1 Introduction à la théorie des probabilités

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1 Introduction à la théorie des probabilités
1.1 Evénements et probabilités
1.1.1 Paradoxe de Monty Hall
Il y a trois portes, derrière l’une d’elle se trouve une voiture, derrière les autres se trouve une
chèvre. On veut gagner la voiture ; on choisi donc une porte. Ensuite on nous montre une des
deux autres portes et on nous affirme que la voiture n’est pas derrière celle-ci. On nous demande
si on veut changer notre choix. Faut-il changer de porte ou pas ?
A premier abord on pourrait croire que ça ne change rien. Pourtant on double nos chances de
gagner en changeant de porte.
Si on ne change pas, la probabilité de gagner est de
3
1
.
Si on change, la probabilité de gagner est de
3
2
.
1.2 Définition d’une probabilité
1.3 Expérience : lancé d’une punaise
Deux positions possibles
• Sur le dos (1)
• Sur le côté (2)
Comment déterminer la probabilité P(1) ?
On lance n fois la punaise et on compte le nombre de fois qu’elle tombe sur le dos.
Fréquence relative :
n
deoccurencesdnombre
nf 1
'
)(
ω
=
1000
866
)1000(...
3
2
)3(
2
2
)2(
1
1
)1( ==== ffff
Plus n est grand, plus f(n) est précis.
)(lim)( 1nfP n∞→ = ω

Fehler! Formatvorlage nicht definiert. Fehler! Formatvorlage nicht definiert.
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1.4 Exemple classique : dé de Laplace
Dé à 6 face ; chaque face est un événement élémentaire 1 à 6.
L’ensemble fondamental est  = { 1 2 3 4 5 6 }.
On suppose :
i
1
2
…
6
pi
1/6
1/6
…
1/6
Evénement :
A1 = « le résultat est un nombre pair »
A1 = { 2 4 6 }
A2 = « le résultat est un nombre premier »
A2 = { 2 3 5 }
Définition : Un événement est un sous-ensemble de l’ensemble fondamental.
1.5 Un exemple historique : Le problème du Chevalier de Méré.
En 1654 M. de Méré a posé la question suivante à Blaise Pascal :
(a) On lance un dé 4 fois. On a succès si le 6 apparaît au moins une fois.
(b) On lance deux dés 24 fois. On a succès si on a au moins une fois double-6.
Quelle est la version la plus probable ?
(a) 5 4 1 5 = 1 (échec)
4 6 2 2 = 2 (succès)
…
 = { 1 2 … }
(nombre d’éléments)
A = « au moins une fois 6 » = {6214, 1536, 6666, …}
Le complément de A : = « pas de 6 »

Fehler! Formatvorlage nicht definiert. Fehler! Formatvorlage nicht definiert.
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(b)
A = « au moins une fois double 6 »
(a) est plus probable que (b).
1.6 Paradoxe des anniversaires
Soit un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 personnes qui aient
leur anniversaire le même jour ?
p : probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour
q = 1 – p : probabilité que tout le monde ait un anniversaire différent
Cas favorables :
1ère personne 365 possibilités
2ème personne 364 possibilités
3ème personne 363 possibilités
nème personne 366 – n possibilités
Total :
Cas possibles :
1ère personne 365 possibilités
2ème personne 365 possibilités
3ème personne 365 possibilités
nème personne 365 possibilités
Total :
n
10
15
20
22
23
25
30
80
p [%]
11.7
25.3
41.1
47.6
50.7
56.9
70.6
99.99

Fehler! Formatvorlage nicht definiert. Fehler! Formatvorlage nicht definiert.
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1.6.1 Simulation MATLAB :
1. doubleAnni = 0; %nombre d'anniversaires doubles sur toutes les simul.
2. n = 20; %nombre de personnes
3.
4. %boucle qui effectue 10000 fois la simulation
5. for k = 1 : 10000
6. %Créer un vecteur de taille 365 rempli de 0
7. anni = zeros(1,365);
8. for m = 1 : n
9. %Choisir une date d'anniversaire au hasard
10. randomnumber = ceil(365*rand);
11. %Tester si l'anniversaire choisi existe déjà
12. if anni(randomnumber)==1
13. doubleAnni = doubleAnni + 1;
14. break
15. end
16. %Mémoriser l'anniversaire
17. anni(randomnumber) = 1;
18. end
19. end
20. doubleAnni/10000 %Afficher la probabilité
1.7 Un peu de théorie combinatoire
1.7.1 Echantillons ordonnés avec remise
D’une urne qui contient n boules numérotées de 1 à n, on en tire une, note son numéro et la
remet dans l’urne. On fait cette expérience 5 fois.
Résultat possible avec 10 boules : 3 5 3 1 5
Nombre de résultats possibles :
1.7.2 Echantillons ordonnés sans remise
Même expérience que précédemment mais sans remettre les boules dans l’urne.
Nombre de résultats possibles :