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Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
1. Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 ...................................p.1
Continuité et dérivabilité en un point ou sur un intervalle. Interprétation géométrique et cinématique du vecteur dérivé.
Dérivée de la somme de deux fonctions vectorielles. Dérivée du produit d'une fonction à valeurs réelles par une fonction à
valeurs vectorielles. Dérivation du produit scalaire, d'une norme, d'un déterminant, d'un déterminant ou d'un produit
vectoriel.
Applications de classe Ck sur un intervalle. Structure de Ck ( I ;ℝ n ) .
Développement limité et formule de Taylor-Young pour une fonction de classe Ck .
2. Courbes paramétrées.............................................................................................p.12
Rappels sur les représentations graphiques de fonctions réelles d'une variable réelle.
Courbe paramétrée. Tangente en un point.
Caractérisation de la tangente utilisant le premier vecteur dérivé non nul.
Position relative locale de la courbe par rapport à sa tangente en un point régulier.
Longueur d'un arc paramétré de classe C1 .
--------------
1. Fonction d'une variable réelle à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle d'intérieur non vide noté I de ℝ et à valeurs dans
ℝ2 ou ℝ3 . On assimilera les éléments de ℝ2 ou ℝ3 à des vecteurs colonnes de M 2,1 ( ℝ ) ou M 3,1 ( ℝ ) et on notera les
fonctions coordonnées x , y (et éventuellement z ), ainsi on considère f telle que :
f: I →
ℝ3
f: I →
ℝ2
x (t )
ou
t → x (t )
t → y (t )
y (t )
z (t )
La plupart des résultats suivants sont énoncés pour une fonction à valeur dans ℝ3 , il suffit de supprimer la troisième
composante pour traiter le cas d'une fonction à valeur dans ℝ2 .
2
Exemple : soit I=[ 0 ;1 ] et f ( t ) = −3t +2 t2 +1 .
2 t−t
Pour obtenir des valeurs de la fonction f :
Pour tracer des points dont les coordonnées sont les valeurs
1
def f(t):
de la fonction f :
( )
( )
(
2
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)
return (-3*t**2+2*t+1,2*t-t**2)
import numpy as np
for t in np.linspace(0,1,11):
print('f('+str(t)+')='+str(f(t)))
f(0.0)=(1.0, 0.0)
f(0.1)=(1.1699999999999999, 0.19)
f(0.2)=(1.28, 0.35999999999999999)
f(0.3)=(1.3300000000000001, 0.51000000000000001)
f(0.4)=(1.3199999999999998, 0.64000000000000001)
f(0.5)=(1.25, 0.75)
f(0.6)=(1.1199999999999999, 0.84000000000000008)
f(0.7)=(0.92999999999999994, 0.91000000000000003)
f(0.8)=(0.67999999999999972, 0.95999999999999996)
f(0.9)=(0.36999999999999988, 0.98999999999999999)
f(1.0)=(0.0, 1.0)
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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def f(t):
return (-3*t**2+2*t+1,2*t-t**2)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
for t in np.linspace(0,1,11):
plt.plot(f(t)[0],f(t)[1],marker='+')
plt.text(f(t)[0],f(t)[1],'f('+str(t)+')')
plt.show()
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Définition de la continuité d'une fonction vectorielle en un point
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I :
f est continue en a si et seulement si toutes les fonctions coordonnées de f sont continues en a
lim x ( t ) =x ( a )
i.e. f est continue en a ⇔
{
t →a
t ∈I
lim y ( t ) =y ( a )
t →a
t ∈I
lim z ( t )=z ( a )
t →a
t ∈I
Rappel : la fonction x :I →ℝ est continue en a ∈I ⇔ ∀ ε>0 , δε >0 tel que
2
(
t∈I ⇒ ∣x ( t )− x ( a )∣< ε
∣t−a∣<δ ε
}
)
Exemple : soit I=[ 0 ;1 ] et f ( t ) = −3t +2 t2 +1
2 t−t
f est continue en 0 ,5 car...
Caractérisation de la continuité en un point
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est continue en a ⇔ lim ∥ f ( t )− f ( a )∥=0
t →a
Démonstration : en utilisant la norme euclidienne canonique de ℝ2 ou ℝ3 on a :
2
2
2
∥ f ( t )− f ( a )∥=√ ( x ( t )−x ( a ) ) +( y ( t )−y ( a ) ) + ( z ( t )−z ( a ) )
lim x ( t ) =x ( a )
Ainsi : lim ∥ f ( t )− f ( a )∥=0 ⇔
t →a
{
t →a
t ∈I
□
lim y ( t ) =y ( a )
t →a
t ∈I
lim z ( t )=z ( a )
t →a
t ∈I
Exemple de code python utilisant le module sympy pour calculer une limite :
1
2
3
4
5
6
7
from sympy import *
t = symbols('t')
print(limit(floor(t),t,0))
print(limit(floor(-t),t,0))
print(limit(t*floor(t),t,0))
print(limit((-t)*floor(-t),t,0))
Les commandes des lignes 4 et 5 font apparaître une faille de la fonction limit() du module sympy qui semble
n'envisager qu'une limite à droite de 0.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Continuité et développement limité
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est continue en a si et seulement si chaque fonction coordonnée de f admet un développement limité à l'ordre 0
en a
x ( a +h ) h→
=0 x ( a ) +o ( 1 )
i.e. f est continue en a ⇔ y ( a +h ) = y ( a )+o ( 1 )
h→ 0
z ( a+h ) h→0
= z ( a ) +o ( 1 )
{
=0 x ( a ) +o ( 1 ) ⇔ x ( a +h )−x ( a ) h→
=0 o ( 1 ) ⇔ lim x ( a +h )−x ( a )=0 ⇔ lim x ( a +h ) =x ( a ) □
Démonstration : x ( a +h ) h→
h→0
h→0
Exemple de code python utilisant le module sympy pour calculer un développement limité à l'ordre 0 en 0 :
from sympy import *
t = symbols('t')
1
2
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6
7
print(series(floor(t),t,0,1))
print(series(floor(-t),t,0,1))
print(series(t*floor(t),t,0,1))
print(series((-t)*floor(-t),t,0,1))
Ici le dernier argument de la fonction series() impose le reste du développement limité en O ( t 1 ) ce qui est bien un
o ( 1 ) au voisinage de 0. Comme précédemment les développements limités semblent n'être envisagés qu'à droite de 0.
