TD n˚3 - Cinématique des fluides 1 Lagrangien ou Eulérien? 2

Physique TD no3 : Cinématique des fluides
TD n˚3 - Cinématique des fluides
1 Lagrangien ou Eulérien ?
1. Le point adopté dans les exemples suivants est-il Lagrangien ou Eulérien ?
a) Un radar automatique mesure la vitesse des voitures lorsque celles-ci passent à son
niveau.
b) Un conducteur mesure la vitesse de sa voiture en utilisant son compteur.
a) b)
2. Donner un autre exemple concret dans lequel un point de vue Lagrangien ou un point de
vue Eulérien peuvent être adopté pour des mesures de vitesse.
2 Expressions de l’accélération convective
En utilisant les coordonnées cartésiennes, montrer que l’accélération convective peut s’écrire
des deux façons suivantes :
−→
v·−−→ grad−→ v=−−→ grad v2
2!+−→
rot−→ v∧−→ v
Remarque : on pourra se contenter de vérifier cette expression suivant une seule coordonnée
de l’espace.
3 Ecoulement dans un tuyau
1. Quelle est la vitesse d’écoulement d’un gaz dans un tuyau cylindrique si 510gde ce gaz
s’écoulent par demi-heure à travers une section du tuyau, en régime permanent ? Le dia-
mètre du tuyau est de 2cm et la masse volumique du gaz est de 7.5kg.m−3. On négligera
les phénomènes de viscosité, de sorte que le profil de vitesse peut être considéré comme
uniforme dans une section du tube.
2. Le tuyau subit un élargissement. La nouvelle section a un diamètre de 5cm. Quelle est
la vitesse du gaz dans la section élargie ? On justifiera pourquoi l’écoulement peut être
considéré comme incompressible.
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4 Interprétation de phénomènes
Interpréter les phénomènes suivants illustrés sur la figure ci-dessous :
1. le vent est souvent plus important au niveau d’un col en montagne.
2. un tube plastique conique permet de propulser de l’eau à plusieurs mètres de haut lorsqu’on
l’immerge brusquement dans l’eau par sa partie basse.
a) b)
5 Ecoulement autour d’une aile d’avion
On considère une aile d’avion, modélisée par un cylindre infini
de rayon Ret d’axe Oz, en mouvement rectiligne uniforme dans
le référentiel terrestre à la vitesse
−→
v=v0−→ ux
On pourra considérer que l’air est au repos loin de l’aile.
1. Montrer que le potentiel des vitesses ci-dessous, défini dans le référentiel de l’avion, satisfait
aux conditions limites imposées par un tel écoulement :
Φ(r, θ) = −v0 r+R2
r!cosθ
où θest défini comme l’angle avec l’axe −→ ux.
2. L’écoulement est-il stationnaire, incompressible, rotationnel ?
3. Esquisser la carte des lignes de courant.
4. Peut-on expliquer la portance d’une aile d’avion avec ce modèle simpliste ?
6 Caractérisation de quelques écoulements
Caractériser les écoulements ci-dessous en précisant leur caractère stationnaire, incompres-
sible, irrotationnel, et potentiel, et esquisser les lignes de champ et les trajectoires des particules.
On esquissera également la déformation d’une particule de fluide dans l’écoulement.
1. −→ v=v0−→ uz
2. −→ v=K[−y−→ ux+x−→ uy]
3. −→ v=K−y−→
ux+x−→ uy
x2+y2
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4. −→ v=K[x−→ ux−y−→ uy]
On associera enfin les exemples concrets de la figure ci-dessous à chacun des écoulements.
a) b)
c) d)
Figure 1: Ecoulement a) autour d’une tornade, b) dans un jet d’eau, c) dans une paille coudée
et d) dans l’oeil d’un cyclone .
7 Etude cinématique d’une tornade
On modélise une tornade de rayon apar un écoulement in-
compressible à symétrie cylindrique autour d’un axe Oz, décrit en
coordonnées cylindriques par un champ des vitesses de la forme :
−→
v=vθ(r)−→ uθ
et un vecteur tourbillon −→ Ωuniforme à l’intérieur de la tornade, de sorte que :
−→
Ω = (Ω0−→
uzpour r≤a
−→
0 pour r > a
1. En appliquant le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r, établir l’expression de vθ(r)
d’une part pour r≤a, puis pour r > a. Où la norme de la vitesse est-elle maximale ?
