Correctif

Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif) Chapitre A : les angles page 1
Chapitre A : Les angles (correctif)
Exercices supplémentaires
1. Recherche d’amplitudes d’angles :
Exercice a :
|A
B
D| = 52° car c’est un angle inscrit qui intercepte l’arc  AD, or  ACD est également un angle inscrit interceptant
l’arc  AD. Deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même amplitude.
Exercice b :
|X
Z
Y| = 180° - 73° - 39° = 68° car la somme des amplitudes des angles internes d’un triangle vaut 180°.
|XÔY| = 2 . 68° = 136° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le
même arc.  XZY est un angle inscrit interceptant l’arc  XY, son amplitude vaut donc la moitié de celle de  XOY qui
est un angle au centre et qui intercepte également l’arc  XY.
Exercice c :
|E
M
G| = 60° car c’est un angle inscrit interceptant le même arc ( GE) que l’angle inscrit  EFG (angle du triangle
équilatéral). Or deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
|E
M
F| = 60° car c’est un angle inscrit interceptant le même arc ( EF) que l’angle inscrit  EGF (angle du triangle
équilatéral). Or deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
|G
M
F| = |E
M
G| + |E
M
F| = 60° + 60° = 120°
Exercice d :
|A
P
B| = 90° car tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.
|A
P
D| = 45° car  APD est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  AD et  AOD est un angle au centre
interceptant également l’arc de cercle  AD.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.
|D
P
B| = 45° car  DPB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  BD et  BOD est un angle au centre
interceptant également l’arc de cercle  BD.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.
|B
P
C| = 45° car  BPC est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  BC et  BOC est un angle au centre
interceptant également l’arc de cercle  BC.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.
|A
P
C| = |A
P
B| + |B
P
C| = 90° + 45° = 135°
2. Recherche d’amplitudes d’angles (suite)
a) Traçons d’abord la corde [AC].
 |AĈB| = 20° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre
interceptant le même arc. Or  AOB est un angle au centre interceptant l’arc de cercle  AB et
ACB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  AB.
 |CÂB| = 55° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre
interceptant le même arc. Or  COB est un angle au centre interceptant l’arc de cercle  BC et
CÂB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  BC.

Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif) Chapitre A : les angles page 2
 |A
B
C| = 180° - 20° - 55° = 105° car la somme des amplitudes des angles internes d’un
triangle vaut 180°.
b) Traçons d’abord la corde [PF].
 |E
P
F| = 45° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
Or |E
D
P| est un angle à la base du triangle rectangle isocèle DEF, il a donc une amplitude de 45°.
 |D
P
E| = 45° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
Or |D
F
E| est un angle à la base du triangle rectangle isocèle DEF, il a donc une amplitude de 45°.
 |D
P
F| = |E
P
F| + |D
P
E| = 45° + 45° = 90°
3. Démonstrations :
Exercice a)
Hypothèses : Thèse :
c (O ; [OA]) |A
P
D| = |B
P
C|
A, B, C, D, P c
ABCD est un trapèze isocèle
[AB] // [CD]
Démonstration :
Si ABCD est un trapèze isocèle, cela signifie que |AD| = |BC|, donc  AD =  BC .
Or,  APD est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle  AD et  BPC est un angle inscrit interceptant
l’arc de cercle
BC
.
Si  AD =  BC alors |A
P
D| = |B
P
C| car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont
même amplitude.
CQFD
Exercice b)
Hypothèses : Thèse :
c (O ; [OA]) AB // RP
A, B, R, P c
TRP est un triangle isocèle en T
[RP] est un diamètre
Démonstration :
 Le TRP est isocèle en T, donc |T
R
P| = |T
P
R| (1) car les angles à la base d’un triangle isocèle
ont même amplitude.
Les RAP et RBP sont des triangles rectangles car ils tous deux inscrits dans un demi-cercle,
alors |RÂP| = |R
P
B| = 90°. (2)
 Dans le RAP : |RÂP| + |T
R
P| + |R
P
A| =180°
Et dans le RBP : |R
P
B| + |T
P
R| + |P
R
B| = 180°
 Par transitivité, |R
P
A| = |P
R
B|. (3)
 Or, |R
P
A| = |A
B
R| (4) car des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.
 En remplaçant (3) dans (4), nous obtenons : |P
R
B| = |A
B
R|. Ce sont des angles alternes-internes,
donc AB // RP. CQFD

Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif) Chapitre A : les angles page 3
4. Complète le texte lacunaire :
α est un angle inscrit dans le cercle j. Il intercepte l’arc  AB.
β est un angle inscrit dans le cercle j. Il intercepte l’arc  AB.
S γ est un angle au centre du cercle j. Il intercepte l’arc  AB.
L’angle
CBA 
intercepte l’arc  AC. L’angle  BAD intercepte l’arc  BD.
C voit l’arc  AB sous l’angle α. D voit l’arc  AB sous l’angle β.
B voit l’arc  CD sous l’angle  CBD. A voit l’arc  CD sous l’angle  CAD.
α et β intercepte le même arc. γ et α intercepte le même arc.
C et D intercepte l’arc  AB sous le même angle.
O intercepte l’arc  AB sous l’angle qui mesure le double de celui sous lequel le voit C.
γ mesure le double de β.
α et β sont égaux (de même amplitude).
α mesure la moitié de γ.
5. Un peu de déduction :
Exercice a)
 |IÂJ| = |I
M
J| car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle IJ. Or, deux
angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
 |I
B
J| = |I
N
J| car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle IJ. Or, deux
angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
 |AÎB|=|MÎN| car dans le  AIB : |IÂJ| + |I
B
J| + |AÎB| = 180°
et dans le  MIN : |I
M
J| + |I
N
J| + |MÎN| = 180°
 Or si |IÂJ| = |I
M
J| et si |I
B
J| = |I
N
J| alors, par transitivité |AÎB|=|MÎN|.
Exercice b)
 |EÔB| = 104° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre
interceptant le même arc.
Or,  EOB est un angle au centre interceptant le même arc de cercle que l’angle inscrit  EAB .
 |E
K
B| = 52° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.
Or,  EKB est un angle inscrit interceptant le même arc de cercle que l’angle inscrit  EAB .