Éxercices supplémentaires de théorie de Galois

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Éxercices supplémentaires de théorie de Galois
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Extensions de corps
Exercice 1 - Extensions algébriques.
1. Montrer que l’extension de corps L/k est algébrique si et seulement si L est engendré sur k par
des éléments algébriques.
2. Montrer qu’une extension L/k finie est algébrique.
3. Étudier la réciproque : une extension algébrique est-elle finie ?
4. Soit L une extension algébrique de k. Montrer que L/k est de type fini si et seulement si L/k est
finie.
5. Soit L0 une extension de L, montrer que L0 /k est algébrique si et seulement si L0 /L et L/k le
sont.
Exercice 2 - Deux réalisations de C.
1. On considère l’ensemble C1 = R2 muni de la loi d’addition usuelle, de la seconde loi interne
(x, y) × (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 ) et du morphisme i1 : x ∈ R 7−→ (x, 0) ∈ C1 . Vérifier que
(C1 , i1 ) est une extension de R et que la structure naturelle de R-espace vectoriel sur C1 coïncide
avec celle donnée par l’extension.
2. Justifier que C2 = R[X]/(X 2 + 1) est une extension de R. Quel est le morphisme de R dans C2
sous-jacent à cette extension ?
3. Vérifier que C1 et C2 sont deux extensions R-isomorphes.
Exercice 3 - Conservation de l’irréductibilité dans une extension.
1. Montrer que si P ∈ k[X] est un polynôme irréductible de degré n et K une extension de degré
m, avec (m, n) = 1, alors P est irréductible sur K.
2. Vérifier que l’hypothèse (m, n) = 1 est nécessaire.
Exercice 4 Soit k un corps, a ∈ k et m et n deux entiers premiers entre eux. Montrer que X mn − a
est irréductible sur k si et seulement si X n − a et X m − a le sont.
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Clôtures algébriques
Exercice 5 - Extensions algébriques de R.
Montrer que les seules extensions algébriques de R sont R et C.
Exercice 6
Soit L une extension algébrique de k. Montrer que L et k ont même clôture algébrique.
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Exercice 7 - Clôture algébrique de Fp . Soit p un nombre premier.
1. Un corps fini peut-il être algébriquement clos ?
2. Montrer que Fpn ⊂ Fpn! , pour n ∈ N? .
3. Montrer que K = ∪n>1 Fpn! est muni naturellement d’une structure de corps. En déduire que K
est une clôture algébrique de tout corps fini de caractéristique p.
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Corps finis
Exercice 8 - Sous-corps de F4096 .
Donner la liste des sous-corps de F4096 ainsi que leurs inclusions respectives.
Exercice 9 - Facteurs invariants d’un corps fini. Soit p un nombre premier, n ∈ N? et q = pn . Quels
sont les facteurs invariants des deux groupes abéliens (Fq , +) et (F?q , ×) ?
Exercice 10 - Cyclotomie dans les corps finis.
cyclotomiques sur Q, pour n ∈ N∗ :
Φn ∈ Z[X],
deg Φn = ϕ(n),
On rappelle les propriétés suivantes des polynômes
Xn − 1 =
Y
Φd
et
Φn est irréductible sur Q.
d|n
1. Soit k un corps de caractéristique p positive et n ∈ N. Existe-t-il une extension de k contenant
des racines primitives n-ième de l’unité ? (Indication : on pourra écrire n = pr m avec (p, m) = 1.)
On suppose dorénavant n premier à p, on fixe q une puissance de p et on note r l’ordre de q dans
(Z/nZ)? . Pour tout d ∈ N? , on définit Φd ∈ Fp [X] comme le polynôme obtenu à partir de Φd ∈ Z[X]
en réduisant ses coefficients modulo p. On fixe P un facteur irréductible de Φn ∈ Fq [X], de degré noté
s, et x ∈ Fq [X]/(P ) une racine de P .
2. Montrer que X n − 1 ∈ Fq [X] est sans facteur carré et que les racines de Φn dans Fq sont les
racines primitives n-ièmes de l’unité de Fq .