La syntaxe générale est :
series(« expression », « variable », 0, « ordre du O() »)
« expression ».series(« variable », 0, « ordre du O() »)
Définition de la continuité d'une fonction vectorielle à gauche ou à droite d'un réel
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est continue à gauche de a si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont continues à gauche de a
lim x ( t )=x ( a )
i.e. f est continue à gauche de a ⇔
{
t →a
t ∈I et t⩽a
lim y ( t ) = y ( a )
t →a
t ∈I et t⩽a
lim z ( t )=z ( a )
t →a
t ∈I et t⩽a
De façon analogue, on définit la continuité à droite de a , pour t⩾a .
Rappel : la fonction x :I →ℝ est continue à gauche de a ∈I ⇔ ∀ ε>0 , δε >0 tel que
x: ℝ → ℤ
est continue à droite de 0 mais pas à gauche de 0.
t → ⌊t ⌋
y: ℝ → ℝ
En revanche, pour la fonction
, on a lim y ( t )=…
t → t ⌊t ⌋
t →0
t ∈I ⇒ ∣x ( t )−x ( a )∣<ε
0⩽t−a<δε
}
Exemple : la fonction
t <0
Et lim y ( t )=…
t →0
t >0
Lien entre continuité en un point et continuité à gauche et à droite de ce point
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
►Si a est la borne inférieure de I alors :
f est continue en a si et seulement si f est continue à droite de a .
►Si a est la borne supérieure de I alors :
f est continue en a si et seulement si f est continue à gauche de a .
►Si a n'est pas une borne de I alors :
f est continue en a si et seulement si f est continue à gauche et à droite de a .
Démonstration : découle de la définition d'une limite.
Pour trois réels a <b <c , si f est continue sur [ a ; b [ et sur [ b ; c ] alors f n'est pas nécessairement continue sur
[a; c] .
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Définition de la continuité d'une fonction vectorielle sur un intervalle
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
f est continue sur I si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont continues sur I
i.e. f est continue sur I si et seulement si ∀ a ∈I , toutes les fonctions coordonnées sont continues en a
Rappel sur la continuité d'une fonction composée (applicable à chaque fonction coordonnée)
Soient I et J deux intervalles, f : I→ J et g : J→ ℝ deux fonctions.
Si f est continue sur I et g est continue sur J alors g ∘ f est continue sur I.
2
3
Exemple : x → √ x + x sur [ −1 ; 0 ] est ...
Prolongement par continuité en un point
Soit I un intervalle de ℝ et a un réel appartenant à I ou étant une borne de I et f une fonction vectorielle continue
sur I ∖ { a } , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
f est prolongeable par continuité en a si et seulement si
toutes les fonctions coordonnées de f admettent des limites finies en a .
Si f est prolongeable par continuité en a
̃f ( t )= f ( t ) si t ∈I
lim x ( t )
alors son prolongement est l'unique fonction ̃f continue sur I∪ {a } définie par :
{()
t →a
t ∈I
̃f ( a )= lim y ( t )
t →a
t ∈I
lim z ( t )
Si a est la borne inférieure de I alors
Si a n'est pas une borne de I alors ̃f
Si a est la borne supérieure de I alors
x : ] 0 ;1 [∪] 1;+∞[
Exemple : soit
t
→
→
t →a
t ∈I
̃f est continue à droite de a .
est continue en a .
̃f est continue à gauche de a .
ℝ
ln ( t ) …
1−t
Une fonction à valeurs réelles définie sur la réunion de deux intervalles I et J, prolongeable par continuité sur I et sur J
x : ]−∞ ; 0 [∪ ]0 ;+∞ [ → ℝ
n'est pas nécessairement prolongeable par continuité sur I∪J . Exemple : Soit
∣t∣ …
t
→
t
Définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle en un point
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est dérivable en a si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont dérivables en a
x ( t )−x ( a )
lim
existe et est finie
t →a
t−a
i.e. f est dérivable en a ⇔
{
t ∈I
lim
y ( t )− y ( a )
existe et est finie
t−a
lim
z ( t )−z ( a )
existe et est finie
t−a
t →a
t ∈I
t →a
t ∈I
x ( t )−x ( a )
t−a
( )
lim
t →a
t∈I
Si f est dérivable en a ∈I alors le vecteur dérivé de f en a est f ' ( a )≝ lim
t→ a
t ∈I
lim
t →a
t∈I
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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y ( t )− y ( a )
.
t−a
z ( t )−z ( a )
t−a
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Remarque : lim
t →a
t∈I
x ( t )−x ( a )
x ( a +h )−x ( a )
= lim
t−a
h→ 0
h
a+ h∈I
En utilisant la structure d'espace vectoriel de ℝ2 ou ℝ3 , on a :
x ( t )−x ( a )
t−a
1 x ( t )−x ( a )
1
( t )− y ( a )
y
=
( f ( t )− f ( a ))
∀∈I∖ { a } ,
y ( t )− y ( a ) =
t−a
t−a
t−a
z ( t )−z ( a )
z ( t )−z ( a )
t−a
( )
(
)
2
1
Exemple : dans ℝ2 , isomorphe au plan affine, considérons f définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] par f ( t )= −3 t + 2 t+
2
2 t −t
et a=0,5 alors l'ensemble C des points de coordonnée f ( t ) lorsque t décrit l'intervalle [ 0 ;1 ] est une courbe
paramétrée.
