Idée de corrigé

Analyse.
1. On note X l'événement : le composant est de type X et on dénit de la même manière les
événements Y et Z .
On note D l'événement : le composant est défectueux et B l'événement : le composant
n'est pas défectueux .
1-a. Le prélèvement d'un composant étant équiprobable, nous avons :
15
= 0, 15
100
La probabilité de D sachant X nous est donnée :
p(X) =
5
= 0, 05
100
La formule de la probabilité composée nous donne immédiatement la probabilité de D ∩ X :
p(D|X ) =
p(D ∩ X) = p(D|X ) × p(X)
= 0, 0075
La probabilité qu'un composant soit un composant défectueux de type X est donc 0,0075.
1-b. On calcul de la même façon p(D ∩ Y ) et p(D ∩ Z) :
p(D ∩ Y ) = p(D|Y ) × p(Y )
= 0, 03 × 0, 55
= 0, 0165
p(D ∩ Z) = p(D|Z ) × p(Z)
= 0, 02 × 0, 30
= 0, 0060
Les trois événement X , Y et Z formant une partition de l'univers des possibles, la formule de
la probabilité totale nous donne :
p(D) = p(D ∩ X) + p(D ∩ Y ) + p(D ∩ Z)
= 0, 030
La probabilité qu'un composant soit défectueux est ainsi p = 0.030.
1-c. Les valeurs p(D ∩ X) = 0, 0075 et p(D) × p(X) = 0, 0045 sont diérentes, les deux événements
X et D ne sont pas indépendants.
1-d. Nous reprenons la formule de la probabilité composée :
p(Z|D ) × p(D) = p(Z ∩ D)
Nous avons calculé les probabilités p(Z ∩ D) = 0, 0060 et p(D) = 0, 030 à la question 1-b, nous
en déduisons :
p(Z ∩ D)
p(D)
= 0, 20
p(Z|D ) =
Sachant qu'un composant est défectueux, la probabilité qu'il soit de type Z est ainsi 0,20.
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2-a. Nous calculons les probabilités p(X|D ) et p(Y|D ) comme nous avons calculé p(Z|D ) :
p(X ∩ D)
p(D)
= 0, 25
p(X|D ) =
p(Y ∩ D)
p(D)
= 0, 55
p(Y|D ) =
Dans l'ensemble D muni de la loi de probabilité conditionnelle calculée précédemment, nous
dénissons la variable aléatoire S , surcoût, comme une application de D dans R.
La loi de probabilité de S est ainsi :
p(S = 2) = p(X|D ) = 0, 25
p(S = 3) = p(Y|D ) = 0, 55
p(S = 5) = p(Z|D ) = 0, 20
Le calcul de l'espérance de la variable aléatoire S est immédiat, qui donne :
S = 2 × p(S = 2) + 3 × p(S = 3) + 5 × p(S = 5)
= 3, 15
Le surcoût moyen de remplacement d'un composant défectueux est de 3,15 ¿.
2-b. Si nous dénissons maintenant la variable aléatoire R, surcoût relatif à l'ensemble, comme une
application de l'univers dans R.
La loi de probabilité de R est alors :
p(R = 0)
p(R = 2)
p(R = 3)
p(R = 5)
=
p(D)
= p(X ∩ D)
= p(Y ∩ D)
= p(Z ∩ D)
=
=
=
=
0, 970
0, 0075
0, 0165
0, 0060
Le calcul de l'espérance de la variable aléatoire R est immédiat, qui donne :
R = 2 × p(R = 2) + 3 × p(R = 3) + 5 × p(R = 5)
= 0, 0945
On peut donc estimer à 0,09 ¿ le surcoût moyen occasionné par la présence de composants
défectueux dans le stock.
Autre point de vue.
Une autre façon de voir les choses est d'utiliser les résultats des questions précédentes sous la
forme :
Le coût moyen d'une panne est donné par le résultat de la question 2-b :
S = 3, 15 ¿.
La probabilité d'une panne est donnée par le résultat de la question 1-b :
p(D) = 0, 030
Le surcoût moyen occasionné par la présence de composants défectueux dans le stock est
donc :
R = 0, 030 × 3, 15 = 0, 0945 ¿.
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3. On prélève cette fois quatre composants dans le stock.
Ce stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de quatre composants.
3-a. La probabilité d'obtenir quatre composants de type X est ainsi p(X)4 , de même pour Y et Z.
Les événenements étant disjoints, la probabilité que les quatre composants prélevés soient d'un
même type est donc :
p4 = p(X)4 + p(Y )4 + p(Z)4
= 0, 1001125
Nous arrondissons à 10 %.
3-b. La probabilité qu'un composant tiré au hasard soit défectueux est la probabilité p = 0, 030
calculée à la question 1-b.
On note q = 1 − p la probabilité qu'un composant tiré au hasard ne soit pas défectueux.
On admet que le stock est susamment important pour que le tirage successif de quatre
composants soit considéré comme non exhaustif et suive un modèle de Bernoulli.
On note M le nombre de composants défectueux et N = 4 − M le nombre de composants qui
ne sont pas défectueux parmi les quatre composants prélevés.
Les deux variables aléatoires M et N suivent les lois binomiales respectives :
et

 p(M = k) = C4k pk q n−k
k ∈ [0..4]
 p(M = k) = 0
k ∈
/ [0..4]

 p(N = k) = C4k q k pn−k
k ∈ [0..4]
 p(N = k) = 0
k ∈
/ [0..4]
Soit ξ la probabilité qu'au moins trois des quatre composants prélevés ne soient pas défectueux.
Le calcul direct donne :
ξ = p(N = 3) + p(N = 4)
= C43 q 3 p + C44 q 4
= 4 × (1 − 0, 03)3 × 0, 03 + (1 − 0, 03)4
On peut remarquer que ξ est aussi la probabilité qu'au plus un des quatre composants prélevés
soit défectueux :
ξ = p(M = 0) + p(M = 1)
= C40 q 4 + C41 p q 3
= (1 − 0, 03)4 + 4 × 0, 03 × (1 − 0, 03)3
Dans les deux cas, nous obtenons ξ = 0, 99481357 que nous arrondissons à 0,995.
La probabilité qu'au moins trois des quatre composants prélevés ne soient pas défectueux est
de l'ordre de 995 ‡.
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