TD n˚3 - Cinématique des fluides 1 Lagrangien ou Eulérien? 2
publicité
TD no 3 : Cinématique des fluides Physique TD n˚3 - Cinématique des fluides 1 Lagrangien ou Eulérien ? 1. Le point adopté dans les exemples suivants est-il Lagrangien ou Eulérien ? a) Un radar automatique mesure la vitesse des voitures lorsque celles-ci passent à son niveau. b) Un conducteur mesure la vitesse de sa voiture en utilisant son compteur. a) b) 2. Donner un autre exemple concret dans lequel un point de vue Lagrangien ou un point de vue Eulérien peuvent être adopté pour des mesures de vitesse. 2 Expressions de l’accélération convective En utilisant les coordonnées cartésiennes, montrer que l’accélération convective peut s’écrire des deux façons suivantes : ! −−→ → −−→ v 2 −→− − → − v · grad − v = grad + rot→ v ∧→ v 2 Remarque : on pourra se contenter de vérifier cette expression suivant une seule coordonnée de l’espace. 3 Ecoulement dans un tuyau 1. Quelle est la vitesse d’écoulement d’un gaz dans un tuyau cylindrique si 510g de ce gaz s’écoulent par demi-heure à travers une section du tuyau, en régime permanent ? Le diamètre du tuyau est de 2cm et la masse volumique du gaz est de 7.5 kg.m−3 . On négligera les phénomènes de viscosité, de sorte que le profil de vitesse peut être considéré comme uniforme dans une section du tube. 2. Le tuyau subit un élargissement. La nouvelle section a un diamètre de 5cm. Quelle est la vitesse du gaz dans la section élargie ? On justifiera pourquoi l’écoulement peut être considéré comme incompressible. PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique 4 Interprétation de phénomènes Interpréter les phénomènes suivants illustrés sur la figure ci-dessous : 1. le vent est souvent plus important au niveau d’un col en montagne. 2. un tube plastique conique permet de propulser de l’eau à plusieurs mètres de haut lorsqu’on l’immerge brusquement dans l’eau par sa partie basse. a) b) 5 Ecoulement autour d’une aile d’avion On considère une aile d’avion, modélisée par un cylindre infini de rayon R et d’axe Oz, en mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre à la vitesse − → → v = v0 − u x On pourra considérer que l’air est au repos loin de l’aile. 1. Montrer que le potentiel des vitesses ci-dessous, défini dans le référentiel de l’avion, satisfait aux conditions limites imposées par un tel écoulement : ! Φ(r, θ) = −v0 R2 cosθ r+ r →. où θ est défini comme l’angle avec l’axe − u x 2. L’écoulement est-il stationnaire, incompressible, rotationnel ? 3. Esquisser la carte des lignes de courant. 4. Peut-on expliquer la portance d’une aile d’avion avec ce modèle simpliste ? 6 Caractérisation de quelques écoulements Caractériser les écoulements ci-dessous en précisant leur caractère stationnaire, incompressible, irrotationnel, et potentiel, et esquisser les lignes de champ et les trajectoires des particules. On esquissera également la déformation d’une particule de fluide dans l’écoulement. → → 1. − v =v − u 0 z → − → 2. − v = K [−y → u x + x− u y] → − − → −yux+xuy → 3. − v =K x2 + y 2 PSI - Année 2010/2011 2 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique → → − 4. − v = K [x− u x − y→ u y] On associera enfin les exemples concrets de la figure ci-dessous à chacun des écoulements. a) b) c) d) Figure 1: Ecoulement a) autour d’une tornade, b) dans un jet d’eau, c) dans une paille coudée et d) dans l’oeil d’un cyclone . 7 Etude cinématique d’une tornade On modélise une tornade de rayon a par un écoulement incompressible à symétrie cylindrique autour d’un axe Oz, décrit en coordonnées cylindriques par un champ des vitesses de la forme : − → → v = vθ (r)− uθ − → et un vecteur tourbillon Ω uniforme à l’intérieur de la tornade, de sorte que : − → Ω = ( − Ω0 → uz pour r≤a − → 0 pour r>a 1. En appliquant le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r, établir l’expression de vθ (r) d’une part pour r ≤ a, puis pour r > a. Où la norme de la vitesse est-elle maximale ? 2. On appelle vortex le cas limite obtenu lorsque a → 0 et Ω0 → ∞, en conservant le produit Γ où Γ est une constante finie. Ω0 a2 constant égal à Ω0 a2 = 2π Déterminer un potentiel des vitesses φ permettant de décrire un vortex pour r 6= 0. PSI - Année 2010/2011 3 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique 8 Ecoulement entre deux cylindres en rotation L’écoulement entre 2 cylindres de rayons R1 et R2 et de mêmes axes (Oz), en rotation respectivement à Ω1 et Ω2 , est donné par le champ eulérien des vitesses suivant en coordonnées cylindriques : ! B − − → → v = Ar + uθ r 1. L’écoulement est-il stationnaire ? 2. L’écoulement est-il incompressible ? − → 3. Existe-t-il un vecteur tourbillon Ω ? −−→ → 4. Peut-on définir une fonction potentiel des vitesses Φ telle que − v = gradΦ ? Si oui, la définir. 