D'un point de vue cinématique, on considère un point M mobile. Pour t 0 ∈I , f ( t 0 ) représente alors les coordonnées du
d⃗
OM
OM( t 0 ) , f ' (t 0 ) représente les coordonnées du vecteur vitesse
vecteur position ⃗
( t 0 ) mesurant la variation
dt
instantanée du vecteur position au temps t=t 0 .
(
t=0 , 4
t=0 , 6
)
t=0 , 51
Lien entre les représentations graphiques des fonctions coordonnées et la courbe paramétrée par f .
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Dérivabilité et développement limité
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est dérivable en a si et seulement si chaque fonction coordonnée de f admet un développement limité à l'ordre 1
en a
x ( a + h ) h→
=0 x ( a ) +c 1×h+o ( h )
c1
f est dérivable en a et f ' ( a )= c2 ⇔ y ( a +h ) = y ( a )+ c2 ×h +o ( h )
h→ 0
c3
z ( a+h ) h→0
= z ( a ) +c 3 ×h +o ( h )
() {
o ( h)
Remarque : en utilisant la structure d'espace vectoriel de ℝ2 ou ℝ3 et en notant o ( h ) tout vecteur o ( h ) , on a :
o ( h)
f ( a +h ) h→
=0 f ( a ) +h f ' ( a ) +o ( h )
( )
=0 x ( a ) +c 1 ×h+o ( h ) ⇔ x ( a +h )−x ( a )−c 1 ×h h→0
= o ( h ) ⇔ lim
Démonstration : x ( a +h ) h→
h→0
x ( a +h )−x ( a )−c 1 ×h
=0
h
x ( a +h )−x ( a )
⇔ lim
=c1 ⇔ la fonction x est dérivable en a et x' ( a ) =c1 .
h→0
h
Exemple : soit x la fonction définie sur ] 0 ;∞ [ par :
ln ( t )
x (t )=
si t≠1
1−t
x ( 1 ) =−1
La fonction x est-elle dérivable en 1 ?
□
{
Exemple de code python utilisant le module sympy en
posant t=1+ h :
1
2
3
4
from sympy import *
t,h=symbols('t h')
x=ln(t)/(1-t)
pprint(x.subs(t,1+h).series(h,0,3))
Propriété de la continuité d'une fonction dérivable
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I ouvert de ℝ et à valeurs dans ℝm .
Si f est dérivable en un réel a ∈I alors f est continue en a .
Démonstration : si f admet un développement limité d'ordre 1 en a alors f admet un développement limité d'ordre 0
en a .
□
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle à gauche ou à droite d'un réel
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I .
f est dérivable à gauche de a si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont dérivables à gauche de a
x ( t )−x ( a )
lim
existe et est finie
t →a
t−a
{
t∈I et t <a
i.e. f est dérivable à gauche de a ⇔
lim
y ( t )−y ( a )
existe et est finie
t−a
lim
z ( t )−z ( a )
existe et est finie
t−a
t→a
t ∈I et t<a
t→ a
t∈I et t <a
lim
x ( t )−x ( a )
t−a
lim
y ( t )−y ( a )
t−a
( )
t →a
t∈I et t <a
Si f est dérivable à gauche de a ∈I alors le vecteur dérivé de f à gauche a est f g ' ( a )≝
t →a
t ∈I et t<a
lim
t→ a
t∈I et t <a
z ( t )−z ( a )
t−a
On définit d'une façon analogue la dérivabilité à droite de a et le vecteur dérivé à droite de a .
Remarque :
lim
t→ a
t∈I et t<a
x ( t )−x ( a )
=
t−a
lim
h→0
a +h∈I et h<0
x ( a +h )−x ( a )
h
Remarque : une fonction peut être dérivable à gauche et à droite de a sans être dérivable en a .
x: ℝ → ℝ
Exemple : La fonction
...
t → ∣t∣
Lien entre les vecteurs dérivés à gauche et à droite
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert de ℝ et à valeurs dans ℝm et un réel a ∈I .
La fonction vectorielle f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite du réel a
f ' g ( a )= f ' d ( a )
Si la fonction f est dérivable en a alors f ' ( a ) = f ' d ( a ) = f ' g ( a )
{
Démonstration : découle directement des définitions de limite à gauche et à droite d'un réel a .
En général, f ' g ( a )≠lim f ' ( x ) et f ' d ( a )≠lim f ' ( x )
x →a
x <a
x→a
x >a
1
2
Exemple : soit x la fonction définie sur ℝ par x ( t ) =t sin t
x ( 0 )=0
{
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
( ) si t≠0
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Soit h >0 et A h ( h , x ( h ) ) , x' d ( 0 ) est le coefficient
Soit t >0 , x' ( t ) est le coefficient directeur de la tangente
directeur de la sécante (OA h ) limite quand h tend vers 0. à la la courbe représentative de f au point d'abscisse t .
lim x ' ( t )=…
x' d ( 0 ) =…
t →0
t >0
Le théorème de la limite de la dérivée assure que :
► si f ' admet une limite à gauche de a (finie ou +∞ ou - ∞ ) alors lim
x →a
x< a
f ( x )− f ( a )
=lim f ' ( x )
x−a
x →a
x <a
f ( x )− f ( a )
=lim f ' ( x )
► si f ' admet une limite à droite de a (finie ou +∞ ou - ∞ ) alors lim
x →a
x−a
x →a
x> a
x >a
Théorème de la limite de la dérivée
Soit f une fonction vectorielle continue sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 , et un réel a ∈I tel que
f soit dérivable sur I ∖ { a }
S'il existe l ∈ℝ 2 (ou ℝ3 ) tel que lim f ' ( x ) =l alors f est dérivable en a et f ' ( a )=l
x →a
x ∈I ∖ {a}
Démonstration : il suffit d'appliquer à chaque fonction coordonnée le théorème de la limite de la dérivée.
