Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitre II
Topologie des espaces vectoriels normés
Table des matières
Partie A : Normes et espaces vectoriels normés 3
1. Dénitions de base et premières propriétés ............................ 3
2. Premiers exemples d’espaces vectoriels normés .......................... 4
3. Distance associée à une norme ................................... 7
4. Boules et sphères associées à une distance ............................. 7
5. Parties bornées, applications bornées ............................... 8
6. Constructions d’espaces vectoriels normés ............................. 9
Partie B : Suites dans un espace vectoriel normé 11
1. Suites convergentes ......................................... 11
2. Opérations algébriques sur les suites convergentes ........................ 12
3. Suites extraites et valeurs d’adhérence ............................... 14
Partie C : Topologie d’un espace vectoriel normé 15
1. Ouverts ................................................ 16
2. Fermés ................................................ 16
3. Voisinages .............................................. 17
4. Topologie d’un espace produit ................................... 18
5. Intérieur ............................................... 18
6. Adhérence .............................................. 18
7. Frontière ............................................... 19
8. Caractérisation séquentielle des fermés .............................. 20
9. Densité ................................................ 20
10. Ouverts, fermés et voisinages relatifs ............................... 20
Partie D : Comparaison de normes 21
1. Domination de normes ....................................... 21
2. Normes équivalentes ......................................... 23
Partie E : Limites et continuité 25
1. Limite d’une application ...................................... 25
2. Propriétés des limites ........................................ 27
3. Applications continues ....................................... 28
4. Applications lipschitziennes ..................................... 29
5. Continuité et topologie ....................................... 30
6. Continuité uniforme ......................................... 30
7. Continuité et applications linéaires ................................. 31
1

Partie F : Compacité 32
1. Dénition ............................................... 32
2. Propriétés .............................................. 32
3. Applications continues sur un compact .............................. 33
Partie G : Connexité par arcs 33
1. Chemins ............................................... 34
2. Connexité par arcs et composantes connexes par arcs ...................... 34
3. Parties étoilées ............................................ 35
4. Parties connexes par arcs de R................................... 35
5. Image continue d’une partie connexe par arcs ........................... 36
Partie H : Espaces vectoriels normés de dimension nie 36
1. Équivalence des normes en dimension nie ............................ 36
2. Conséquences topologiques ..................................... 37
3. Compacité en dimension nie .................................... 37
4. Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales .............. 38
2

Normes et espaces vectoriels normés
Partie A
Partie A
Dans cette partie, Edésigne un espace vectoriel sur K=Rou C.
1. Dénitions de base et premières propriétés
Dénition 1.
Dénition 1. gNormeNorme
On appelle norme sur l’espace vectoriel, une application N:E→Rqui vérie les axiomes
suivants :
i) (Positivité) pour tout x∈E,
N(x)≥0;
ii) (Séparation) pour tout x∈E,
N(x) = 0 implique x= 0E;
iii) (Homogénéité) pour tous x∈E,λ∈K,
N(λx) = |λ|N(x);
iv) (Inégalité triangulaire) pour tous x, y ∈E,
N(x+y)≤N(x) + N(y).
Si Nest une norme sur E, le couple (E, N)est appelé espace vectoriel normé.
Il est souvent d’usage de noter ∥·∥d’un espace vectoriel normé et donc ∥x∥la norme d’un vecteur x
de E.
Proposition 1.
Proposition 1.
Soit Nune norme sur E. Alors N(0E) = 0 et que pour tout x∈E,N(−x) = N(x).
Exemple 1.
Exemple 1.
Soit <·,·>un produit scalaire sur Eet ∥ · ∥ sa norme associée (i.e. x7→ ∥x∥=√< x, x >).
La terminologie utilisée est bien justiée : en eet, ∥·∥est bien une norme sur Eau sens de la
dénition 1.
3

Proposition 2.
Proposition 2. gSeconde Inégalité triangulaireSeconde Inégalité triangulaire
Soit Nune norme sur E. Pour tous x, y ∈Eon a :
|N(x)−N(y)| ≤ N(x−y)≤N(x) + N(y).
Dénition 2.
Dénition 2. gVecteur unitaireVecteur unitaire
Soit Nune norme sur E.
On dit qu’un vecteur xde Eest unitaire si N(x) = 1.
Notation 1.
Notation 1. gBoule et sphère unitéBoule et sphère unité
Soit Nune norme sur E. On note :
—S(0E,1) = {x∈E|N(x) = 1}; on appelle cet ensemble sphère unité de E;
—Bf(0E,1) = {x∈E|N(x)≤1}; on appelle cet ensemble boule unité fermée de E;
—B(0E,1) = {x∈E|N(x)<1}; on appelle cet ensemble boule unité ouverte de E;
Dénition 3.
Dénition 3.
Soit Nune norme sur Eet x∈Eun vecteur non nul.
On appelle vecteur unitaire associé à xle vecteur unitaire 1
N(x)x.
Remarque 1.
Remarque 1.
Pour x̸= 0E, le vecteur unitaire associé à xest clairement colinéaire à x.
Si K=R, il n’existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à x:
1
N(x)xet −1 N(x)x.
Dans le cas où K=C, il en a une innité : ce sont exactement les
eit
N(x)xpour t∈[0,2π[.
2. Premiers exemples d’espaces vectoriels normés
Quelques normes sur Kn
Sur l’espace vectoriel Knil existe de nombreuses normes qui permettent de le munir d’une structure
d’espace vectoriel normé. En voici quelques unes parmi les plus fréquemment ”rencontrées” :
4

Dénition 4.
Dénition 4. gNormes usuelles sur Kn
Normes usuelles sur Kn
Soit x= (x1, ..., xn)un vecteur de Kn. On dénit :
— La norme un, notée ∥·∥1:
∥x∥1=
n
i=1 |xi|=|x1|+... +|xn|.
— La norme deux, notée ∥·∥2:
∥x∥2=
n
i=1 |xi|2=|x1|2+... +|xn|2.
— La norme innie, notée ∥·∥∞:
∥x∥∞=max
1≤i≤n(|xi|) = max(|x1|, ..., |xn|).
On remarque immédiatement que dans le cas K=R, la norme deux correspond à la norme
euclidienne sur Rn.
Proposition 3.
Proposition 3.
Les normes un, deux, et inni sont bien des normes sur Rn.
Remarque 2.
Remarque 2.
Soit p≥1un réel. On peut généraliser l’idée des normes un et deux : on montrera en exercice
que
x= (x1, ..., xn)7→ ∥x∥p=n
i=1
xp
i1
p
est une norme sur Kn. On l’appelle la norme p.
Exemples de normes sur des espaces de suites
On considère l’espace vectoriel KNdes suites indexées par Net à valeurs dans K. On dénit les normes
suivantes sur certains de ses sous-espaces :
Dénition 5.
Dénition 5.
— On note ℓ1(K)l’ensemble des suites u= (un)de KNtelles que la série unest absolu-
ment convergente. On dénit la norme un, notée ∥·∥1sur ℓ1(K)par :
Pour u= (un)∈ℓ1(K),∥u∥1=
∞
n=0 |un|.
— On note ℓ2(K)l’ensemble des suites u= (un)de KNtelles que la série u2
nest absolu-
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