Résolubilité par radicaux 1 Extensions composées

2016-2017
Université Lille 1
M401
Algèbre
Résolubilité par radicaux
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Extensions composées
Exercice 1.
Soient k ⊂ Ω une extension et k ⊂ K ⊂ Ω, k ⊂ K 0 ⊂ Ω deux extensions
intermédiaires. On suppose que [K : k] et [K 0 : k] sont finis et premiers entre
eux.
1. Montrer que K ∩ K 0 = k.
2. Montrer que [KK 0 : k] = [K : k][K 0 : k].
Exercice 2.
√
√
2iπ
Soient k = Q, K = Q( 3 2), K 0 = Q(j 3 2), où j = e 3 .
1. A-t-on [KK 0 : K 0 ]|[K : k] ?
2. Calculer K ∩ K 0 . A-t-on [KK 0 : k] = [K : k][K 0 : k] ?
Exercice 3. Soient k ⊂ Ω une extension et k ⊂ K ⊂ Ω, k ⊂ K 0 ⊂ Ω deux
extensions intermédiaires. On suppose que K/k et K 0 /k sont galoisiennes et
finies. On s’intéresse au morphisme
Φ : Gal(KK 0 /k) → Gal(K/k) × Gal(K 0 /k)
donné par double restriction Φ(σ) = (σ|K , σ|K 0 ).
1. Montrer que Φ est bien défini et injectif.
2. Montrer que Im Φ est inclus dans le sous-groupe
n
o
G = (σ1 , σ2 ) ∈ Gal(K/k) × Gal(K 0 /k)/ (σ1 )|K∩K 0 = (σ2 )|K∩K 0
3. Soit Ψ le morphisme
Gal(K/k) × Gal(K 0 /k) → Gal(K ∩ K 0 /k) × Gal(K ∩ K 0 /k)
donné par Ψ(σ1 , σ2 ) = ((σ1 )|K∩K 0 , (σ2 )|K∩K 0 ). Montrer que si H =
{(τ, τ ), τ ∈ Gal(K ∩ K 0 /k) × Gal(K ∩ K 0 /k)} alors G = ψ −1 H.
4. Montrer que Ψ est surjectif et calculer # ker Ψ.
5. En déduire #G puis que φ induit un isomorphisme de Gal(KK 0 /k)
dans G.
1
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Extensions cycliques
Exercice 4.
Soient K un corps contenu dans C, et contenant une racine primitive n-ième
de l’unité ζ, L une extension cyclique de K de degré n, de groupe de Galois
G de générateur σ. On considère σ comme endomorphisme du K-espace
vectoriel L.
1. Montrer que les valeurs propres de σ sont des racines n-ièmes de
l’unité et que 1 est valeur propre de σ.
2. Montrer que σ est diagonalisable.
3. En déduire que 1 ne peut être la seule valeur propre de σ.
4. Montrer que les valeurs propres de σ forment un groupe cyclique égal
au groupe µn des racines n-ièmes de l’unité.
5. Montrer qu’il existe a dans K et b dans L tels que bn = a et L = K(b).
Exercice 5 (Extensions “cycliques” de degré 3 de Q).
1. Soient a ∈ Q et Pa (X) = X 3 − a ∈ Q[X].
(a) Donner une condition sur a pour que Pa soit irréductible sur Q.
(b) Montrer que si Pa est irréductible son groupe de Galois n’est jamais cyclique.
2. Soit R(X) = X 3 − 3X + 1 ∈ Q[X]. Vérifier que R est irréductible sur
Q et calculer son discriminant. En déduire que le groupe de Galois de
R est cyclique d’ordre 3.
Le corps des racines de R est une extension galoisienne de Q de degré 3, de
groupe de Galois “cyclique”, mais il n’existe pas de polynôme “cyclique” Pa
dont il soit corps des racines.
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Extensions d’Artin-Schreier
Exercice 6.
Soit p premier, k un corps de caractéristique p, et a ∈ k. On note P =
X p − X − a dans k[X]. On suppose que P n’a pas de racine dans k. Soit
K = deck (P ).
1. Soit x ∈ K une racine de P . Montrer que les autres racines sont de
la forme x + l, où 0 6 l 6 p − 1.
2. Montrer que P est irréductible sur k (si Q est un diviseur de degré d,
considérer son terme de degré d − 1).
3. Autre preuve de l’irréductibilité : si x + u, 1 6 u 6 p − 1 est une autre
racine de Px,k , montrer qu’il existe σ ∈ Gal(K/k) tel que σ(x) = x+u.
En déduire qu’il existe τ ∈ Gal(K/k) tel que τ (x) = x + 1 et conclure.
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4. Montrer que K = k[x] et que Gal(K/k) ' Z/pZ.
Exercice 7.
Soit k un corps de caractéristique p > 0 et K/k une extension galoisienne finie
de groupe de Galois isomorphe à Z/pZ. Soit σ un générateur de Gal(K/k).
P
i
1. Montrer qu’il existe x ∈ K tel que p−1
i=0 σ (x) = 1.
Pp−1 i
2. On pose α = i=0 iσ (x). Calculer σ(α). En déduire que α ∈
/ k et
p
a = α − α ∈ k.
3. Montrer que K = k[α] et que Pα,K = X p − X − a.
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Extensions radicales
Exercice 8.
Soit k un corps, a ∈ k ∗ , n ∈ N∗ , non divisible par la caractéristique de k, et
P = X n − a ∈ k[X].
1. Montrer que P est séparable.
2. Soit K = deck P et K 0 = deck (X n − 1). Montrer que K 0 ⊂ K.
3. On note µn = µn (K 0 ). Montrer que si m ∈ (Z/nZ)∗ , alors ζ 7→
ζ m définit un automorphisme de µn . En déduire un isomorphisme
(Z/nZ)∗ ' Aut µn .
4. Montrer que les extensions K 0 /k et K/K 0 sont galoisiennes et identifier leurs groupes de Galois à des sous-groupes A < (Z/nZ)∗ et
B < µn .
5. Montrer que l’isomorphisme (Z/nZ)∗ ' Aut µn se restreint, en un
sens à préciser, en un morphisme φ : A → Aut B.
6. Démontrer que Gal(K/k) est isomorphe au produit semi-direct B oφ
A.
7. On suppose [K 0 : k] premier à n et P irréductible dans k[X]. Montrer
que P est irréductible dans K 0 [X] et que B = µn .
8. Application : k = Q et P = X 7 −2. Montrer que Gal(K/k) est d’ordre
42 et qu’il est isomorphe au groupe des permutations de Z/7Z de la
forme n 7→ an + b pour a ∈ (Z/7Z)∗ et b ∈ Z/7Z.
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Polynômes résolubles
Exercice 9.
Montrer que les polynômes suivants ne sont pas résolubles par radicaux sur
Q:
1. X 5 − 14X + 7,
2. X 5 − 7X 2 + 7,
3
3. X 7 − 10X 5 + 15X + 5.
Exercice 10.
Soit P un polynôme irréductible de Q[X] de degré premier p > 5. On suppose que P a exactement deux racines non réelles. Montrer que P n’est pas
résoluble par radicaux.
Exercice 11.
Cet exercice est la suite de l’exercice 7 "Nombres algébriques de degré 4 non
constructibles I" de la feuille "Nombres constructibles". On avait montré que
si P = X 4 − X − 1 ∈ Q[X], au moins une des racines réelles de P n’est pas
constructible.
1. Montrer qu’aucune des racines de P n’est constructible.
2. Déterminer le groupe de Galois du corps de décomposition de P sur
Q. P est il résoluble ?
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