Equations Cartésiennes de Droites

Equations Cartésiennes de Droites
Définition: Si le plan est muni d'un repère, alors une équation cartésienne d'une figure F est une
relation vérifiée par les coordonnées de tous les points de F, et seulement par les coordonnées des
points de F.
Première partie: droites parallèles aux axes
1. Lire les coordonnées des points A, B, C et D :
A(……… ;………) B(……… ;………) C(……… ;………) D(………;………)
2. Soit M(x ;y) un point quelconque de la droite d1 :
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre x ? ………………………………………………
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre y ? ………………………………………………
On dit que la droite d1 a pour équation cartésienne ……………………………………
3. Lire les coordonnées des points E, F et G :
E(……… ;………) F(……… ;………) G(……… ;………)
4. Soit M(x ;y) un point quelconque de la droite d2 :
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre x ? ………………………………………………
• Quelle(s) valeur(s) peut prendre y ? ………………………………………………
On dit que la droite d2 a pour équation cartésienne ……………………………………
5. Déterminer les équations cartésiennes des droites d3 et d4 :
………………………………… et ……………………………………
6. Tracer les droites d5 et d6 d’équations respectives x = −2.5 et 2 y − 1 = 0 .
Dans un repère du plan,
• les droites parallèles à l’axe des ordonnées ont une équation cartésienne du type x = a , où a est un
nombre réel (c’est l’abscisse commune à tous les points de la droite).
• les droites parallèles à l’axe des abscisses ont une équation cartésienne du type y = b , où b est un
nombre réel (c’est l’ordonnée commune à tous les points de la droite).
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Deuxième partie: droites sécantes aux axes
1. Lire les coordonnées des points A, B, H et I :
A(……… ;………) B(……… ;………) H(……… ;………) I(………;………)
2. Quelle relation simple existe-t-il entre l’abscisse x et l’ordonnée y d’un point quelconque de
la droite D1 ?…………………………………………………………………………………
On dit que la droite D1 a pour équation cartésienne …………………………………………
3. Lire les coordonnées des points C, J et D :
C(……… ;………) J(……… ;………) D(……… ;………)
4. Vérifier que les coordonnées x et y de ces points vérifient la relation y = 0.5 x + 2 :
…………………………………………………………………………………………………
On dit que la droite D2 a pour équation cartésienne …………………………………………
5. Le point P (24;14) est-il sur la droite D2 ? …………………………………………………
et le point Q ( −150; −72) ? ………………………………………………………………….
6. Lire les coordonnées des points C, F et E :
C(……… ;………) F(……… ;………) E(……… ;………)
7. Tous les points de la droite D3 ont des coordonnées qui vérifient une relation du type
y = ax + b . Déterminer a et b : ……………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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Dans un repère du plan, les droites non parallèles aux axes ont une équation cartésienne du type
y = ax + b , où a et b sont des nombres réels (a est le coefficient directeur (ou encore la pente) de
la droite, b est son ordonnée à l’origine).
y − yN
• Pour calculer le coefficient directeur d’une droite passant par deux points M et N : a = M
xM − x N
• Pour calculer l’ordonnée à l’origine de cette droite : Après avoir calculé a, on peut calculer b en
faisant b = yM − axM ou b = y N − axN (on remplace y et x par les coordonnées d’un point connu)
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8. Déterminer par le calcul l’équation cartésienne de la droite D4 . (utilisez les formules
précédentes) : ……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
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9. Tracer la droite D5 d’équation cartésienne y = 0.5 x − 1.5 en déterminant les coordonnées de
deux points de cette droite par le calcul : ……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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Que peut-on dire des droites D1, D2 et D5 ? Qu’ont leurs équations cartésiennes en
commun ? …………………………………………………………………………………….
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Deux droites d’équations cartésiennes respectives y = ax + b et y = a ' x + b ' sont parallèles si et
seulement si elles ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire si a = a '
10. Déterminer l’équation cartésienne de la droite parallèle à D5 passant par le point de
coordonnées (−3; −12) : ………………………………………………………………………
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…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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11. Tracer la droite D6 d’équation cartésienne y = x + 2 en déterminant les coordonnées de
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deux points de cette droite par le calcul : ……………………………………………………
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Que peut-on dire des droites D3, D4 et D6 ? Qu’ont leurs équations cartésiennes en
commun ? …………………………………………………………………………………….
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Interprétation et lecture graphique du coefficient directeur a et de l’ordonnée à l’origine b :
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Exercices
1. Sur le graphique ci-dessous, tracer les droites D1, D2 et D3 d’équations cartésiennes
respectives y = 3x − 4 , 5 y = −2 x + 10 et 2 x − 3 y = 0 .
2.
a) Déterminer les équations cartésiennes des droites (AB) et (CD) tracées ci-dessus .
b) Déterminer l’équation de la droite parallèle à (AB) passant par C.
c) Déterminer par le calcul :
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites avec les axes
de coordonnées,
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites
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