Rappel : Soit t ∈I , t < a , le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction x continue sur l'intervalle [ t ; a ] et
dérivable sur l'intervalle ] t ; a [ assure que , ∃ct ∈ ] t ; a [ tel que x ( t )−x ( a ) =x' ( c t ) ( t−a )
x ( t )−x ( a )
= x' ( c t ) or lim c t =a par valeurs inférieures à a . Ainsi, si la fonction x' admet une limite à gauche
Ainsi
t →a
t−a
t <a
de a alors par composition des limites on a : lim
t →a
t <a
x ( t )−x ( a )
=lim x' ( c ) .
t−a
c→a
c<a
De même pour t ∈I tel que t > a en appliquant le théorème des accroissements finis à a fonction x sur l'intervalle
[a; t] .
□
Définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle sur un intervalle
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
f est dérivable sur I si et seulement si toutes les fonctions coordonnées de f sont dérivables sur I.
f ': I →
ℝ3
x' ( t )
Si f est dérivable sur I alors sa fonction dérivée notée f ' est définie par :
t → y' ( t )
z' ( t )
( )
Remarque : sur un intervalle fermé borné, on étudie la dérivabilité à droite de la borne inférieure de l'intervalle et à
gauche de la borne supérieure de l'intervalle.
Exemple de code python utilisant le module sympy pour le calcul d'une fonction dérivée :
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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from sympy import *
t = symbols('t')
pprint(diff(ln(t)/(1-t),t))
pprint(limit(diff(ln(t)/(1-t),t),t,1))
Comme dans beaucoup de logiciels « log » signifie logarithme népérien ln et pas le logarithme décimal.
Rappel sur la dérivabilité d'une fonction composée (applicable à chaque fonction coordonnée)
Soient I et J deux intervalles, f : I→ J et g : J→ ℝ deux fonctions.
Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J alors g ∘ f est dérivable sur I et ( g ∘ f )' = f ' ×( g ' ∘ f )
i.e. ∀ x ∈I , ( g ∘ f )' ( x )= f ' ( x ) ×g' ( f ( x ) )
2
3
Exemple : x → √ x + x sur ] −1 ; 0 [ ...
Cette fonction est-elle dérivable sur ]−1 ; 0 ] ? sur [ −1 ; 0 [ ?
Opérations sur les fonctions dérivées
1) Soient f et g deux fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
f +g: I →
ℝ3
Somme : la fonction
est dérivable sur I et ∀ t ∈I , ( f + g )' ( t ) = f ' ( t )+ g' ( t ) ∈ ℝ3
t → f (t )+ g ( t )
f⋅g I →
ℝ
Produit scalaire :
est dérivable sur I et ∀ t ∈I , ( f⋅g )' ( t )= f ' ( t )⋅g ( t ) + f ( t )⋅g' ( t ) ∈ℝ
t → f ( t )⋅g ( t )
2) Soient λ une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ (on parle de fonction numérique ou
scalaire) et f une fonction vectorielle dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
λ f: I →
ℝ3
Produit :
est dérivable sur I et ∀ t ∈I , ( λ f )' ( t ) =λ ' ( t ) f ( t ) + λ ( t ) f ' ( t ) ∈ ℝ3
t → λ (t ) f (t )
3) Soit f une fonction vectorielle dérivable sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
∥ f ∥ : I → ] 0 ;+∞ [
Norme : si ∀ t ∈I , f ( t )≠0ℝ alors la fonction
est dérivable sur I et
t → ∥ f ( t )∥
f ' ( t )⋅ f ( t )
∀ t ∈I , (∥ f ∥) ' ( t )=
∈ℝ
∥ f ( t )∥
3
x (t )
X( t )
Démonstration : soit f ( t ) = y ( t ) et g ( t )= Y ( t )
z (t )
Z (t )
x ( t )+ X ( t )
∀ t ∈I , ( f + g ) ( t )= y ( t ) +Y ( t ) donc...
z ( t ) +Z ( t )
( )
( )
( )
∀ t ∈I , ( f⋅g )( t ) =x ( t )×X ( t ) + y ( t )×Y ( t ) + z ( t )×Z ( t ) donc...
∀ t ∈I , ∥ f ( t )∥=√ f ( t )⋅ f ( t ) donc ..
.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
□
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Dérivées d'un déterminant ou d'un produit vectoriel
1) Soient f et g deux fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 .
det ( f ; g ) : I →
ℝ
Déterminant : la fonction
est dérivable sur I et
t → det ( f ( t ) ; g ( t ) )
∀ t ∈I , ( det ( f ; g ) )' ( t )=det ( f ' ( t ) ; g ( t ) ) +det ( f ( t ) ; g ' ( t ) ) ∈ℝ
2) Soient f et g deux fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ3 .
f ∧g : I →
ℝ3
Produit vectoriel :
est dérivable sur I et
t → f ( t )∧g ( t )
∀ t ∈I , ( f ∧g )' ( t )= f ' ( t )∧g ( t ) + f ( t )∧g ' ( t ) ∈ℝ 3
3) Soient f , g et h trois fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ3 .
det ( f ; g ; h ) : I →
ℝ
Déterminant : la fonction
est dérivable sur I et
t → det ( f ( t ) ; g ( t ) ; h ( t ) )
∀ t ∈I , ( det ( f ; g ; h ))' ( t ) =det ( f ' ( t ) ; g ( t ) ; h ( t )) +det ( f ( t ) , g ' ( t ) ; h ( t )) +det ( f ( t ) ; g ( t ) ; h' ( t )) ∈ℝ
Démonstration :
1) ∀ t ∈I , det ( f ( t ) ; g ( t ))= x ( t ) ×Y ( t )−y ( t )×X ( t ) donc …
y ( t )×Z ( t )− z ( t )×Y ( t )
2) ∀ t ∈I , ( f ∧g )( t )= z ( t )×X ( t )− x ( t )×Z ( t )
x ( t )×Y ( t )− y ( t )×X ( t )
(
)
donc..
