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Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
1. Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
...................................p.1
Continuité et dérivabilité en un point ou sur un intervalle. Interprétation géométrique et cinématique du vecteur dérivé.
Dérivée de la somme de deux fonctions vectorielles. Dérivée du produit d'une fonction à valeurs réelles par une fonction à
valeurs vectorielles. Dérivation du produit scalaire, d'une norme, d'un déterminant, d'un déterminant ou d'un produit
vectoriel.
Applications de classe
Ck
sur un intervalle. Structure de
Ck
(
I ;ℝn
)
.
Développement limité et formule de Taylor-Young pour une fonction de classe
Ck
.
2. Courbes paramétrées.............................................................................................p.12
Rappels sur les représentations graphiques de fonctions réelles d'une variable réelle.
Courbe paramétrée. Tangente en un point.
Caractérisation de la tangente utilisant le premier vecteur dérivé non nul.
Position relative locale de la courbe par rapport à sa tangente en un point régulier.
Longueur d'un arc paramétré de classe
C1
.
--------------
1. Fonction d'une variable réelle à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
.
Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle d'intérieur non vide noté I de
ℝ
et à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
. On assimilera les éléments de
ℝ2
ou
ℝ3
à des vecteurs colonnes de
M2,1 ( ℝ )
ou
M3,1 ( ℝ )
et on notera les
fonctions coordonnées
x
,
y
(et éventuellement
z
), ainsi on considère
f
telle que :
f: I → ℝ2
t→
(
x ( t )
y ( t )
)
ou
f: I → ℝ3
t→
(
x ( t )
y ( t )
z ( t )
)
La plupart des résultats suivants sont énoncés pour une fonction à valeur dans
ℝ3
, il suffit de supprimer la troisième
composante pour traiter le cas d'une fonction à valeur dans
ℝ2
.
Exemple : soit
I= [ 0 ;1 ]
et
f ( t ) =
(
−3t2+2t+1
2t−t2
)
.
Pour obtenir des valeurs de la fonction
f
:
1
2
3
4
5
6
def f(t):
return (-3*t**2+2*t+1,2*t-t**2)
import numpy as np
for t in np.linspace(0,1,11):
print('f('+str(t)+')='+str(f(t)))
f(0.0)=(1.0, 0.0)
f(0.1)=(1.1699999999999999, 0.19)
f(0.2)=(1.28, 0.35999999999999999)
f(0.3)=(1.3300000000000001, 0.51000000000000001)
f(0.4)=(1.3199999999999998, 0.64000000000000001)
f(0.5)=(1.25, 0.75)
f(0.6)=(1.1199999999999999, 0.84000000000000008)
f(0.7)=(0.92999999999999994, 0.91000000000000003)
f(0.8)=(0.67999999999999972, 0.95999999999999996)
f(0.9)=(0.36999999999999988, 0.98999999999999999)
f(1.0)=(0.0, 1.0)
Pour tracer des points dont les coordonnées sont les valeurs
de la fonction
f
:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
def f(t):
return (-3*t**2+2*t+1,2*t-t**2)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
for t in np.linspace(0,1,11):
plt.plot(f(t)[0],f(t)[1],marker='+')
plt.text(f(t)[0],f(t)[1],'f('+str(t)+')')
plt.show()
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées 1/20 pycreach.free.fr - TSI2

Définition de la continuité d'une fonction vectorielle en un point
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
:
f
est continue en
a
si et seulement si toutes les fonctions coordonnées de
f
sont continues en
a
i.e.
f
est continue en
a
⇔
{
lim
t→a
t∈I
x ( t ) =x ( a )
lim
t→a
t∈I
y ( t ) =y ( a )
lim
t→a
t∈I
z ( t ) =z ( a )
Rappel : la fonction
x:I →ℝ
est continue en
a∈I
⇔
∀ ε>0
,
δε>0
tel que
t∈I
∣ t−a ∣ <δε
}
⇒ ∣ x ( t ) −x ( a ) ∣ <ε
Exemple : soit
I= [ 0;1 ]
et
f ( t ) =
(
−3t2+2t+1
2t−t2
)
f
est continue en
0 ,5
car...
