Le fichier (79 pages)

Théorie de Galois élémentaire
Colas Bardavid
[email protected]
hx4 - mp?4
mai 2000

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Je tiens à remercier Paul Poncet pour le temps de travail qu’il a partagé avec moi, pour son soutien,
pour les discussions que l’on a eues ensemble, MM. Franck Taieb, Nicolas Tosel et Miguel Concy pour
leurs cours et conseils, Medhi Tibouchi pour sa participation, via l’historique, et Alexandre Gerussi pour
son aide à la mise en pages du document.
Pour ce qui est de la présentation de la théorie de Galois choisie ici, il faut préciser qu’elle est redevable
de celles de [6] et [7].
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Table des matières
1 Problématique 9
1.1 Petit historique des équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Le problème en termes mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Plan d’attaque du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Éléments de théorie des corps 11
2.1 Généralités........................................ 11
2.1.1 Caractéristique d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Anneaux, quotientage et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Extensions de corps - Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Extensions et éléments algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Corps de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Prolongement des morphismes et questions d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Cas des extensions finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 Cas des extensions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Éléments de théorie des groupes 23
3.1 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Groupe résoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Non-résolubilité de Snpour n≥5 ........................... 28
4 Extensions de corps finies 31
4.1 Différenciation formelle et caractéristique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Étude de HomK(L, K ).................................. 33
4.3 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1 Éléments conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.3 Clôture normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Groupe de Galois 39
5.1 Le groupe de Galois comme sous-groupe de Sn..................... 39
5.2 Le groupe de Galois comme sous-groupe de Aut(K).................. 41
5.3 Propriétés du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 Groupe de Galois et irréductibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.2 Groupe de Galois et extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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