3) ∀ t ∈I , det ( f ( t ) ; g ( t ) ; h ( t ) ) =( f ( t )∧g ( t ) )⋅h ( t ) donc …
□
Expression de la dérivée d'ordre supérieur
Soit f une fonction vectorielle définie sur un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 et k ∈ℕ .
f est de classe Ck sur I si et seulement si touts ses fonctions coordonnées sont de classe Ck sur I
x( k ) ( t )
(k )
k
Si f est de classe C sur I alors ∀ t ∈I , f ( t )= y (k ) ( t )
z ( k)(t )
( )
On note Ck ( I ;ℝ 2 ) ou Ck ( I ;ℝ 3 ) l'ensemble des fonctions de classe Ck sur I et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
Remarques : si ∀k ∈ℕ , f ∈C k ( I ; ℝm ) on note f ∈C ∞ ( I ;ℝm )
C∞ ( I; ℝm )⊂…⊂C2 ( I ;ℝ m ) ⊂C1 ( I ; ℝm ) ⊂C0 ( I ;ℝ m )
Exemple de code python utilisant la bibliothèque sympy pour le calcul de fonctions dérivées d'ordre 2 ou 3 :
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from sympy import *
t = symbols('t')
pprint(diff(ln(t)/(1-t),t,2))
pprint(diff(ln(t)/(1-t),t,3))
Remarque : la formule de Leibniz permet de calculer ce type de dérivée d'ordre n car ...
Structure de l'ensemble des fonctions de classe C k ( I ; ℝm )
Si λ ∈ℝ et f ∈C k ( I ; ℝm ) , alors λ f ∈ C k ( I ; ℝm )
Si f ∈C k ( I ; ℝm ) et g ∈C k ( I ; ℝm ) alors f + g ∈C k ( I ; ℝm )
C k ( I ; ℝm ) est donc un espace vectoriel (mais il n'existe pas de base finie de cet espace vectoriel)
Démonstration : Ck ( I; ℝ ) est un espace vectoriel donc par stabilité par combinaison linéaire sur chaque fonction
coordonnée le résultat est démontré.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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□
pycreach.free.fr - TSI2
Définition du développement limité pour une fonction vectorielle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 et un réel a ∈I .
La fonction f admet un développement limité d'ordre n∈ℕ au voisinage de a si et seulement s'il existe n +1
x0
x1
xn
vecteurs y0 ∈ℝ3 , y 1 ∈ℝ3 ,..., y n ∈ℝ3 et une fonction vectorielle R n ∈F ( I ,ℝ 3 ) tels que
z0
z1
zn
x0
x1
xn
∥R n ( t−a )∥
n
2
3
(
)
(
)
=0
pour tout réel t ∈I ,
f ( t ) t=
+
t−a
+…
+
t−a
y
y
y n + R n ( t−a ) ∈ℝ ou ℝ avec lim
→a
0
1
t →a
( t−a )n
z0
z1
zn
() ()
()
() ()
()
n
n
L'égalité de réels ∥R n ( t−a )∥t=
o (( t−a ) ) est aussi notée R n ( t−a ) t→
=a o ( ( t−a ) ) dans ℝm .
→a
Exemple : pour f ∈F ( I; ℝ2 ) , en notant ∀ t ∈I , f ( t ) = x ( t ) , si les fonctions coordonnées x et y admettent des
y (t )
2
2
x ( t ) t=
x + x1 ( t−a )+ x 2 ( t−a ) +o (( t−a ) )∈ℝ
→a 0
développements limités à l'ordre 2 au voisinage de a :
2
2
y ( t ) t→
=a y0 + y1 ( t−a )+ y 2 ( t−a ) +o (( t−a ) )∈ℝ
x 0 + ( t−a ) x1 +( t−a )2 x2 +o ( ( t−a )2 )
Alors f ( t ) t=
→a
y0
y1
y2
est le développement limité de la fonction vectorielle f au voisinage de a .
( )
{
()
()
()
Formule de Taylor-Young pour les fonctions vectorielles
Soit I un intervalle réel, a ∈I et p∈ℕ .
Si f ∈C p ( I ; ℝm ) alors
( t−a )2
( t−a )3 ( 3)
( t−a ) p ( p )
p
f '' ( a ) +
f ( a ) +… +
f ( a ) +o ( ( t−a ) )
2
3!
p!
p
( t−a ) k (k )
p
c'est-à-dire : f ( t ) t=
f ( a ) +o ( ( t−a ) ) ∈ ℝm
∑
→a
k!
k =0
∀t ∈I , f ( t ) t=
f ( a ) + ( t−a ) f ' ( a ) +
→a
Démonstration : application de la formule de Taylor-Young à chaque fonction coordonnée appartenant à C p ( I ; ℝ ) .
□
Une fonction peut admettre un développement limité à l'ordre 2 en a sans être deux fois dérivable en a .
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Exemple : x ( t ) =t sin t si t≠0
x ( 0 )=0
…
{
()
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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pycreach.free.fr - TSI2
II. Courbes paramétrées
k) .
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; ⃗i ; ⃗j ) et l'espace d'un repère orthonormal (O ; ⃗i ; ⃗j ; ⃗
Rappels sur la représentation graphique d'une fonction réelle d'une variable réelle
Soit f définie sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ .
La courbe représentative de f dans le plan P muni du repère orthonormal ( O ; ⃗i ; ⃗j ) noté C f est l'ensemble des
points du plan dont les ordonnées sont les images des abscisses par la fonction f : C f ≝{ M ( x ; f ( x ) ) ∈P∣x ∈I } .
x0 ∈I
Soit deux réels x 0 et h≠0 tels que
et les points A ( x 0 ; f ( x 0 )) et Bh ( x 0 +h ; f ( x 0 +h )) . La droite ( ABh )
x0 +h∈I
est une sécante à la courbe C f au point A.
{
La tangente à la courbe C f au point A est la droite, si elle existe, limite des sécantes ( ABh ) lorsque h tend vers 0.
Si f est dérivable en x 0 alors la tangente en A ( x 0 ; f ( x0 )) a pour équation : y= f ( x0 ) + ( x−x 0 ) f ' ( x0 )
Remarque : soit k >1 et f ∈Ck ( I, ℝ ) telle que f (k ) ( a )≠0 alors la position locale de la courbe C f par rapport à sa
( x−a )k ( k )
k
f ( a ) +o (( x−a ) )
k
!