3. Montrer que xq
s −1
= 1 et en déduire que n|q s − 1, puis que s > r.
r
4. Montrer que xq = x et en déduire que s = r.
5. En déduire que Φn se décompose sur Fq en le produit de ϕ(n)/r polynômes irréductibles distincts
de degré r.
6. Montrer que le polynôme X 4 + 1 est irréductible sur Q tandis qu’il est réductible pour tout
nombre premier p sur Fp . Généraliser.
7. Quel est le cardinal de la plus petite extension de Fq contenant les racines n-ième de l’unité ?
8. Illustrons ce qui précède avec le corps F16 .
a) Déterminer la factorisation de X 16 − X sur F2 .
b) En déduire les polynômes de F2 [X] permettant de construire F16 comme extension de F2
∗ ).
(resp. pour lesquelles la classe de X est un générateur de F16
∗ .
c) Préciser le degré sur F2 et l’ordre de chaque élément de F16
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Exercice 11 - Polynômes irréductibles sur les corps finis. Soit q une puissance d’un nombre premier.
Pour n ∈ N? , on note Irr(n, q) l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré n de Fq [X] et
I(n, q) le cardinal de cet ensemble.
n
1. Montrer que, pour P ∈ Irr(d, q), P | X q − X si et seulement si d | n.
n
2. En déduire la factorisation en irréductibles de X q − X sur Fq .
3. Trouver un équivalent de I(n, q) quand n tend vers l’infini et en déduire un algorithme de génération de polynômes irréductibles sur Fq .
4. Déterminer le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré 3 et de degré 4 sur F3 .
Exercice 12 - Fonctions polynomiales sur un corps fini. Soit k un corps et
k[X1 , . . . , Xn ] −→ F(k n , k)
ϕ : , où Pe désigne la fonction polynomiale associée à P.
P
7−→
Pe
1. Montrer que ϕ est un morphisme de k-algèbres.
2. Montrer que cette application est injective lorsque k est infini.
On suppose désormais que k est le corps fini Fq .
3. Montrer que le noyau de ϕ est l’idéal (X1q − X1 , . . . , Xnq − Xn ) et que ϕ est surjective.
(Indication : on pourra s’intéresser aux fonctions associées aux polynômes 1 − (X − a)q−1 pour
construire les indicatrices des points de Fq .)
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Groupes de Galois
Exercice 13 - Sous-groupes transitifs de Sn . Rappelons qu’un sous-groupe G de Sn est dit k-transitif
lorsque son action sur {1, . . . , n}k est transitive.
1. Pourquoi est-il suffisant de déterminer les sous-groupes transitifs de Sn à conjugaison près ?
2. Montrer que, pour un sous-groupe transitif G de Sn , n divise l’ordre de G.
3. Montrer que, pour n > 1 (resp. 3), Sn est n-transitif (resp. An est n − 2-transitif).
4. Déterminer les sous-groupes transitifs de S2 et S3 .
5. Pour S4 , nous allons montrer qu’un sous-groupe transitif G est conjugué à l’un des cinq sousgroupes suivants :
C = h(1 2 3 4)i,
V = h(1 2)(3 4), (1 3)(2 4)i,
D = h(1 2 3 4), (1 3)i,
A4
ou S4 .
a) Vérifier que ces sous-groupes conviennent.
b) Montrer que |D| = 8 et, après avoir décrit les commutants des éléments d’ordre 2 de S4 ,
réaliser D comme l’un d’entre eux. Conclure alors si |G| | 8.
(Indication : le centre d’un p-groupe est non trivial.)
c) Conclure, après avoir montré que An est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn .
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Exercice 14 - Gal(k(X)/k).
coefficients dans k.
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Soit k un corps et K = k(X) le corps des fractions rationnelles à
1. Soit F ∈ K une fraction rationnelle non constante et écrivons F = A/B, où A et B sont deux
polynômes premiers entre eux. Montrer que le polynôme P = A(X) − B(X)Y est irréductible
dans k[X, Y ].
2. En déduire que X est algébrique sur k(F ), de degré max {deg A, deg B}.
a b
3. Soit f un k-automorphisme de K. Montrer qu’il existe une matrice
de GL2 (k) telle que
c c
f (X) = (aX + b)/(cX + d).