Caractérisation de la continuité en un point
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
.
f
est continue en
a
⇔
lim
t→a
∥ f ( t ) −f ( a ) ∥ =0
Démonstration : en utilisant la norme euclidienne canonique de
ℝ2
ou
ℝ3
on a :
∥ f ( t ) −f ( a ) ∥ =
√
( x ( t ) −x ( a ) )
2+
( y ( t ) −y ( a ) )
2+
( z ( t ) −z ( a ) )
2
Ainsi :
lim
t→a
∥ f ( t ) −f ( a ) ∥ =0
⇔
{
lim
t→a
t∈I
x ( t ) =x ( a )
lim
t→a
t∈I
y ( t ) =y ( a )
lim
t→a
t∈I
z ( t ) =z ( a )
□
Exemple de code python utilisant le module sympy pour calculer une limite :
1
2
3
4
5
6
7
from sympy import *
t = symbols('t')
print(limit(floor(t),t,0))
print(limit(floor(-t),t,0))
print(limit(t*floor(t),t,0))
print(limit((-t)*floor(-t),t,0))
Les commandes des lignes 4 et 5 font apparaître une faille de la fonction limit() du module sympy qui semble
n'envisager qu'une limite à droite de 0.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées 2/20 pycreach.free.fr - TSI2

Continuité et développement limité
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
.
f
est continue en
a
si et seulement si chaque fonction coordonnée de
f
admet un développement limité à l'ordre 0
en
a
i.e.
f
est continue en
a
⇔
{
x ( a+h ) =
h→0x
( a ) +o ( 1 )
y ( a+h ) =
h→0y
( a ) +o ( 1 )
z
(
a+h
)
=
h→0z
(
a
)
+o
(
1
)
Démonstration :
x ( a+h ) =
h→0x
( a ) +o ( 1 )
⇔
x ( a+h ) −x ( a ) =
h→0o
( 1 )
⇔
lim
h→0
x ( a+h ) −x ( a ) =0
⇔
lim
h→0
x ( a+h ) =x ( a )
□
Exemple de code python utilisant le module sympy pour calculer un développement limité à l'ordre 0 en 0 :
1
2
3
4
5
6
7
from sympy import *
t = symbols('t')
print(series(floor(t),t,0,1))
print(series(floor(-t),t,0,1))
print(series(t*floor(t),t,0,1))
print(series((-t)*floor(-t),t,0,1))
Ici le dernier argument de la fonction series() impose le reste du développement limité en
O
(
t1
)
ce qui est bien un
o ( 1 )
au voisinage de 0. Comme précédemment les développements limités semblent n'être envisagés qu'à droite de 0.
La syntaxe générale est : series(« expression », « variable », 0, « ordre du O() »)
« expression ».series(« variable », 0, « ordre du O() »)
Définition de la continuité d'une fonction vectorielle à gauche ou à droite d'un réel
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
.
f
est continue à gauche de
a
si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont continues à gauche de
a
i.e.
f
est continue à gauche de
a
⇔
{
lim
t→a
t∈Iet t⩽a
x ( t ) =x ( a )
lim
t→a
t∈Iet t⩽a
y ( t ) =y ( a )
lim
t→a
t∈Iet t⩽a
z ( t ) =z ( a )
De façon analogue, on définit la continuité à droite de
a
, pour
t⩾a
.
Rappel : la fonction
x:I →ℝ
est continue à gauche de
a∈I
⇔
∀ ε>0
,
δε>0
tel que
t∈I
0⩽t−a<δε
}
⇒ ∣ x ( t ) −x ( a ) ∣ <ε
Exemple : la fonction
x:ℝ → ℤ
t→
⌊
t
⌋
est continue à droite de 0 mais pas à gauche de 0.
En revanche, pour la fonction
y:ℝ → ℝ
t→t
⌊
t
⌋
, on a
lim
t→0
t<0
y ( t ) =…
Et
lim
t→0
t>0
y ( t ) =…
Lien entre continuité en un point et continuité à gauche et à droite de ce point
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
.
►Si
a
est la borne inférieure de I alors :
f
est continue en
a
si et seulement si
f
est continue à droite de
a
.
►Si
a
est la borne supérieure de I alors :
f
est continue en
a
si et seulement si
f
est continue à gauche de
a
.
►Si
a
n'est pas une borne de I alors :
f
est continue en
a
si et seulement si
f
est continue à gauche et à droite de
a
.
Démonstration : découle de la définition d'une limite.
Pour trois réels
a<b<c
, si
f
est continue sur
[ a;b [
et sur
[ b;c ]
alors
f
n'est pas nécessairement continue sur
[ a;c ]
.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées 3/20 pycreach.free.fr - TSI2

Définition de la continuité d'une fonction vectorielle sur un intervalle
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
.
f
est continue sur I si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont continues sur I
i.e.
f
est continue sur I si et seulement si
∀a∈I
, toutes les fonctions coordonnées sont continues en
a
Rappel sur la continuité d'une fonction composée (applicable à chaque fonction coordonnée)
Soient I et J deux intervalles,
f: I→J
et
g: J→ℝ
deux fonctions.