⏟
tangente est donnée par le développement limité : f ( x ) x=
f ( a ) + ( x−a ) f ' ( a ) +
→a ⏟
meilleure approximation affine
de f ( x) au voisinage de a
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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contrôle la position locale de la
courbe par rapport à sa tangente
pycreach.free.fr - TSI2
Il suffit d'étudier le signe de
( x−a )k ( k )
f ( a ) pour conclure sur la position locale de la courbe par rapport à sa tangente au
k!
voisinage de a .
Exemple de code python utilisant les modules matplotlib et numpy pour le tracé de la courbe représentative d'une fonction
à valeurs réelles.
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import numpy as np
def f(x):
if x==0 :
return 1
else :
return(np.sin(x)/x)
import matplotlib.pyplot as plt
X=np.linspace(-6*np.pi,6*np.pi,1000)
Y=[f(x) for x in X]
plt.plot(X,Y)
plt.show()
Remarque : pour agrémenter la représentation graphique en utilisant matplotlib.pyplot nommé plt
repère orthonormal : plt.axis('equal')
fixer les bornes du repère : plt.axis( [ x min , x max , y min , y max ] )
fixer le pas des graduations des axes : plt.xticks(liste de valeurs) et plt.yticks(liste de valeurs)
afficher une grille : plt.grid()
afficher le nom des axes : plt.xlabel(chaîne de caractères) et plt.ylabel(chaîne de caractères)
options de la fonctions plot : color='r' # pour la courbe en rouge
linestyle=' : ' # pour la courbe en pointillés
marker='+' # pour afficher une croix sur chaque point utilisé
Exemple de code python utilisant le module sympy pour le tracé de la courbe représentative d'une fonction à valeurs
réelles.
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from sympy import *
x = symbols('x')
plot(sin(x)/x,(x,-6*pi,6*pi))
Options :
xlim= ( x min , x max )
ylim= ( y min , y max)
title=chaîne de caractères
xlabel=chaîne de caractères
ylabel =chaîne de caractères
nb_of_points = entier
Exemple d'utilisation de Scilab (SciNotes) pour le tracé d'un courbe paramétrée dans le plan.
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clf();
function y=f(x)
if x==0
y=1;
else y=sin(x)/x;
end
endfunction
X=linspace(-6*%pi,6*%pi,1000);
Y=feval(X,f);
plot2d(X,Y);
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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pycreach.free.fr - TSI2
Définition d'une courbe paramétrée
soit f définie sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 ou ℝ3 .
i ;⃗
j ;⃗
k ) l'ensemble Γ des points de l'espace dont les coordonnées
L'espace affine étant muni d'un repère (O ; ⃗
appartiennent à l'ensemble f ( I ) est la courbe (ou l'arc) paramétrée par la fonction f :
Γ≝{ M ( x ( t ) ; y ( t ) ; z ( t ) ) ∈E∣t ∈I }
x =x ( t )
Le système y =y ( t ) pour t ∈I est une représentation paramétrique de Γ .
z=z ( t )
Pour tout réel t 0 ∈I , le point du plan ou de l'espace de coordonnées ( x ( t 0 ) ; y ( t 0 ) ; z ( t 0 )) est appelé point courant de
l'arc Γ de paramètre t 0 et est noté M (t 0 ) .
{
L'arc Γ est dit orienté par son paramétrage : lorsque le paramètre t décrit l'intervalle I, le point courant M ( t )
parcourt l'arc Γ dans un sens défini par les variations conjointes des fonctions t → x ( t ) , t → y ( t ) et t → z ( t ) .
Soit deux réels t 0 et h≠0 tels que t 0 ∈I
et les points A ( t 0 ) et Bh ( t 0 +h ) . La droite ( ABh ) est une sécante à la
t 0 +h∈I
courbe Γ au point A.
{
La tangente à la courbe Γ au point A est la droite, si elle existe, limite des sécantes ( ABh ) lorsque h tend vers 0.
f : [ 0 ; 4 π]
Exemple : Soit
t
→
→
ℝ3
cos ( t )
sin ( t )
t
4π
( )
et Γ la courbe de l'espace paramétrée par f .
Sécante à Γ passant par A (t 0 ) et B ( t 0 +h )
Tangente à Γ au point A (t 0 )
Exemple de code python utilisant les modules matplotlib et numpy pour le tracé d'une courbe paramétrée dans le plan.
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import numpy as np
T=np.linspace(0,2*np.pi,1000)
X=[np.cos(t) for t in T]
Y=[np.sin(2*t) for t in T]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
plt.show()
Pour ajouter quelques (ici 21) points courants :
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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import numpy as np
T=np.linspace(0,2*np.pi,1000)
X=[np.cos(t) for t in T]
Y=[np.sin(2*t) for t in T]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
U=np.linspace(0,2*np.pi,21)
for t in U:
plt.plot(np.cos(t),np.sin(2*t),marker='o')
plt.text(np.cos(t),np.sin(2*t),str(t))
plt.show()
Exemple de code python utilisant le module sympy pour le tracé d'une courbe paramétrée dans le plan.
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from sympy import *
t = symbols('t')
plotting.plot_parametric((cos(t), sin(2*t)), (t,0,2*pi))
Exemple de courbe paramétrée et de quelques (ici 9 ) vecteurs dérivés :
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from sympy import *
t = symbols('t')
x=cos(t)
y=sin(2*t)
plotting.plot_parametric((x, y), (t,0,2*pi))
xprime=diff(x,t)
yprime=diff(y,t)
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
K=np.linspace(0,2*np.pi,9)
X=np.array([float(x.subs(t,k)) for k in K])
Y=np.array([float(y.subs(t,k)) for k in K])
DX=np.array([float(xprime.subs(t,k)) for k in K])
DY=np.array([float(yprime.subs(t,k)) for k in K])
xmin=min(list(X)+list(X+DX))-0.1
xmax=max(list(X)+list(X+DX))+0.1
ymin=min(list(Y)+list(Y+DY))-0.1
ymax=max(list(Y)+list(Y+DY))+0.1
ax=plt.axes()
for i in range(len(K)):
ax.arrow(X[i],Y[i],DX[i],DY[i])
plt.axis([xmin,xmax,ymin,ymax])
plt.show()
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Exemple d'utilisation de Scilab (SciNotes) pour le tracé d'une courbe paramétrée dans le plan.
