Nous pouvons maintenant passer au calcul de la vitesse de l’écoulement. Le profil de vitesses
logarithmique étant bien établi en écoulement uniforme, nous allons calculer la vitesse
moyenne U d’abord à partir du débit et ensuite vérifier que cette valeur est bien la valeur
moyenne du profil logarithmique de vitesses.
A partir du débit
C’est évidemment le plus simple, on calcule simplement
42.1
53.3200
1000 =
×
== hL
Q
U
m/s
A partir du profil logarithmique
On doit pour cela utiliser la formule suivante, qui correspond à l’intégration sur la verticale du
profil de vitesses :
Quelles valeurs donner aux paramètres de la formule ?
• Le nombre κ est la constante de Von Kárman et vaut 0.4
• Le coefficient A (qui n’est pas l’aire mouillée ici !) est défini par
et vaut
donc A = 29.9641
• Le nombre e, base du logarithme naturel ou népérien, vaut 2.718281…
• χ, paramètre dépendant de la rugosité du lit et donc la valeur varie entre 0.4 et 1.4, est
pris ici égal à 1
• Le paramètre ks désigne la « rugosité équivalente au sable », il est donc pris ici égal au
diamètre des grains, soit 1.9 mm ou encore 0.0019 m pour écrire la formule finale
avec les bonnes unités
• La profondeur h est la profondeur uniforme qui vient d’être calculée, soit 3.53 m
Il nous faut encore calculer la vitesse de frottement u*
058.00001.0
53.32200 53.3200
81.9
00* =×
×+
×
×=== S
P
A
gSRgu
m/s
Finalement, cela donne
42.1
0019.0 53.3
1
71828.2 1
9641.29ln
4.0
058.0 =
×××=U
m/s
On retrouve bien la vitesse moyenne calculée précédemment, et on peut achever de s’en
convaincre en dessinant le profil de vitesses (en bleu dans la figure ci-dessous) et en
superposant la valeur de la vitesse moyenne (en rouge).