Correction - TD n˚3 - Cinématique des fluides 1 Lagrangien ou

Physique Correction - TD no3 : Cinématique des fluides
Correction - TD n˚3 - Cinématique des fluides
1 Lagrangien ou Eulérien ?
1. a) Point de vue Eulérien.
b) Point de vue Lagrangien.
2. Tous les exemples pour lesquels la vitesse d’un objet est mesurée avec une caméra fixe ou
avec un capteur embarqué (course cycliste, course à pied, bateau, automobile...).
Caisse de supermarché : détecteur de codes-barre (Eulérien), et main du caissier ou de la
caissière déplaçant les articles (Lagrangien).
2 Expressions de l’accélération convective
On peut se contenter de comparer les composantes suivants −→ ux:
h−→
v·−−→ grad−→ vi·−→ ux=vx
∂vx
∂x +vy
∂vx
∂y +vz
∂vx
∂z
"−−→
grad v2
2!#·−→
ux=vx
∂vx
∂x +vy
∂vy
∂x +vz
∂vz
∂x
h−→
rot−→ v∧−→ vi·−→ ux=vz
∂vx
∂z −vz
∂vz
∂x −vy
∂vy
∂x +vy
∂vx
∂y
Et en combinant ces équations, on obtient :
−→
v·−−→ grad−→ v=−−→ grad v2
2!+−→
rot−→ v∧−→ v
3 Ecoulement dans un tuyau
1. Dm=µvπR2d’où v=Dm
µπR2= 0.12m.s−1.
2. La conservation du débit pour un fluide incompressible permet d’écrire v0=vR2
R02=
0.02m.s−1.
L’hypothèse d’écoulement incompressible est donc tout à fait justifiée car, pour un écou-
lement stationnaire, vc, où cest la vitesse du son dans le gaz.
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4 Interprétation de phénomènes
1. Au niveau d’un col en montagne, l’air est tout simplement confiné à passer entre deux
montagnes, donc par une surface plus faible, et accélère donc de manière à conserver le
débit. L’air peut en effet être considéré comme incompressible à des vitesses faibles devant
la vitesse du son en régime stationnaire.
2. Ce tube conique fonctionne tout simplement sur le principe de la conservation du débit d’un
fluide incompressible comme l’eau. L’eau est accélérée au niveau de la plus petite section
du cône lorsqu’on l’immerge brusquement dans l’eau par sa partie basse. Ce phénomène est
analogue à celui observé lorsqu’on bouche partiellement un jet d’arosage pour en augmenter
la portée.
5 Ecoulement autour d’une aile d’avion
1. Calculons tout d’abord le champ des vitesses défini par : −→ v=−−→ gradΦ
vr=∂Φ
∂r =−v0 1−R2 r2!cosθ
vθ=1
r
∂Φ
∂θ =v0 1 + R2 r2!sinθ
A l’infini, on trouve :
−→
v(∞) = −v0cosθ−→ ur+v0sinθ−→ uθ=−v0−→ ux
Ce qui est cohérent avec un fluide au repos dans le référentiel terrestre, mais se déplaçant
à la vitesse −v0−→ uxdans le référentiel de l’aile.
Au niveau de l’aile, en r=R, on obtient :
−→
v(r=R) = 2v0sinθ−→ uθ
On vérifie donc bien que la composante de la vitesse normale à l’aile est nulle au niveau de
l’aile : vr(r=R) = 0. De plus, la vitesse est nulle devant et derrière l’aile (points d’arrêts),
et l’air est accéléré de chaque côté de l’aile, ce qui est également cohérent.
2. En utilisant les formules d’analyse vectorielle en coordonnées cylindriques, on montre que :
∂−→ v
∂t =−→
0 =⇒écoulement stationnaire
Div−→ v= 0 =⇒écoulement incompressible
−−→
Rot−→ v=−→ 0 =⇒écoulement irrotationnel
L’écoulement est évidemment irrotationnel, ce qui a permis de définir le potentiel de l’écou-
lement.
3. La carte des lignes de courant est donnée ci-dessous. On remarque que la vitesse augmente
aux endroits où les lignes de champ se resserrent.
4. Ce modèle ne permet pas d’expliquer la portance d’une aile d’avion, notamment car c’est
un modèle cinématique, et qu’il faudrait faire intervenir les forces afin d’expliquer ce phé-
nomène, et de plus car la symétrie parfaite haut/bas du problème ne permet pas de d’ex-
pliquer un quelconque portance (on verra que le profil de l’aile joue un rôle crucial, et ne
peut être en aucun cas cylindrique).