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clf();
function x=f(t)
x=cos(t)
endfunction
function y=g(t)
y=sin(2*t)
endfunction
T=linspace(0,2*%pi,1000)
X=feval(T,f)
Y=feval(T,g)
plot2d(X,Y)
Exemple de code python utilisant les modules matplotlib et numpy pour le tracé d'une courbe paramétrée dans l'espace.
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import numpy as np
def f(t):
return (np.cos(t),np.sin(2*t),t/2*np.pi)
T = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)
X=[f(t)[0] for t in T]
Y=[f(t)[1] for t in T]
Z=[f(t)[2] for t in T]
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
ax = Axes3D(plt.figure())
ax.plot(X, Y, Z)
plt.show()
Exemple de code python utilisant le module sympy pour le tracé d'une courbe paramétrée dans l'espace.
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from sympy import *
t = symbols('t')
plotting.plot3d_parametric_line(cos(t), sin(2*t), t/(2*pi), (t, 0, 4*pi))
Exemple de saisie dans la console Scilab pour le tracé d'une courbe paramétrée dans l'espace.
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clf();
function x=f(t)
x=cos(t)
endfunction
function y=g(t)
y=sin(2*t)
endfunction
function z=h(t)
z=t/(2*%pi)
endfunction
T=linspace(0,4*%pi,1000)
X=feval(T,f)
Y=feval(T,g)
Z=feval(T,h)
param3d(X,Y,Z)
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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pycreach.free.fr - TSI2
Réduction de l'intervalle pour l'étude d'une courbe paramétrée
x= x ( t )
x ( t +T )=x ( t )
Périodicité : Soit Γ : y= y ( t ) , t ∈ℝ . S'il existe un réel T tel que ∀ t ∈ℝ , y ( t +T ) = y ( t ) alors l'étude de Γ peut
z=z ( t )
z ( t +T )=z ( t )
T
T
être menée sur tout intervalle de longueur T : α− ; α+
.
2
2
T
T
Symétrie pour les courbes du plan : Soit Γ : x=x ( t ) , t ∈ α− ;α +
.
y = y (t )
2
2
{
{
[
{
[
[
]
) =−x ( α−h )
[ T2 ] , {xy ((α+h
α +h )= y ( α−h )
►si ∀ h∈ 0 ;
alors Γ est symétrique par rapport à …
) =x ( α−h ) alors Γ est symétrique
[ T2 ] , {xy ((α+h
α +h )=− y ( α−h )
►si ∀ h∈ 0 ;
par rapport à ...
) =−x ( α−h ) alors Γ est symétrique
[ T2 ] , {xy ((α+h
α +h )=− y ( α−h )
►si ∀ h∈ 0 ;
par rapport à ...
) =y ( α−h ) alors Γ est symétrique par
[ T2 ] , {xy ((α+h
α +h )=x ( α−h )
►si ∀ h∈ 0 ;
rapport à …
Remarque : des raisonnements analogues peuvent être tenus sur les courbes de l'espace.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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pycreach.free.fr - TSI2
Tangente ou demi-tangente à une courbe paramétrée
Soit Γ l'arc paramétré par la fonction f de classe C k sur I et t 0 ∈I .
► Si f ' ( t 0 )≠0 ℝ alors M ( t 0 ) est dit régulier et la formule de Taylor donne, pour h∈ℝ tel que t 0 + h∈I ,
f (t 0 +h ) h→
=0 f (t 0 )+hf ' ( t 0 ) +o ( h )
n
Le vecteur de coordonnées f ' (t 0 ) est un vecteur directeur de la tangente à l'arc orienté Γ au point M ( t 0 ) .
► Si f ' (t 0 )=0 ℝ alors M (t 0 ) est dit singulier ou stationnaire.
(
)
Si les k −1 dérivées successives en t 0 sont nulles : f ' ( t 0 )=…= f k −1 ( t 0 )=0 ℝ
( )
et la dérivée k ième en t 0 est non nulle : f k ( t 0 )≠0ℝ
hk ( k )
=0 f (t 0 )+
f ( t 0 )+o ( h k ) .
Alors la formule de Taylor donne, pour h∈ℝ tel que t 0 + h∈I , f (t 0 +h ) h→
k!
hk
(k )
_ si k est impair, alors
est du signe de h donc le vecteur de coordonnées f ( t 0 ) est directeur de la tangente à
k!
l'arc orienté Γ au point M (t 0 ) .
hk
k
_ si
est pair, alors
est positif donc le vecteur de coordonnées f (k ) ( t 0 ) est directeur de la demi-tangente à l'arc
k!
orienté Γ au point M ( t 0 ) .
On peut retenir que « la tangente en point est dirigée par la première dérivée non nulle en ce point. »
n
n
n
=0 f ( t 0 ) +hf ' ( t 0 ) +o ( h )
Démonstration : d'après la formule de Taylor, pour tout réel h tel que t 0 +h∈I , on a : f ( t 0 +h ) h→
x ( t 0 + h ) h→
=0 x ( t 0 ) +h x' ( t 0 ) +o ( h )
c'est-à-dire, pour t 0 +h∈I , y (t 0 +h ) = y ( t 0 ) + h y' ( t 0 ) +o ( h ) donc si x' (t 0) , y' ( t 0) et z' (t 0) ne sont pas tous nuls alors
h→ 0
z ( t 0 +h ) h→0
= z ( t 0 ) +h z' ( t 0 ) +o ( h )
{
la tangente à la courbe Γ au point régulier M ( t 0 ) a pour représentation paramétrique
x =x (t 0) +tx' (t 0 )
y = y ( t 0)+ty' (t 0) pour t ∈ℝ .