2. On appelle vortex le cas limite obtenu lorsque a→0et Ω0→ ∞, en conservant le produit
Ω0a2constant égal à Ω0a2=Γ
2πoù Γest une constante finie.
Déterminer un potentiel des vitesses φpermettant de décrire un vortex pour r6= 0.
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8 Ecoulement entre deux cylindres en rotation
L’écoulement entre 2 cylindres de rayons R1et R2et de mêmes axes (Oz), en rotation res-
pectivement à Ω1et Ω2, est donné par le champ eulérien des vitesses suivant en coordonnées
cylindriques :
−→
v= Ar +B
r!−→
uθ
1. L’écoulement est-il stationnaire ?
2. L’écoulement est-il incompressible ?
3. Existe-t-il un vecteur tourbillon −→ Ω?
4. Peut-on définir une fonction potentiel des vitesses Φtelle que −→ v=−−→ gradΦ? Si oui, la
définir.
5. Donner la définition des lignes de courant. En déduire les relations qui permettent d’obtenir
leur équation en coordonnées cylindriques. Enfin, déterminer les lignes de courant dans le
cas de l’écoulement entre les deux cylindres.
6. Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cylindres sont correctes. Si oui, à quelles
conditions ?
7. Commenter les éléments de la figure ci-dessous, représentant une "coupe" du champ des
vitesses, des lignes de champ, et la déformation de quelques particules de fluide dans
l’écoulement.
Données : opérateurs en coordonnées cylindriques, agissant sur un vecteur −→ aquelconque :
div −→ a(r, θ, z) = 1
r
∂(rar)
∂r +1 r
∂aθ
∂θ +∂az ∂z
−→
rot −→ a(r, θ, z) = 1
r
∂az
∂θ −∂aθ ∂z !−→
ur+ ∂ar
∂z −∂az ∂r !−→
uθ+1
r ∂(raθ) ∂r −∂ar ∂θ !−→
uz
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9 Caractérisation de l’échelle mésoscopique
Déterminer le nombre de molécules présentes dans un volume mésoscopique de 10 µm de côté
dans les deux cas suivants :
1. dans l’air dans les conditions normales de température et de pression (CNTP)
2. dans l’eau
On donne : ρair = 1.3g.L−1dans les CNTP ; Mair = 29 g.mol−1
10 Champ des vitesses autour d’une sphère pulsante
Dans un fluide incompressible infiniment étendu, initialement au repos, on place une sphère
solide de centre O. Le rayon Rde cette sphère est variable : R(t) = R0+acos(ωt).
1. Déterminer le champ des vitesses en fonction de a,ω,r,tet R(t).
2. Calculer l’accélération particulaire en un point Mà l’instant ten fonction de a,ω,r,tet
R(t).
3. Que deviennent ces résultats dans l’approximation des petites oscillations : aR0?
Donnée : Pour un champ de vitesse tel que −→ v=vr(r, t)−→ uren coordonnées sphériques, on a :
div−→ v=1
r2
∂
∂r hr2vr(r, t)i
11 Ecoulement au-dessus d’un plan oscillant
L’écoulement entre un plan oscillant (en y= 0) et l’infini (y→ ∞) est donné par le champ
eulérien des vitesses suivant, en coordonnées cartésiennes :
−→
v=ae−ky cos(ωt −ky)−→ ux
1. L’écoulement est-il stationnaire ?
2. L’écoulement est-il incompressible ?
3. Existe-t-il un vecteur tourbillon −→ Ω?
4. Peut-on définir une fonction potentiel des vitesses Φtelle que −→ v=−−→ gradΦ? Si oui, la
définir.
5. Préciser la nature des lignes de courant et des trajectoires.
12 Tube parabolique
Un fluide est en écoulement permanent dans une portion de tube à profil parabolique : (Oz)
étant axe de symétrie, les lignes de courant ont pour équation (en coordonnées cylindriques) :
r=λa pour z < 0
r=λ a+z2
b!pour z > 0
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