Equations Cartésiennes de Droites

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Equations Cartésiennes de Droites
Définition: Si le plan est muni d'un repère, alors une équation cartésienne d'une figure F est une
relation vérifiée par les coordonnées de tous les points de F, et seulement par les coordonnées des
points de F.
Première partie: droites parallèles aux axes
1. Lire les coordonnées des points A, B, C et D :
A(……… ;………) B(……… ;………) C(……… ;………) D(………;………)
2. Soit M(x ;y) un point quelconque de la droite d1 :
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre x ? ………………………………………………
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre y ? ………………………………………………
On dit que la droite d1 a pour équation cartésienne ……………………………………
3. Lire les coordonnées des points E, F et G :
E(……… ;………) F(……… ;………) G(……… ;………)
4. Soit M(x ;y) un point quelconque de la droite d2 :
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre x ? ………………………………………………
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre y ? ………………………………………………
On dit que la droite d2 a pour équation cartésienne ……………………………………
5. Déterminer les équations cartésiennes des droites d3 et d4 :
………………………………… et ……………………………………
6. Tracer les droites d5 et d6 d’équations respectives
2.5
x
= −
et
2 1 0
y
− =
.
Dans un repère du plan,
• les droites parallèles à l’axe des ordonnées ont une équation cartésienne du type
x a
=
, où a est un
nombre réel (c’est l’abscisse commune à tous les points de la droite).
• les droites parallèles à l’axe des abscisses ont une équation cartésienne du type
y b
=
, où b est un
nombre réel (c’est l’ordonnée commune à tous les points de la droite).

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Deuxième partie: droites sécantes aux axes
1. Lire les coordonnées des points A, B, H et I :
A(……… ;………) B(……… ;………) H(……… ;………) I(………;………)
2. Quelle relation simple existe-t-il entre l’abscisse x et l’ordonnée y d’un point quelconque de
la droite D
1
?…………………………………………………………………………………
On dit que la droite D
1
a pour équation cartésienne …………………………………………
3. Lire les coordonnées des points C, J et D :
C(……… ;………) J(……… ;………) D(……… ;………)
4. Vérifier que les coordonnées x et y de ces points vérifient la relation
0.5 2
y x
= +
:
…………………………………………………………………………………………………
On dit que la droite D
2
a pour équation cartésienne …………………………………………
5. Le point
(24;14)
P
est-il sur la droite D
2
? …………………………………………………
et le point
( 150; 72)
Q
− −
? ………………………………………………………………….
6. Lire les coordonnées des points C, F et E :
C(……… ;………) F(……… ;………) E(……… ;………)
7. Tous les points de la droite D
3
ont des coordonnées qui vérifient une relation du type
y ax b
= +
. Déterminer a et b : ……………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Dans un repère du plan, les droites non parallèles aux axes ont une équation cartésienne du type
y ax b
= +
, où a et b sont des nombres réels (a est le coefficient directeur (ou encore la pente ) de
la droite, b est son ordonnée à l’origine ).
• Pour calculer le coefficient directeur d’une droite passant par deux points M et N :
M N
M N
y y
a
x x
−
=
−
• Pour calculer l’ordonnée à l’origine de cette droite : Après avoir calculé a, on peut calculer b en
faisant
M M
b y ax
= −
ou
N N
b y ax
= −
(on remplace y et x par les coordonnées d’un point connu)

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8. Déterminer par le calcul l’équation cartésienne de la droite D
4
. (utilisez les formules
précédentes) : ……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
9. Tracer la droite D
5
d’équation cartésienne
0.5 1.5
y x
= −
en déterminant les coordonnées de
deux points de cette droite par le calcul : ……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Que peut-on dire des droites D
1
, D
2
et D
5
? Qu’ont leurs équations cartésiennes en
commun ? …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Deux droites d’équations cartésiennes respectives
y ax b
= +
et
' '
y a x b
= +
sont parallèles si et
seulement si elles ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire si
'
a a
=
10. Déterminer l’équation cartésienne de la droite parallèle à D
5
passant par le point de
coordonnées
( 3; 12)
− −
: ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
11. Tracer la droite D
6
d’équation cartésienne
1
2
3
y x
= +
en déterminant les coordonnées de
deux points de cette droite par le calcul : ……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
.………………………………………………………………………………………………
Que peut-on dire des droites D
3
, D
4
et D
6
? Qu’ont leurs équations cartésiennes en
commun ? …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Interprétation et lecture graphique du coefficient directeur a et de l’ordonnée à l’origine b :

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Exercices
1. Sur le graphique ci-dessous, tracer les droites D
1
, D
2
et D
3
d’équations cartésiennes
respectives
3 4
y x
= −
,
5 2 10
y x
= − +
et
2 3 0
x y
− =
.
2.
a) Déterminer les équations cartésiennes des droites (AB) et (CD) tracées ci-dessus .
b) Déterminer l’équation de la droite parallèle à (AB) passant par C.
c) Déterminer par le calcul :
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites avec les axes
de coordonnées,
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites