Le Théorème des angles inscrits

Le Théorème des angles inscrits
I/ Introduction
Illustration :
On apprend en 4ème le théorème suivant :
Soit un cercle de centre O.
Si AMB est un triangle inscrit dans ce cercle
et qu’il possède un côté qui est un diamètre de ce cercle
Alors AMC est un triangle rectangle.
Remarque : La réciproque est vraie
On a donc
=90° et
=180° .
On observe que
est la moitié de
Existe–t-il une généralisation de cette observation ? la réponse est oui
II/Vocabulaire : Angles inscrits, angles au centre
1°) Angles au centre
Dans un cercle de centre O, un angle au centre est un angle tel que son sommet soit le centre O.
Exemples :
est l’angle au centre
qui intercepte l’arc de cercle
est l’angle au centre
qui intercepte l’arc de cercle
2°) Angles inscrits
Dans un cercle de centre O, un angle inscrit est un angle tel que son sommet
soit un point du cercle et que ses 2 côtés coupent ce cercle.
Exemples :
et
sont deux angles
inscrits qui interceptent
le même arc de cercle
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II/ Enoncé du théorème des angles inscrits
Soit un cercle de centre O.
Soit
.
un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle
Tous les angles inscrits qui interceptent le même arc
mesurent la moitié de angle au centre
Illustrations
Dans les 2 cas :
=
A gauche, on a :
,
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ont la même mesure
Preuve :
Cas 1 : O est dans le secteur angulaire
Cas2 : O est hors du secteur angulaire
On trace en pointillés le diamètre ayant M pour extrémité on le note [MN]
On trace en pointillés les segments [OA], [OB], [AN] et [NB]
On pose
x et
=y
Dans le cas n°1, on a :
Calcul de
=x+y
Dans le cas n°2, on a :
:
Calcul de
=x-y
:
MOA et MOB sont 2 triangles isocèles en O donc
=x et
=y
MOA et MOB sont 2 triangles isocèles en O donc
=x et
=y
MAN et MBN sont 2 triangles rectangles en
respectivement A et B donc :
=90-x et
=90-y
MAN et MBN sont 2 triangles rectangles en
respectivement A et B donc :
=90-x et
=90-y
Dans un triangle la somme des 3 angles est égale
à 180° donc dans les triangles isocèles OAN et
OBN on a :
= 180-2×(90-x)=2x
=180-2×(90-y)=2y
Dans un triangle la somme des 3 angles est égale
à 180° donc dans les triangles isocèles OAN et
OBN on a :
= 180-2×(90-x)=2x
=180-2×(90-y)=2y
Conclusion du cas n°1 :
=
=2x+2y
=2(x+y)
=2
Conclusion du cas n°2 :
=
=2x-2y
=2(x-y)
=2
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III/Propriété des angles inscrits interceptant un petit arc
et un grand arc
Propriété :
Soit
et
un angle inscrit interceptant le petit arc de cercle
un angle inscrit interceptant le grand arc de cercle
Les angles
et
(en rouge)
(en vert)
sont supplémentaires (leur somme est égale à 180°)
Preuve :
Soit D’ le symétrique de D par rapport à O.[DD’] est un diamètre donc
DAD’ et DBD’ sont deux triangles rectangles en respectivement A et B.
Dans le quadrilatère DAD’B la somme des 4 angles est égale à 360°.
Donc
+
et
donc
=180 c'est-à-dire :
et
sont supplémentaires
sont des angles inscrits qui interceptent le même petit arc de cercle
=
. Conclusion :
et
sont supplémentaires
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