Si
f
est continue sur I et
g
est continue sur J alors
g∘f
est continue sur I.
Exemple :
x→
√
x2+x3
sur
[ −1 ; 0 ]
est ...
Prolongement par continuité en un point
Soit I un intervalle de
ℝ
et
a
un réel appartenant à I ou étant une borne de I et
f
une fonction vectorielle continue
sur
I∖ { a }
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
.
f
est prolongeable par continuité en
a
si et seulement si
toutes les fonctions coordonnées de
f
admettent des limites finies en
a
.
Si
f
est prolongeable par continuité en
a
alors son prolongement est l'unique fonction
̃
f
continue sur
I∪ { a }
définie par :
{
̃
f ( t ) =f ( t ) si t∈I
̃
f
(
a
)
=
(
lim
t→a
t∈I
x ( t )
lim
t→a
t∈I
y ( t )
lim
t→a
t∈I
z ( t )
)
Si
a
est la borne inférieure de I alors
̃
f
est continue à droite de
a
.
Si
a
n'est pas une borne de I alors
̃
f
est continue en
a
.
Si
a
est la borne supérieure de I alors
̃
f
est continue à gauche de
a
.
Exemple : soit
x: ] 0;1 [ ∪ ] 1;+∞ [ → ℝ
t→ln
( t )
1−t
…
Une fonction à valeurs réelles définie sur la réunion de deux intervalles I et J, prolongeable par continuité sur I et sur J
n'est pas nécessairement prolongeable par continuité sur
I∪J
. Exemple : Soit
x: ] −∞ ; 0 [ ∪ ] 0;+∞ [ → ℝ
t→
∣ t ∣
t
…
Définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle en un point
Soit
f
une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de
ℝ
, à valeurs dans
ℝ2
ou
ℝ3
, et un réel
a∈I
.
f
est dérivable en
a
si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont dérivables en
a
i.e.
f
est dérivable en
a
⇔
{
lim
t→a
t∈I
x ( t ) −x ( a )
t−a existe et est finie
lim
t→a
t∈I
y ( t ) −y ( a )
t−a existe et est finie
lim
t→a
t∈I
z ( t ) −z ( a )
t−a existe et est finie
Si
f
est dérivable en
a∈I
alors le vecteur dérivé de
f
en
a
est
f '
(
a
)
≝
(
lim
t→a
t∈I
x ( t ) −x ( a )
t−a
lim
t→a
t∈I
y ( t ) −y ( a )
t−a
lim
t→a
t∈I
z ( t ) −z ( a )
t−a
)
.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées 4/20 pycreach.free.fr - TSI2

Remarque :
lim
t→a
t∈I
x ( t ) −x ( a )
t−a=lim h→0
a+h∈I
x ( a+h ) −x ( a )
h
En utilisant la structure d'espace vectoriel de
ℝ2
ou
ℝ3
, on a :
∀∈I∖ { a }
,
(
x ( t ) −x ( a )
t−a
y
(
t
)
−y
(
a
)
t−a
z ( t ) −z ( a )
t−a
)
=1
t−a
(
x
(
t
)
−x
(
a
)
y
(
t
)
−y
(
a
)
z
(
t
)
−z
(
a
)
)
=1
t−a
( f ( t ) −f ( a ) )
Exemple : dans
ℝ2
, isomorphe au plan affine, considérons
f
définie sur l'intervalle
[ 0;1 ]
par
f
(
t
)
=
(
−3t2+2t+1
2t−t2
)
et
a=0,5
alors l'ensemble C des points de coordonnée
f ( t )
lorsque
t
décrit l'intervalle
[ 0 ;1 ]
est une courbe
paramétrée.
D'un point de vue cinématique, on considère un point M mobile. Pour
t0∈I
,
f
(
t0
)
représente alors les coordonnées du
vecteur position
⃗
OM
(
t0
)
,
f '
(
t0
)
représente les coordonnées du vecteur vitesse
d
⃗
OM
d t
(
t0
)
mesurant la variation
instantanée du vecteur position au temps
t=t0
.
t=0, 4
t=0, 6
t=0, 51
Lien entre les représentations graphiques des fonctions coordonnées et la courbe paramétrée par
f
.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées 5/20 pycreach.free.fr - TSI2