dans Rn . On a alors :
1
lim f (t) = l ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , n} lim fk (t) = lk
t→t0
t→t0
I.2/ Continuité et dérivabilité.
Définitions. Soit f une application d’un intervalle I de R dans Rn et t0 un réel de I.
1. f est continue en t0 si et seulement si lim f (t) = f (t0 ).
t→t0
2. f est dérivable en t0 si et seulement s’il existe l dans Rn vérifiant lim
t→t0
alors f ′ (t0 ) = l.
f (t) − f (t0 )
= l. On note
t − t0
3. f est continue (resp. dérivable) sur I si et seulement si f est continue (resp. dérivable) en tout
point de I.
2
Notation. On note :
- ∆n (I, Rn ) l’ensemble des applications de I dans Rn n fois dérivables,
- C n (I, Rn ) l’ensemble des applications n fois dérivables avec f (n) continue,
- C ∞ (I, Rn ) l’ensemble des applications de I dans Rn infiniment dérivable.
Propriétés. Soit f = (f1 , . . . , fn ) une application d’un intervalle I de R dans Rn alors :
2
1. f est continue en t0 si et seulement si les fi sont continues en t0 pour tout i de {1, . . . , n}.
2. f est dérivable en t0 si et seulement si les fi sont dérivables en t0 pour tout i de {1, . . . , n}. Dans
ce cas, on a :
f ′ (t0 ) = (f1′ (t0 ), . . . , fn′ (t0 ))
Exemple. L’application f suivante est dérivable sur R et f ′ est définie par :
f
R
→
t
↦
f′
R2
(
2t
1 − t2
;
)
1 + t2 1 + t2
R
→
t
↦
R2
−4t
2(1 − t2 )
(
;
)
(1 + t2 )2
(1 + t2 )2
I.3/ Propriétés de la dérivation.
Propriétés élémentaires. Soient f et g dans ∆1 (I, Rn ).
3
1. Pour tous λ, µ de R, λ.f + µ.g est dérivable et : (λ.f + µ.g)′ = λ.f ′ + µ.g ′
2. Si h est dérivable d’un intervalle J dans I alors f o h est dérivable et (f o h)′ = (f ′ o h) × h′
Propriétés - dérivabilité et linéarité. Soient f et g dans ∆1 (I, Rn ).
4
1. Pour toute AL L de Rn dans Rp , l’application L o f est dérivable sur I et (L o f )′ = L o f ′
2. Si ϕ est une application bilinéaire alors ϕ(f, g) est dérivable et ϕ(f, g)′ = ϕ(f ′ , g) + ϕ(f, g ′ ). En
particulier :
● t ↦ f (t).g(t) (produit scalaire) est dérivable sur I et (f.g)′ = f ′ .g + f.g ′ .
● Dans le cas où n = 2, det(f, g) est dérivable et det(f, g)′ = det(f ′ , g) + det(f, g ′ )
Conséquence. Soient f dans ∆1 (I, Rn ) et ∥...∥ la norme euclidienne de Rn . Alors l’application
t ↦ ∥f (t)∥ est dérivable sur l’ouvert {t ∈ I/f (t) ≠ 0} et :
5
∥f ∥′ =
f.f ′
∥f ∥
Exercice. Soit (I, f (t)) un courbe paramétrée de Rn vérifiant ∥f (t)∥ constant. Montrer que pour tout
t de I, les vecteurs f (t) et f ′ (t) sont orthogonaux.
6
3
I.4/ Taylor-Young.
→
Notation. Soit A et B des points de Rn et Ð
u un vecteur de Rn . On note :
→
→
1. A + Ð
u l’image de A par la translation de vecteur Ð
u.
Ð→
2. A − B = BA
Théorème de Taylor-Young. Soient I un intervalle de R, t0 dans I et n dans N et f dans C n (I, Rn ).
