Résolubilité par radicaux 1 Extensions composées

2016-2017 M401
Université Lille 1 Algèbre
Résolubilité par radicaux
1 Extensions composées
Exercice 1.
Soient k⊂Ωune extension et k⊂K⊂Ω,k⊂K0⊂Ωdeux extensions
intermédiaires. On suppose que [K:k]et [K0:k]sont finis et premiers entre
eux.
1. Montrer que K∩K0=k.
2. Montrer que [KK0:k] = [K:k][K0:k].
Exercice 2.
Soient k=Q,K=Q(3
√2),K0=Q(j3 √2), où j=e2iπ
3.
1. A-t-on [KK0:K0]|[K:k]?
2. Calculer K∩K0. A-t-on [KK0:k] = [K:k][K0:k]?
Exercice 3. Soient k⊂Ωune extension et k⊂K⊂Ω,k⊂K0⊂Ωdeux
extensions intermédiaires. On suppose que K/k et K0/k sont galoisiennes et
finies. On s’intéresse au morphisme
Φ : Gal(KK0/k)→Gal(K/k)×Gal(K0/k)
donné par double restriction Φ(σ)=(σ|K, σ|K0).
1. Montrer que Φest bien défini et injectif.
2. Montrer que Im Φ est inclus dans le sous-groupe
G=n(σ1, σ2)∈Gal(K/k)×Gal(K0/k)/(σ1)|K∩K0= (σ2)|K∩K0o
3. Soit Ψle morphisme
Gal(K/k)×Gal(K0/k)→Gal(K∩K0/k)×Gal(K∩K0/k)
donné par Ψ(σ1, σ2) = ((σ1)|K∩K0,(σ2)|K∩K0). Montrer que si H=
{(τ, τ ), τ ∈Gal(K∩K0/k)×Gal(K∩K0/k)}alors G=ψ−1H.
4. Montrer que Ψest surjectif et calculer # ker Ψ.
5. En déduire #Gpuis que φinduit un isomorphisme de Gal(KK0/k)
dans G.
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2 Extensions cycliques
Exercice 4.
Soient Kun corps contenu dans C, et contenant une racine primitive n-ième
de l’unité ζ,Lune extension cyclique de Kde degré n, de groupe de Galois
Gde générateur σ. On considère σcomme endomorphisme du K-espace
vectoriel L.
1. Montrer que les valeurs propres de σsont des racines n-ièmes de
l’unité et que 1est valeur propre de σ.
2. Montrer que σest diagonalisable.
3. En déduire que 1ne peut être la seule valeur propre de σ.
4. Montrer que les valeurs propres de σforment un groupe cyclique égal
au groupe µndes racines n-ièmes de l’unité.
5. Montrer qu’il existe adans Ket bdans Ltels que bn=aet L=K(b).
Exercice 5 (Extensions “cycliques” de degré 3 de Q).
1. Soient a∈Qet Pa(X) = X3−a∈Q[X].
(a) Donner une condition sur apour que Pasoit irréductible sur Q.
(b) Montrer que si Paest irréductible son groupe de Galois n’est ja-
mais cyclique.
2. Soit R(X) = X3−3X+ 1 ∈Q[X]. Vérifier que Rest irréductible sur
Qet calculer son discriminant. En déduire que le groupe de Galois de
Rest cyclique d’ordre 3.
Le corps des racines de Rest une extension galoisienne de Qde degré 3, de
groupe de Galois “cyclique”, mais il n’existe pas de polynôme “cyclique” Pa
dont il soit corps des racines.
3 Extensions d’Artin-Schreier
Exercice 6.
Soit ppremier, kun corps de caractéristique p, et a∈k. On note P=
Xp−X−adans k[X]. On suppose que Pn’a pas de racine dans k. Soit
K= deck(P).
1. Soit x∈Kune racine de P. Montrer que les autres racines sont de
la forme x+l, où 06l6p−1.
2. Montrer que Pest irréductible sur k(si Qest un diviseur de degré d,
considérer son terme de degré d−1).
3. Autre preuve de l’irréductibilité : si x+u,16u6p−1est une autre
racine de Px,k, montrer qu’il existe σ∈Gal(K/k)tel que σ(x) = x+u.
En déduire qu’il existe τ∈Gal(K/k)tel que τ(x) = x+1 et conclure.
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4. Montrer que K=k[x]et que Gal(K/k)'Z/pZ.
Exercice 7.
Soit kun corps de caractéristique p > 0et K/k une extension galoisienne finie
de groupe de Galois isomorphe à Z/pZ. Soit σun générateur de Gal(K/k).
1. Montrer qu’il existe x∈Ktel que Pp−1
i=0 σi(x)=1.
2. On pose α=Pp−1
i=0 iσi(x). Calculer σ(α). En déduire que α /∈ket
a=αp−α∈k.
3. Montrer que K=k[α]et que Pα,K =Xp−X−a.
4 Extensions radicales
Exercice 8.
Soit kun corps, a∈k∗,n∈N∗, non divisible par la caractéristique de k, et
P=Xn−a∈k[X].
1. Montrer que Pest séparable.
2. Soit K= deckPet K0= deck(Xn−1). Montrer que K0⊂K.
3. On note µn=µn(K0). Montrer que si m∈(Z/nZ)∗, alors ζ7→
ζmdéfinit un automorphisme de µn. En déduire un isomorphisme
(Z/nZ)∗'Aut µn.
4. Montrer que les extensions K0/k et K/K0sont galoisiennes et iden-
tifier leurs groupes de Galois à des sous-groupes A < (Z/nZ)∗et
B < µn.
5. Montrer que l’isomorphisme (Z/nZ)∗'Aut µnse restreint, en un
sens à préciser, en un morphisme φ:A→Aut B.
6. Démontrer que Gal(K/k)est isomorphe au produit semi-direct Boφ
A.
7. On suppose [K0:k]premier à net Pirréductible dans k[X]. Montrer
que Pest irréductible dans K0[X]et que B=µn.
8. Application : k=Qet P=X7−2. Montrer que Gal(K/k)est d’ordre
42 et qu’il est isomorphe au groupe des permutations de Z/7Zde la
forme n7→ an +bpour a∈(Z/7Z)∗et b∈Z/7Z.
5 Polynômes résolubles
Exercice 9.
Montrer que les polynômes suivants ne sont pas résolubles par radicaux sur
Q:
1. X5−14X+ 7,
2. X5−7X2+ 7,
3

3. X7−10X5+ 15X+ 5.
Exercice 10.
Soit Pun polynôme irréductible de Q[X]de degré premier p>5. On sup-
pose que Pa exactement deux racines non réelles. Montrer que Pn’est pas
résoluble par radicaux.
Exercice 11.
Cet exercice est la suite de l’exercice 7 "Nombres algébriques de degré 4non
constructibles I" de la feuille "Nombres constructibles". On avait montré que
si P=X4−X−1∈Q[X], au moins une des racines réelles de Pn’est pas
constructible.
1. Montrer qu’aucune des racines de Pn’est constructible.
2. Déterminer le groupe de Galois du corps de décomposition de Psur
Q.Pest il résoluble ?
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