Éxercices supplémentaires de théorie de Galois

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Éxercices supplémentaires de théorie de Galois
1 Extensions de corps
Exercice 1 - Extensions algébriques.
1. Montrer que l’extension de corps L/k est algébrique si et seulement si Lest engendré sur kpar
des éléments algébriques.
2. Montrer qu’une extension L/k finie est algébrique.
3. Étudier la réciproque : une extension algébrique est-elle finie ?
4. Soit Lune extension algébrique de k. Montrer que L/k est de type fini si et seulement si L/k est
finie.
5. Soit L0une extension de L, montrer que L0/k est algébrique si et seulement si L0/L et L/k le
sont.
Exercice 2 - Deux réalisations de C.
1. On considère l’ensemble C1=R2muni de la loi d’addition usuelle, de la seconde loi interne
(x, y)×(x0, y0)=(xx0−yy0, xy0+yx0)et du morphisme i1:x∈R7−→ (x, 0) ∈C1. Vérifier que
(C1, i1)est une extension de Ret que la structure naturelle de R-espace vectoriel sur C1coïncide
avec celle donnée par l’extension.
2. Justifier que C2=R[X]/(X2+ 1) est une extension de R. Quel est le morphisme de Rdans C2
sous-jacent à cette extension ?
3. Vérifier que C1et C2sont deux extensions R-isomorphes.
Exercice 3 - Conservation de l’irréductibilité dans une extension.
1. Montrer que si P∈k[X]est un polynôme irréductible de degré net Kune extension de degré
m, avec (m, n)=1, alors Pest irréductible sur K.
2. Vérifier que l’hypothèse (m, n) = 1 est nécessaire.
Exercice 4 Soit kun corps, a∈ket met ndeux entiers premiers entre eux. Montrer que Xmn −a
est irréductible sur ksi et seulement si Xn−aet Xm−ale sont.
2 Clôtures algébriques
Exercice 5 - Extensions algébriques de R.
Montrer que les seules extensions algébriques de Rsont Ret C.
Exercice 6 Soit Lune extension algébrique de k. Montrer que Let kont même clôture algébrique.
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Exercice 7 - Clôture algébrique de Fp.Soit pun nombre premier.
1. Un corps fini peut-il être algébriquement clos ?
2. Montrer que Fpn⊂Fpn!, pour n∈N?.
3. Montrer que K=∪n>1Fpn!est muni naturellement d’une structure de corps. En déduire que K
est une clôture algébrique de tout corps fini de caractéristique p.
3 Corps finis
Exercice 8 - Sous-corps de F4096.
Donner la liste des sous-corps de F4096 ainsi que leurs inclusions respectives.
Exercice 9 - Facteurs invariants d’un corps fini. Soit pun nombre premier, n∈N?et q=pn. Quels
sont les facteurs invariants des deux groupes abéliens (Fq,+) et (F?
q,×)?
Exercice 10 - Cyclotomie dans les corps finis. On rappelle les propriétés suivantes des polynômes
cyclotomiques sur Q, pour n∈N∗:
Φn∈Z[X],deg Φn=ϕ(n), Xn−1 = Y
d|n
Φdet Φnest irréductible sur Q.
1. Soit kun corps de caractéristique ppositive et n∈N. Existe-t-il une extension de kcontenant
des racines primitives n-ième de l’unité ? (Indication : on pourra écrire n=prmavec (p, m)=1.)
On suppose dorénavant npremier à p, on fixe qune puissance de pet on note rl’ordre de qdans
(Z/nZ)?. Pour tout d∈N?, on définit Φd∈Fp[X]comme le polynôme obtenu à partir de Φd∈Z[X]
en réduisant ses coefficients modulo p. On fixe Pun facteur irréductible de Φn∈Fq[X], de degré noté
s, et x∈Fq[X]/(P)une racine de P.
2. Montrer que Xn−1∈Fq[X]est sans facteur carré et que les racines de Φndans Fqsont les
racines primitives n-ièmes de l’unité de Fq.
3. Montrer que xqs−1= 1 et en déduire que n|qs−1, puis que s>r.
4. Montrer que xqr=xet en déduire que s=r.
5. En déduire que Φnse décompose sur Fqen le produit de ϕ(n)/r polynômes irréductibles distincts
de degré r.
6. Montrer que le polynôme X4+ 1 est irréductible sur Qtandis qu’il est réductible pour tout
nombre premier psur Fp. Généraliser.