5. Donner la définition des lignes de courant. En déduire les relations qui permettent d’obtenir leur équation en coordonnées cylindriques. Enfin, déterminer les lignes de courant dans le cas de l’écoulement entre les deux cylindres. 6. Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cylindres sont correctes. Si oui, à quelles conditions ? 7. Commenter les éléments de la figure ci-dessous, représentant une "coupe" du champ des vitesses, des lignes de champ, et la déformation de quelques particules de fluide dans l’écoulement. → Données : opérateurs en coordonnées cylindriques, agissant sur un vecteur − a quelconque : 1 ∂(rar ) 1 ∂aθ ∂az → div − a (r, θ, z) = + + r ∂r r ∂θ ∂z −→ − rot → a (r, θ, z) = PSI - Année 2010/2011 ! 1 ∂az ∂aθ − → − ur + r ∂θ ∂z ! ! ∂ar ∂az → 1 ∂(raθ ) ∂ar − − → − − uθ + uz ∂z ∂r r ∂r ∂θ 4 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique 9 Caractérisation de l’échelle mésoscopique Déterminer le nombre de molécules présentes dans un volume mésoscopique de 10 µm de côté dans les deux cas suivants : 1. dans l’air dans les conditions normales de température et de pression (CNTP) 2. dans l’eau On donne : ρair = 1.3 g.L−1 dans les CNTP ; Mair = 29 g.mol−1 10 Champ des vitesses autour d’une sphère pulsante Dans un fluide incompressible infiniment étendu, initialement au repos, on place une sphère solide de centre O. Le rayon R de cette sphère est variable : R(t) = R0 + acos(ωt). 1. Déterminer le champ des vitesses en fonction de a, ω, r, t et R(t). 2. Calculer l’accélération particulaire en un point M à l’instant t en fonction de a, ω, r, t et R(t). 3. Que deviennent ces résultats dans l’approximation des petites oscillations : a R0 ? − → Donnée : Pour un champ de vitesse tel que → v = vr (r, t)− u r en coordonnées sphériques, on a : − div → v = i 1 ∂ h 2 r v (r, t) r r2 ∂r 11 Ecoulement au-dessus d’un plan oscillant L’écoulement entre un plan oscillant (en y = 0) et l’infini (y → ∞) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant, en coordonnées cartésiennes : → − → v = ae−ky cos(ωt − ky)− ux 1. L’écoulement est-il stationnaire ? 2. L’écoulement est-il incompressible ? − → 3. Existe-t-il un vecteur tourbillon Ω ? −−→ → 4. Peut-on définir une fonction potentiel des vitesses Φ telle que − v = gradΦ ? Si oui, la définir. 5. Préciser la nature des lignes de courant et des trajectoires. 12 Tube parabolique Un fluide est en écoulement permanent dans une portion de tube à profil parabolique : (Oz) étant axe de symétrie, les lignes de courant ont pour équation (en coordonnées cylindriques) : r = λa pour z<0 ! 2 z pour z > 0 r = λ a + b PSI - Année 2010/2011 5 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique où λ est une grandeur sans dimension constante le long d’une ligne de courant, et a et b des constantes dimensionnées. On notera que le cas où λ = 1 correspond à l’équation de la paroi du tube dans lequel se fait l’écoulement. Le fluide est incompressible et la composante axiale vz de la vitesse est supposée uniforme sur une section droite (z < 0 et z > 0), c’est à dire que vz est indépendant de r quel que soit z. On notera v0 la vitesse en O. 1. Rappeler l’expression de l’équation de conservation de la masse. Que permet-elle de montrer en régime stationnaire ? Et lorsque l’écoulement est incompressible ? −−→ → → → Donnée : On pourra utiliser la relation suivante : div (f − a)=− a · gradf + f div− a 2. Démontrer dans chacun des cas précédent qu’une grandeur se conserve lors de l’écoulement. 3. Déduire des questions précédentes que la vitesse axiale est donnée pour z > 0 par : v0 vz (z) = !2 z2 1+ ab On justifiera tout d’abord pourquoi la vitesse axiale ne dépend ni de la variable r, ni de la variable θ. 4. Démontrer que les lignes de courant sont définies par : vr = vz dr dz ! λ constant 5. En déduire que la vitesse radiale est donnée par : vr (r, z) = 2rzv0 z2 ab 1 + ab !3 6. L’expression de la vitesse est-elle bien compatible avec les caractéristiques de l’écoulement utilisées précédemment ? 7. On considère une particule de fluide qui, pour z < 0, a la forme représentée sur le schéma précédent. Décrire qualitativement l’évolution de cet élément de fluide. PSI - Année 2010/2011 6 Lycée Paul Eluard TD no 3 : Cinématique des fluides Physique 8. L’écoulement est-il potentiel ? → Données : opérateurs en coordonnées cylindriques, agissant sur un vecteur − a quelconque : 1 ∂(rar ) 1 ∂aθ ∂az → div − a (r, θ, z) = + + r ∂r r ∂θ ∂z −→ − rot → a (r, θ, z) = PSI - Année 2010/2011 ! 1 ∂az ∂aθ − → − ur + r ∂θ ∂z ! ! ∂ar ∂az → 1 ∂(raθ ) ∂ar − − → − uθ + − uz ∂z ∂r r ∂r ∂θ 7 Lycée Paul Eluard