7
ÐÐÐÐ→ (t − t0 )n
ÐÐÐ→
ÐÐÐ→ (t − t0 )2
ÐÐ→
f (t) = f (t0 ) + f ′ (t0 )(t − t0 ) + f ′′ (t0 )
+ . . . + f (n) (t0 )
+ (t − t0 )n ε(t)
2!
n!
ÐÐ→
où ε est une application de I dans R vérifiant lim ε(t) = 0
t→t0
Remarques.
1. Pour avoir une vision géométrique de ce théorème, les éléments f (t) et f (t0 ) de Rn sont considérés
ÐÐÐÐ→
comme des points de Rn , les f (k) (t0 ) de Rn sont considérés comme des vecteurs. Ainsi f (t) est
vu comme l’image de f (t0 ) par une série de translations.
2. Attention, les
(t−t0 )k
k!
sont tous des réels.
ÐÐ→
3. Comme pour les fonctions à valeurs dans R, on note o((t − t0 )n ) le (t − t0 )n ε(t) . Attention, ici
o((t − t0 )n ) est un vecteur.
4. On approche f (t) par un polynôme à coefficients dans Rn et l’erreur commise est donnée par
ÐÐ→
(t − t0 )n ε(t).
5. Pour faire un DL d’une fonction vectorielle, il suffit de faire un DL de chaque fonction composante.
Exercice. Le DL2 (0) de la fonction f (t) = (t sin(t), et , ln(1 − t)) est :
8
2 ⎞
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
1⎛
f (t) = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ t + ⎜ 1 ⎟ t2 + o(t2 )
2⎝
⎝ 0 ⎠ ⎝ −1 ⎠
−1 ⎠
4
II. Les courbes paramétrées.
II.1/ Définition.
Définition.
1. On appelle arc paramétré C k un couple (I, f ) où I est un intervalle I de R d’intérieur non vide
et f une fonction C k de I dans Rn .
2. Le support de l’arc paramétré est l’ensemble f (I).
Attention. Ne pas confondre support d’un arc et l’arc lui-même. Par exemple, les arcs paramétrés
suivants ont même support mais sont différents :
f∶
[0, 2π]
θ
→
↦
g∶
R2
(cos(θ), sin(θ))
[0, 4π]
θ
→
↦
R2
(cos(θ), sin(θ))
II.2/ Interprétation cinématique, vitesse/accélération.
Définition. L’étude d’un arc paramétré (I, f ) correspond à l’étude du mouvement d’un mobile dans le
plan.
1. l’intervalle I représente l’intervalle de temps.
2. le support f (I) représente la trajectoire du mobile.
3. f ′ (t) est la vitesse du mobile à l’instant t.
4. f ′′ (t) est l’accélération du mobile à l’instant t.
Définitions.
1. Si f ′ (t) ≠ 0, le point f (t) est dit régulier, sinon le point f (t) est dit singulier ou stationnaire.
2. Si f ′ (t) et f ′′ (t) ne sont pas colinéaires, le point f (t) est dit birégulier.
Remarque. Ainsi f admet un point non birégulier en t0 si et seulement si : det(f ′ (t0 ), f ′′ (t0 )) = 0
II.3/ Tangente.
9
Théorème.
ÐÐÐÐ→
ÐÐÐÐ→
1. Soit p le premier entier de N∗ tel que f (p) (t0 ) soit non nul alors f (p) (t0 ) est un vecteur directeur
de la tangente au point t0 .
2. En un point régulier, le vecteur vitesse est un vecteur directeur de la tangente.
5
10
Exercice. Déterminer la liste des points non biréguliers de la courbe paramétrée de R2 définie sur
[−π; π] par :
x(t) = sin(t) − t
{
y(t) = cos(t)
puis déterminer la tangente en ces points.
II.4/ Étude locale des arcs plans.
