Partiel de Probabilités

Année 2014/2015
Université Paris Nord
L2 Mathématiques et MIEF.
Partiel de Probabilités
(3 heures, sans document, sans calculatrice, sujet recto-verso)
Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On considère l'expérience aléatoire consistant
à lancer successivement n fois deux dés équilibrés et à noter les n résultats obtenus dans l'ordre
d'apparition.
1) Calculer la probabilité de l'événement A = on obtient au moins un double 6 .
2) Démontrer que pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 9/10 d'obtenir au moins
un double 6, il faut et il sut que :
Exercice 1
n≥
ln(10)
.
ln(36) − ln(35)
Une entreprise de construction produit des objets sur deux chaînes de montage A et
B qui fonctionnent indépendamment l'une de l'autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications
des pièces sont indépendantes. On suppose que A produit 31 des objets et B produit 32 des
objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine A soit défectueux est 101 alors que la
probabilité pour qu'un objet construit par la chaine B soit défectueux est 15 .
Exercice 2
0) Soient D et E des événements. On suppose 0 < P(E) < 1 et P(D) > 0. Démontrer les
formules suivantes :
Formule des probabilités totales :
P(D) = PE (D)P(E) + PE c (D)P(E c ).
Formule de Bayes :
PD (E) =
PE (D)P(E)
.
P(D)
1) On tire au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. A l'aide de la formule des probabilités
totales, calculer la probabilité de l'événement D = l'objet est défectueux. 2) On tire au hasard un objet à la sortie de l'entreprise, on constate qu'il est défectueux.
Calculer à l'aide de la formule de Bayes, la probabilité de l'événement E = l'objet
provient de la chaîne A .
3) On suppose que le nombre d'objets produits en une heure par A est une variable aléatoire
k
Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 20 : P[Y = k] = e−λ λk! pour tout k ∈ N.
a) Démontrer que E(Y ) = 20.
b) On considère la variable aléatoire X représentant le nombre d'objets défectueux
produits par la chaîne A en une heure. Déterminer la probabilité sachant {Y = n}
de l'événement X = 0 et de l'événement X = n .
1
c) Soit n un entier naturel. On admet que sachant {Y = n} la variable aléatoire X suit
une loi binomiale : autrement dit pour tout k ≤ n
n k
P(Y =n) (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
pour un certain p ∈ [0, 1].
Déterminer p à l'aide de la question précédente.
d) Montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre λp = 2.
Indication :
Utiliser la formule des probabilités totales avec la famille d'événements
{Y = n}n∈N . Remarquer que P(Y =n) (X = k) = 0 si n ≤ k − 1 (le justier).
Exercice 3
On dispose de deux pièces A et B .
La pièce A est équilibrée, au sens où elle donne face et pile avec probabilité 21 .
La pièce B donne face avec probabilité p 6= 21 et pile avec probabilité 1 − p.
On eectue une succession de lancers selon le procédé suivant :
On choisit une des deux pièces A, B au hasard, on la lance
A chaque lancer, si on obtient face, on garde la pièce pour le lancer suivant, sinon on change
de pièce.
Pour tout entier naturel, on note An l'événement
le n-ième lancer se fait avec la pièce A Soit an = P[An ], l'objectif est d'étudier la suite (an , n ≥ 1).
1) Montrer que a1 = 21
2) Soit n ≥ 1, montrer que an+1 = 21 an + (1 − p)(1 − an ) = p − 12 an + 1 − p.
3) Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1
n−1 1 1−p
1−p
1
− 3
+ 3
an = p −
2
2
−p
−p
2
2
4) Déterminer la limite de (an , n ≥ 1).
Dans l'exercice 2, question 3-c), justier que sachant Y = n, la variable
aléatoire X est distribuée selon une loi binomiale.
Question bonus.
2