7. Quel est le cardinal de la plus petite extension de Fqcontenant les racines n-ième de l’unité ?
8. Illustrons ce qui précède avec le corps F16.
a) Déterminer la factorisation de X16 −Xsur F2.
b) En déduire les polynômes de F2[X]permettant de construire F16 comme extension de F2
(resp. pour lesquelles la classe de Xest un générateur de F∗
16).
c) Préciser le degré sur F2et l’ordre de chaque élément de F∗
16.
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Exercice 11 - Polynômes irréductibles sur les corps finis. Soit qune puissance d’un nombre premier.
Pour n∈N?, on note Irr(n, q)l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré nde Fq[X]et
I(n, q)le cardinal de cet ensemble.
1. Montrer que, pour P∈Irr(d, q),P|Xqn−Xsi et seulement si d|n.
2. En déduire la factorisation en irréductibles de Xqn−Xsur Fq.
3. Trouver un équivalent de I(n, q)quand ntend vers l’infini et en déduire un algorithme de géné-
ration de polynômes irréductibles sur Fq.
4. Déterminer le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré 3 et de degré 4 sur F3.
Exercice 12 - Fonctions polynomiales sur un corps fini. Soit kun corps et
ϕ:
k[X1, . . . , Xn]−→ F(kn, k)
P7−→ e P,où e
Pdésigne la fonction polynomiale associée à P.
1. Montrer que ϕest un morphisme de k-algèbres.
2. Montrer que cette application est injective lorsque kest infini.
On suppose désormais que kest le corps fini Fq.
3. Montrer que le noyau de ϕest l’idéal (Xq
1−X1, . . . , Xq
n−Xn)et que ϕest surjective.
(Indication : on pourra s’intéresser aux fonctions associées aux polynômes 1−(X−a)q−1pour
construire les indicatrices des points de Fq.)
4 Groupes de Galois
Exercice 13 - Sous-groupes transitifs de Sn.Rappelons qu’un sous-groupe Gde Snest dit k-transitif
lorsque son action sur {1, . . . , n}kest transitive.
1. Pourquoi est-il suffisant de déterminer les sous-groupes transitifs de Snà conjugaison près ?
2. Montrer que, pour un sous-groupe transitif Gde Sn,ndivise l’ordre de G.
3. Montrer que, pour n>1(resp. 3), Snest n-transitif (resp. Anest n−2-transitif).
4. Déterminer les sous-groupes transitifs de S2et S3.
5. Pour S4, nous allons montrer qu’un sous-groupe transitif Gest conjugué à l’un des cinq sous-
groupes suivants :
C=h(1 2 3 4)i, V =h(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)i, D =h(1 2 3 4),(1 3)i,A4ou S4.
a) Vérifier que ces sous-groupes conviennent.
b) Montrer que |D|= 8 et, après avoir décrit les commutants des éléments d’ordre 2 de S4,
réaliser Dcomme l’un d’entre eux. Conclure alors si |G| | 8.
(Indication : le centre d’un p-groupe est non trivial.)
c) Conclure, après avoir montré que Anest le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn.
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Exercice 14 - Gal(k(X)/k).Soit kun corps et K=k(X)le corps des fractions rationnelles à
coefficients dans k.
1. Soit F∈Kune fraction rationnelle non constante et écrivons F=A/B, où Aet Bsont deux
polynômes premiers entre eux. Montrer que le polynôme P=A(X)−B(X)Yest irréductible
dans k[X, Y ].
2. En déduire que Xest algébrique sur k(F), de degré max {deg A, deg B}.
3. Soit fun k-automorphisme de K. Montrer qu’il existe une matrice a b
c cde GL2(k)telle que
f(X) = (aX +b)/(cX +d).
4. En déduire que le groupe Gal(k(X)/k)est isomorphe au groupe PGL2(k).
5. Soit τ:X7−→ 1/X et σ:X7−→ 1−1/X ∈Gal(K/k). Montrer que H=hτ, σi ' D3et que
F=(X2−X+1)3
X2(X−1)2∈KH. Déterminer [K:k(F)] et [k(F) : k].
Exercice 15 - Finitude vs degré.
Soit K/k une extension algébrique séparable et n∈Ntels que tout élément de Ksoit de degré au
plus nsur k. Montrer que [K:k]6n.
Exercice 16 - Extensions radicielles. Soit kun corps d’exposant caractéristique p∗et Eune extension
de k. On notera que les résultats qui suivent sont triviaux lorsque pvaut 1 !