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x
y
M
θ
r
O
z
6 Caractérisation de quelques écoulements
1. −→ v=v0−→ uz
∂−→ v
∂t =−→
0 =⇒écoulement stationnaire
Div−→ v= 0 =⇒écoulement incompressible
−−→
Rot−→ v=−→ 0 =⇒écoulement irrotationnel et potentiel avec φ=v0z
Les lignes de courant sont des droites verticales. Les trajectoires sont confondues avec les
lignes de courant car l’écoulement est stationnaire.
Ce champ des vitesses correspond à l’écoulement dans un jet d’eau (b).
2. −→ v=K[−y−→ ux+x−→ uy]
∂−→ v
∂t =−→
0 =⇒écoulement stationnaire
Div−→ v= 0 =⇒écoulement incompressible
−−→
Rot−→ v= 2K−→ uz=⇒écoulement rotationnel et donc non potentiel
Les lignes de courant sont définies par : −dx
Ky =dy Kx d’où xdx =−ydy qui s’intègre en
x2+y2=cste.
Les lignes de courant sont donc des cercles concentriques de centre O. Les trajectoires sont
confondues avec les lignes de courant car l’écoulement est stationnaire.
Ce champ des vitesses correspond à l’écoulement dans l’oeil d’un cyclone (d).
3. −→ v=K−y−→
ux+x−→ uy
x2+y2
∂−→ v
∂t =−→
0 =⇒écoulement stationnaire
Div−→ v= 0 =⇒écoulement incompressible
−−→
Rot−→ v=−→ 0 =⇒écoulement irrotationnel et potentiel avec φ=arctan y
x!
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Les lignes de courant sont définies par : −(x2+y2)dx
Ky =(x2+y2)dy Kx d’où xdx =−ydy
qui s’intègre à nouveau en x2+y2=cste. Les lignes de courant sont encore des cercles
concentriques de centre O. Les trajectoires sont confondues avec les lignes de courant car
l’écoulement est encore stationnaire.
Remarque : On fera donc attention à ne pas déduire abusivement que lorsque les lignes
de courant ou les trajectoires sont des cercles, l’écoulement est nécessairement rotationnel.
Ce champ des vitesses correspond à l’écoulement à proximité d’une tornade (a).
4. −→ v=K[x−→ ux−y−→ uy]
∂−→ v
∂t =−→
0 =⇒écoulement stationnaire
Div−→ v= 0 =⇒écoulement incompressible
−−→
Rot−→ v=−→ 0 =⇒écoulement irrotationnel
Les lignes de courant sont définies par : dx
Kx =−dy Ky d’où dx x=−dy yqui s’intègre en
ln(x) = −ln(y) + ln(cste)et finalement y=cste
x.
Les lignes de courant sont des hyperboles équilatères. Les trajectoires sont confondues avec
les lignes de courant car l’écoulement est toujours stationnaire.
Ce champ des vitesses correspond à l’écoulement dans une paille coudée (c).
1)
x
z2)
x
y
3)
x
y4)
x
y
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7 Etude cinématique d’une tornade
1. En appliquant le théorème de Stokes sur un cercle de rayon rquelconque, on déduit que :
I−→
v·−→ d =x−→ rot−→ v·−→ dS =x2−→ Ω·−→ dS
où l’on a utilisé la relation −→ rot−→ v= 2−→ Ωentre les vecteurs vitesse et tourbillon.
La figure ci-dessous permet de calculer la circulation du vecteur vitesse lorsque r≤aet
r > a :
v(r)2πr =(2Ω0πr2pour r≤a
2Ω0πa2pour r > a
O
a
r
r'
On en déduit donc le champ des vitesses :
−→
v=
Ω0r−→ uθpour r≤a
Ω0
a2
r
−→
uθpour r > a
La vitesse d’une tornade est ainsi maximale au bord de la tornade, en r=a.
2. Dans le cas limite du vortex, la vitesse à l’extérieur du vortex est donnée par :
−→
v=Ω0a2
r
−→
uθ=Γ
2πr
−→
uθpour r > a
Recherchons un potentiel des vitesses vérifiant −→ v=−−→ gradφ. En utilisant le formulaire
mathématique, on en déduit :
1
r
∂φ
∂θ =Γ 2πr
Et on peut donc proposer le potentiel des vitesses suivant pour r6= 0 :
φ=Γθ
2π+Cste
8 Ecoulement entre deux cylindres en rotation
1. L’écoulement est stationnaire car : ∂−→
v
∂t =−→
0.
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