z =z ( t 0 )+tz' ( t 0 )
{
hk ( k )
f ( t 0 ) +o ( h k ) .
k!
x =x ( t 0 ) +t x ( k ) ( t 0 )
Si k est impair, alors la tangente à la courbe Γ au point singulier M ( t 0 ) est paramétrée par y =y ( t 0 ) +t y ( k ) ( t 0 ) , t ∈ℝ
( )
z=z ( t 0 ) +t z k (t 0 )
( )
x =x ( t 0) +t x k ( t 0 )
+
Si k est pair, la demi-tangente à la courbe Γ au point singulier M ( t 0 ) est paramétrée par y= y ( t 0 ) +t y ( k ) ( t 0) , t ∈ℝ .
z =z ( t 0 ) +t z ( k ) ( t 0 )
=0 f ( t 0 ) +
Si M (t 0 ) est singulier alors avec les notations de l'énoncé, on a : f ( t 0 +h ) h→
{
{
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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pycreach.free.fr - TSI2
Rappel (nécessaire ?) sur les droites définies par u point et un vecteur directeur
v0
v0 ⇔ ⃗
M appartient à la droite passant par M ( t 0 ) et de vecteur directeur ⃗
MM( t 0) est colinéaire à ⃗
x−x ( t 0) x v⃗
v 0 a pour équation
Ainsi , dans le plan la droite passant par M ( t 0 ) et dirigée par ⃗
=0
y− y ( t 0 ) y ⃗v
x =x (t 0 )+t x ⃗v
v 0 a pour représentation paramétrique : y =y (t 0 )+t y ⃗v ,
Dans l'espace la droite passant par M (t 0 ) et dirigée par ⃗
z=z ( t 0 )+t z ⃗v
t ∈ℝ
∣
∣
0
0
{
0
0
0
Position locale, en dimension 2, de la courbe par rapport à sa tangente en un point régulier
Soit k >1 et f de classe Ck sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ2 et t 0 ∈I tel que f ' (t 0 )≠0ℝ .
Soit q l'ordre de la première dérivée non colinéaire à f ' (t 0 ) en t 0 (si elle existe) :
q≝min { p∈ ⟦ 2 ; k ⟧∣det ( f ( p ) ( t 0 ) ; f ' ( t 0 ))≠0 }
Alors pour tout réel h tel que t 0 +h∈I , on a :
h q−2
hq ( q)
f ( t 0 + h ) h→
=0 f ( t 0 ) +h
f ' ( t 0 ) + …+
f (q−1 ) ( t 0 )
+
f (t 0)+ o (h q )
(
)
q−1
!
q!
⏟
2
(
)
colinéaire et dans le même sens que f ' ( t 0 ) pour h proche de 0
En notant Γ la courbe paramétrée par f sur I et D t la droite paramétrée par f (t 0 )+hf ' (t 0 ) , h∈ℝ , la position
locale de Γ par rapport à Dt au voisinage du point courant M ( t 0 ) est donnée par la parité de q et le vecteur de
coordonnées f (q ) ( t 0 ) .
0
0
=0 1 +h 3 + h2 −9 + h 3 5 + o ( h3 )
Exemple : si f ( t 0 + h ) h→
2
4
−12
6
() () ( ) ()
q pair
q impair
Point ordinaire : vecteur ⃗
v ( f (q ) (t 0 ) ) « dirigé à l'intérieur »
de la concavité.
Remarque : En particulier si q=2 alors on parle de point birégulier.
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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Point d'inflexion.
pycreach.free.fr - TSI2
Dans le plan ou l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère Γ une courbe paramétrée par t →⃗
OM( t ) pour
t ∈[ a ; b ] . Soit s : I→ℝ la fonction qui à tout réel t ∈I associe la longueur de la courbe Γ comprise entre les points
M ( a ) et M ( t ) .
Soit t ∈[ a ; b ] , et h >0 tel que t +h∈ [ a; b ] , on admet que
si Γ est de classe C1 , la longueur de l'arc de la courbe Γ
compris entre M ( t ) et M ( t + h ) est équivalente, quand h
tend vers 0, à la longueur du segment [ M ( t ) M ( t +h ) ] :
s ( t +h )−s ( t ) h→
∼0∥⃗
M ( t )M ( t +h )∥
s ( t +h )−s ( t )
1 (⃗ ⃗ )
Donc
∼
OM( t +h )−OM( t )
h→ 0
h
h
h >0
OM( t )'∥
Ainsi s' ( t )=∥⃗
∥
∥
Ce raisonnement étant valide ∀ t∈[ a ; b ] , on a :
b
s ( b )=∫ ∥⃗
OM( t )'∥dt
a
Théorème sur la longueur d'un arc paramétré du plan ou de l'espace
Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) , on considère Γ une courbe paramétrée par
x ( t ) pour
{x=
y= y ( t )
t ∈[ a ; b ] . Si x et y sont des fonctions de classe C1 sur l'intervalle [ a ; b ] alors la longueur de l'arc Γ est donnée
par
b
L= ∫a √ ( x' ( t ) ) +( y' ( t ) ) dt
2
2
x =x ( t )
y =y ( t ) pour
z=z ( t )
t ∈[ a ; b ] . Si x , y et z sont des fonctions de classe C1 sur l'intervalle [ a ; b ] alors la longueur de l'arc Γ est
donnée par
k ) , on considère Γ une courbe paramétrée par
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i ; ⃗j ; ⃗
b
{
L=∫a √( x' ( t ) ) + ( y' ( t ) ) + ( z' ( t ) ) dt
2
2
2
Remarque : ces longueurs sont indépendantes du paramétrage choisi pour décrire la courbe Γ .
f : [ 0 ; 4 π] →
ℝ3
cos ( t )
Exemple : Soit
sin ( t ) la longueur de la courbe paramétrée par f est ...
t
→
t
4π
( )
Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
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