Définition 1 x∈Eest dit radiciel sur klorsqu’il existe m∈Ntel que xpm∈k; le plus petit de ces
entiers s’appelle la hauteur de x(sur k).
Eest dite radicielle sur klorsque tout élément de Eest radiciel sur k. Le cas échéant, Eest dite
de hauteur finie lorsque l’ensemble des hauteurs des éléments de Eest majoré et on appelle hauteur
de Ele maximum des hauteurs de ses éléments.
1. Soit a∈ktel que a /∈kp, montrer que, pour tout e∈N,Xpe−aest irréductible dans k[X].
2. Soit x∈Eun élément radiciel sur kde hauteur e, montrer que [k(x) : k] = pe.
3. Quelles sont les extensions radicielles d’un corps parfait ?
4. Une extension radicielle est-elle algébrique ?
5. Établir que si F/E et E/k sont radicielles, il en va de même de F/k.
Pour n∈N, on note Enl’ensemble des éléments de Eradiciels de hauteur 6net E∞l’ensemble des
éléments radiciels de Esur k.,
6. Montrer que (En)n∈Nest une suite croissante de sous-extensions de E, de réuninon E∞, et que
E∞est la plus grande extension radicielle de kcontenue dans E.
7. Établir que si Eest engendré sur kpar un ensemble d’éléments radiciels de hauteurs 6n, alors
Eest radicielle sur kde hauteur 6n.
8. Montrer que si Eest une extension radicielle finie de k, alors [E:k]est une puissance de p.
∗. L’exposant caractéristique d’un corps kest l’entier égal à 1 si kest de caractéristique 0, et à la caractéristique de
ksi celle-ci est non nulle.
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Exercice 17 - Une extension finie non simple.
1. Montrer que toute extension finie d’un corps fini est une extension simple.
2. Soit kun corps de caractéristique pet k(z)une extension de ktelle que z /∈k(zp). Montrer que
[k(z) : k(zp)] = p.
Soit K=Fp(X, Y )et k=Fp(Xp, Y p).
3. Montrer que [K:k] = p2.
4. Montrer que, pour tout x∈K, on a [k(x) : k]∈ {1, p}. En déduire que K/k est une extension
algébrique de type fini qui n’est pas simple.
Exercice 18 - Groupe de Galois d’un polynôme réductible.
Soit P= (X2+ 3)(X3−3X+ 1) ∈Q[X]et Gle groupe de Galois de Psur Q.
1. Montrer que Gest isomorphe à un sous-groupe de Z/2Z×S3.
2. Calculer l’ordre de G.
3. Gest-il abélien ? Cyclique ?
4. Reprendre l’exercice avec P= (X2+ 3)(X3−5).
Exercice 19 - Discriminant et groupe de Galois (suite de l’exercice 6.5).
3. Illustrons ce qui précède avec le cas n= 3 et en supposant toujours kde caractéristique différente
de 2.
a) Démontrer que
— si ∆(f)est un carré dans k, alors Gal(K/k)'A3et, pour tout 16i63,K=k(αi).
— si ∆(f)n’est pas un carré dans k, alors Gal(K/k)'S3et, pour tout 16i63,
K=k(αi, δ(f)).
b) Montrer que, pour p, q ∈k,∆(X3+pX +q) = −4p3−27q2.
c) Déterminer Ket Gal(K/k)pour f1=X3−2sur Qet Q(i√3) et pour f2=X3+X2−2X−1
sur Q.
Exercice 20 - Polynômes irréductibles de degré premier non résolubles par radicaux.
Soit pun nombre premier et P∈Q[X]un polynôme irréductible séparable de degré payant deux
racines complexes conjuguées x1et x2et p−2racines réelles x3, . . . , xp. On note K=Q(x1, . . . , xp)le
corps de décomposition de Psur Qdans Cet on identifie naturellement Gal(K/Q)à un sous-groupe
de Sp.
1. Montrer que la permutation τ= (1 2) appartient à Gal(K/Q).
2. Montrer que Gal(K/Q)contient un p-cycle σ.
3. Montrer que σet τengendrent Spet en déduire que Gal(K/Q) = Sp.
4. Montrer que X5−6X+ 3 n’est pas résoluble par radicaux.
Exercice 21 Soit kun corps, Ωune clôture algébrique de ket Lune extension finie séparable de
kcontenue dans Ω. Montrer qu’il existe une plus petite extension L⊂Lg⊂Ωtelle que Lg/k soit
galoisienne.
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