Supposition. On fait l’hypothèse suivante, toujours vérifiée en pratique qu’il existe des entiers p et q
tels que :
ÐÐÐÐ→
ÐÐÐÐ→
1. f (p) (t0 ) ≠ 0 et ∀i ∈ {1, . . . , p − 1} , f (i) (t0 ) = 0
ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→
ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→
2. (f (p) (t0 ), f (q) (t0 )) est libre et que les familles (f (p) (t0 ), f (i) (t0 )) pour p < i < q sont liées.
6
ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→
ÐÐÐÐÐ→
Ð
→ Ð
→
11
Théorème. Notons T et D, les vecteurs f (p) (t0 ) et f (q) (t0 ). Les coordonnées de f (t0 )f (t) dans la
Ð
→ Ð
→
base β = ( T , D) est équivalent à :
ÐÐÐÐÐ→
[f (t0 )f (t)]
β
⎛
∼ ⎜
t0
⎝
(t−t0 )p
p!
(t−t0
q!
)q
⎞
⎟
⎠
Ainsi, la parité du couple (p, q) détermine complètement l’allure locale du support.
q impair
q pair
Ð
→
D
Ð
→
D
Ð
→
T
Ð
→
T
p impair
C’est un point d’inflexion
Ð
→
D
C’est un point ordinaire
Ð
→
D
Ð
→
T
Ð
→
T
p pair
C’est un point de retournement C’est un point de retournement
de première espèce
de deuxième espèce
7
II.5/ Les branches infinies.
Plan d’étude. Soit t0 au borne du domaine d’étude non inclus dans le domaine d’étude. Éventuellement
t0 peut valoir ±∞.
1. Si x(t) Ð→ a et y(t) Ð→ ±∞, alors la courbe admet une asymptote verticale d’équation x = a.
t→t0
t→t0
2. Si x(t) Ð→ ±∞ et y(t) Ð→ a, alors la courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = a.
t→t0
t→t0
3. Si x(t) Ð→ ±∞ et y(t) Ð→ ±∞, il faut déterminer la limite du quotient
t→t0
t→t0
y(t)
.
x(t)
a) S’il n’y a pas de limite, on ne peut conclure
b) Si la limite est ±∞ la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy).
c) Si la limite est un réel a. Il faut alors déterminer la limite de y(t) − ax(t) lorsque t tend
vers t0
● Si la limite est ±∞, c’est une branche parabolique de direction y = ax.
● Si la limite est un réel b, c’est une asymptote d’équation y = ax + b.
II.6/ Longueur d’une courbe.
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Théorème.
Si (I, f ) est un arc paramétré C 1 avec f = (x, y), alors la longueur de f entre a et b est :
L(a, b, f ) = ∫
b
a
ÐÐ→
∥f ′ (t)∥2 dt = ∫
a
8
b√
x′ 2 (t) + y ′ 2 (t)
III. Exemples de courbes paramétrées
III.1/ Plan d’étude
Plan.
1. Déterminer le domaine d’étude. Il faut savoir exploiter les symétries, les périodicités. Exemples :
– Si x(t) et y(t) sont impaires, il suffit de prendre t ≥ 0 et ensuite de faire la symétrie par rapport
au centre O.
x(a + t) = −x(a − t)
– Si {
, il suffit de prendre t ≥ a et ensuite de faire la symétrie par rapport à
y(a + t) = y(a − t)
(Oy).
2. On fait le tableau de variation de x et y.
3. On détermine les branches infinies.
4. Etude locale des points non birégulier. Remarquons que pour déterminer p et q, il est souvent
plus facile de faire un DL.
5. Tracer du support.
6. Etude des points multiples.
III.2/ Exemple 1 : l’astroïde
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Exercice.
Soit a un réel positif. Tracer l’arc paramétré
{
x(t) = a cos3 (t)
y(t) = a sin3 (t)
III.3/ Exemple 2 : La cycloïde
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Exercice.
Soit a réel positif. Tracer la courbe
{
x(t) = at − a sin(t)
y(t) = a − a cos(t)
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