DS 2 TSTMG version 1

Nom Prénom : Devoir surveillé 2 Version 1
Capacités testées : A (acquis) ; B (en cours) ; C (non acquis)
IC1_1
Passer de l’indice au taux d’évolution, et réciproquement.
IC1_3
Trouver le taux moyen connaissant le taux global.
SP1_1
Construire un
arbre pondéré en lien avec une situation
donnée.
SP1_2
Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer
des probabilités.
SP1_3
Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses
probabilités conditionnelles relatives à une partition de
l’univers.
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 1
11
1 :
Le tableau suivant donne le taux d’évolution du prix d’une matière première d’une année sur l’autre.
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Taux d’évolution en %
par rapport à l’année
précédente
X
–
3,5
1,7
5,2
4,3
0,6
–
1,8
0,2
1,3
Le prix d’une tonne de cette matière première était de 1500 € au 01/01/2000.
1°) Calculer la valeur de cette tonne de matière première au 01/01/2001.
La valeur au 01/01/2001 est : 1500x(1-3,5/100)=1447,50 €
2°) Calculer la valeur de cette tonne de matière première au 01/01/2003.
La valeur au 01/01/2003 est : 1500x(1-3,5/100)(1+1,7/100)(1+5,2/100)=1548,66€
3°) Calculer à 0,1% près le pourcentage d’évolution du prix entre le 01/01/2004 au 01/01/2007.
Il y a 3 évolutions de 0,6% puis -1,8% puis 0,2 % soit un CM de (1+0,6/100)(1-1,8/100)(1+0,2/100)=0,98987
D’où un taux global de 0,98987-1=-0,01013 soit -1,0% environ
4°) Combien d’évolutions successives se sont produites entre le 01/01/2002 et le 01/01/2006 ?
Il y a eu 4 évolutions successives.
5°) En déduire le taux d’évolution annuel moyen du prix entre ces deux dates.
On a (1+tm/100)
4
=(1+5,2/100)(1+4,3/100)(1+0,6/100)(1-1,8/100)=1,084 d’où tm=100(1,084
1/4
-1) soit
tm=2,04%
6°) En prenant pour base 100 la valeur de la marchandise au 01/01/2005, créer et compléter le tableau des
indices allant du 01/01/2003 au 01/01/2008.
Année
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Taux d’évolution en %
par rapport à l’année
précédente
4,3
0,6
–
1,8
0,2
1,3
Indice
95,3
99,4
100
98,2
98,4
99,7
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 2
22
2 :
: :
:
Trois machines A, B, C produisent des boulons. A permet de fabriquer 60 % des boulons avec un taux de pièces
défectueuses de 2 %. B permet la fabrication de 30% des boulons dont 3 % sont défectueux et C produit le reste
avec 96 % de fiabilité.
1°) Traduire toutes ces données dans un tableau de probabilité.
A
B
C
Total
Défectueux
D
0,012
0,009
0,004
0,025
Non
Défectueux
DF
0,588
0,291
0,096
0,975
Total
0,60
0,30
0,10
1

2°) Quelle est la
probabilité qu’un boulon de la machine B soit correct
On lit dans le tableau PB∩DF )=0,291.
3
°) On choisit au hasard un boulon dans la production de la journée. Quelle est la probabilité que ce boulon soit
défectueux ?
PD)=0,025
4°) Le boulon choisit
s’avère être défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de la machine A
P
D
A)=PA
∩D)/PD)=0,012/0,025=0,48.
Exercice 3
Exercice 3Exercice 3
Exercice 3 :
: :
:
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 prèsDans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Une maladie touche 0,2% de la population. Un
Les résultats d’expériences ont montré que
–
Lorsqu’un individu est atteint par la maladie le test est positif dans 95 % des cas.
–
Lorsqu’un individu n’est pas atteint par la maladie, le test
On note M : «
l’individu est atteint par la maladie
1°) Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l’individu n’est pas malade
P
MF
T)=0,02 d’après l’énoncé
2°) Représenter
la situation de l’énoncé par un arbre de probabilité en indiquant les probabilités sur chaque
branche.
3°) Calculer la probabilité de l’évènement «
PM∩T)=0,002x0,95=0,0019
4°) Justifier
que la probabilité de l’évènement T est approximativement 0,0219
PT)= PM∩T)>PMF ∩T
)=0,002x0,95>0,998x0,02=0,02186 soit environ 0,0219
5°) Calculer la probabilité que l’individu soit malade sachant que le test est positif.
P
T
M)=pM
∩T)/PT)=0,0019/0,0219=0,0868
6°) Ce test vous semble-t-il fiable ?
Il n’y a que 8,68% de chance que l’individu soit malade sachant que le test est positif. Ce test n’est donc pas
fiable.
probabilité qu’un boulon de la machine B soit correct
?
°) On choisit au hasard un boulon dans la production de la journée. Quelle est la probabilité que ce boulon soit
s’avère être défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de la machine A
∩D)/PD)=0,012/0,025=0,48.
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 prèsDans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Une maladie touche 0,2% de la population. Un
laboratoire a mis au point un test de dépistage de cette maladie.
Les résultats d’expériences ont montré que
:
Lorsqu’un individu est atteint par la maladie le test est positif dans 95 % des cas.
Lorsqu’un individu n’est pas atteint par la maladie, le test
est positif dans 2 % des cas
l’individu est atteint par la maladie
» et T : « le test est positif »
1°) Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l’individu n’est pas malade
la situation de l’énoncé par un arbre de probabilité en indiquant les probabilités sur chaque
3°) Calculer la probabilité de l’évènement «
l’individu est atteint par la maladie et le test est positif
que la probabilité de l’évènement T est approximativement 0,0219
)=0,002x0,95>0,998x0,02=0,02186 soit environ 0,0219
5°) Calculer la probabilité que l’individu soit malade sachant que le test est positif.
∩T)/PT)=0,0019/0,0219=0,0868
Il n’y a que 8,68% de chance que l’individu soit malade sachant que le test est positif. Ce test n’est donc pas
°) On choisit au hasard un boulon dans la production de la journée. Quelle est la probabilité que ce boulon soit
s’avère être défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de la machine A
?
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 prèsDans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
Dans cet exercice tous les résultats doivent être arrondis à 0,0001 près
laboratoire a mis au point un test de dépistage de cette maladie.
Lorsqu’un individu est atteint par la maladie le test est positif dans 95 % des cas.
est positif dans 2 % des cas
1°) Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l’individu n’est pas malade
?
la situation de l’énoncé par un arbre de probabilité en indiquant les probabilités sur chaque
l’individu est atteint par la maladie et le test est positif
»
Il n’y a que 8,68% de chance que l’individu soit malade sachant que le test est positif. Ce test n’est donc pas