4. En déduire que le groupe Gal(k(X)/k) est isomorphe au groupe PGL2 (k).
5. Soit τ : X 7−→ 1/X et σ : X 7−→ 1 − 1/X ∈ Gal(K/k). Montrer que H = hτ, σi ' D3 et que
2 −X+1)3
F = (X
∈ K H . Déterminer [K : k(F )] et [k(F ) : k].
X 2 (X−1)2
Exercice 15 - Finitude vs degré.
Soit K/k une extension algébrique séparable et n ∈ N tels que tout élément de K soit de degré au
plus n sur k. Montrer que [K : k] 6 n.
Exercice 16 - Extensions radicielles. Soit k un corps d’exposant caractéristique p ∗ et E une extension
de k. On notera que les résultats qui suivent sont triviaux lorsque p vaut 1 !
m
Définition 1 x ∈ E est dit radiciel sur k lorsqu’il existe m ∈ N tel que xp ∈ k ; le plus petit de ces
entiers s’appelle la hauteur de x (sur k).
E est dite radicielle sur k lorsque tout élément de E est radiciel sur k. Le cas échéant, E est dite
de hauteur finie lorsque l’ensemble des hauteurs des éléments de E est majoré et on appelle hauteur
de E le maximum des hauteurs de ses éléments.
e
1. Soit a ∈ k tel que a ∈
/ k p , montrer que, pour tout e ∈ N, X p − a est irréductible dans k[X].
2. Soit x ∈ E un élément radiciel sur k de hauteur e, montrer que [k(x) : k] = pe .
3. Quelles sont les extensions radicielles d’un corps parfait ?
4. Une extension radicielle est-elle algébrique ?
5. Établir que si F/E et E/k sont radicielles, il en va de même de F/k.
Pour n ∈ N, on note En l’ensemble des éléments de E radiciels de hauteur 6 n et E∞ l’ensemble des
éléments radiciels de E sur k.,
6. Montrer que (En )n∈N est une suite croissante de sous-extensions de E, de réuninon E∞ , et que
E∞ est la plus grande extension radicielle de k contenue dans E.
7. Établir que si E est engendré sur k par un ensemble d’éléments radiciels de hauteurs 6 n, alors
E est radicielle sur k de hauteur 6 n.
8. Montrer que si E est une extension radicielle finie de k, alors [E : k] est une puissance de p.
∗. L’exposant caractéristique d’un corps k est l’entier égal à 1 si k est de caractéristique 0, et à la caractéristique de
k si celle-ci est non nulle.
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Exercice 17 - Une extension finie non simple.
1. Montrer que toute extension finie d’un corps fini est une extension simple.
2. Soit k un corps de caractéristique p et k(z) une extension de k telle que z ∈
/ k(z p ). Montrer que
p
[k(z) : k(z )] = p.
Soit K = Fp (X, Y ) et k = Fp (X p , Y p ).
3. Montrer que [K : k] = p2 .
4. Montrer que, pour tout x ∈ K, on a [k(x) : k] ∈ {1, p}. En déduire que K/k est une extension
algébrique de type fini qui n’est pas simple.
Exercice 18 - Groupe de Galois d’un polynôme réductible.
Soit P = (X 2 + 3)(X 3 − 3X + 1) ∈ Q[X] et G le groupe de Galois de P sur Q.
1. Montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Z/2Z × S3 .
2. Calculer l’ordre de G.
3. G est-il abélien ? Cyclique ?
4. Reprendre l’exercice avec P = (X 2 + 3)(X 3 − 5).
Exercice 19 - Discriminant et groupe de Galois (suite de l’exercice 6.5).
3. Illustrons ce qui précède avec le cas n = 3 et en supposant toujours k de caractéristique différente
de 2.
a) Démontrer que
— si ∆(f ) est un carré dans k, alors Gal(K/k) ' A3 et, pour tout 1 6 i 6 3, K = k(αi ).
— si ∆(f ) n’est pas un carré dans k, alors Gal(K/k) ' S3 et, pour tout 1 6 i 6 3,
K = k(αi , δ(f )).
b) Montrer que, pour p, q ∈ k, ∆(X 3 + pX + q) = −4p3 − 27q 2 .
√
c) Déterminer K et Gal(K/k) pour f1 = X 3 −2 sur Q et Q(i 3) et pour f2 = X 3 + X 2 − 2X − 1
sur Q.
Exercice 20 - Polynômes irréductibles de degré premier non résolubles par radicaux.
Soit p un nombre premier et P ∈ Q[X] un polynôme irréductible séparable de degré p ayant deux
racines complexes conjuguées x1 et x2 et p − 2 racines réelles x3 , . . . , xp . On note K = Q(x1 , . . . , xp ) le
corps de décomposition de P sur Q dans C et on identifie naturellement Gal(K/Q) à un sous-groupe
de Sp .
1. Montrer que la permutation τ = (1 2) appartient à Gal(K/Q).
2. Montrer que Gal(K/Q) contient un p-cycle σ.
3. Montrer que σ et τ engendrent Sp et en déduire que Gal(K/Q) = Sp .
4. Montrer que X 5 − 6X + 3 n’est pas résoluble par radicaux.
Exercice 21 Soit k un corps, Ω une clôture algébrique de k et L une extension finie séparable de
k contenue dans Ω. Montrer qu’il existe une plus petite extension L ⊂ Lg ⊂ Ω telle que Lg /k soit
galoisienne.
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Exercice 22 Soit p1 , . . . , pn des nombres premiers distincts deux à deux. On désigne par K le corps
√
√
√
√
Q( p1 , . . . , pn ) et on note α = p1 + · · · + pn .
1. Montrer que l’extension K/Q est galoisienne.
√
√
2. Pour 0 6 j 6 n, on pose Kj = Q( p1 , . . . , pj ), avec la convention K0 = Q. Montrer, par
récurrence sur j, la propriété suivante :
∀ s ∈ N? , ∀ (i1 , . . . , is ), j < i1 < · · · < is 6 n,
√
/ Kj .
pi1 . . . pis ∈
3. En déduire que [K : Q] = 2n et déterminer une Q-base de K.
√
√
4. Montrer que, pour tout j ∈ {1, . . . , n}, il existe σj ∈ Gal(K/Q) tel que σj ( pj ) = − pj et
√
√
√
√
σj ( pl ) = pl , pour l 6= j. En déduire que, pour tout (ε1 , . . . , εn ) ∈ {±1}n , ε1 p1 + · · · + εn pn
est racine du polynôme minimal de α sur Q.
5. Montrer que K = Q(a).
6. Montrer que Gal(K/Q) est isomorphe à (Z/2Z)n .
7. Montrer que tout sous-corps de K est une extension galoisienne de Q.
Exercice 23 - Une extension galoisienne de Q de groupe de Galois quaternionique.
On se propose de démontrer que l’extension de corps
q
√
√
Q
(2 + 2)(3 + 6) /Q
est galoisienne de groupe de Galois H8 † .
√
√
1. Posons a = (2 + 2)(3 + 6) et K = Q(a). Montrer que K/Q est galoisienne de groupe de Galois
le produit de deux groupes cycliques d’ordre 2. On notera alors σi , σj , σk ∈ Gal(K/Q) les trois
éléments non triviaux.
2. Montrer que pour chaque σ ∈ {σi , σj , σk }, la quantité σ(a)/a est le carré d’un élément de K que
l’on précisera.
√
3. Soit d = a et L = Q(d). Montrer que d ∈
/ K (on pourra utiliser la question précédente).
Déterminer alors le groupe de Galois de L/K. On note τ son générateur considéré comme un
élément de Gal(L/Q) (dont Gal(L/K) est un sous-groupe).
4. Définir des automorphismes σ
ei et σ
ej de L qui prolongent σi et σj respectivement et poser
σ
ek = σ
ei σ
ej .
5. Conclure en déterminant la loi de groupe de Gal(L/Q).
†. Historiquement, cet exemple est dû à Dirichlet.
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