Deux angles inscrits qui interceptent le même arc.

Angles inscrits
1- Angles inscrits :
Définitions : Soit
un cercle
a) Si le sommet de l’angle est sur le cercle
(voir fig. 1).
, ses côtés sont des cordes. On dit angle inscrit.
b) Si le sommet de l’angle est à l’intérieur de
dit angle intérieur. (voir fig. 2).
, ses côtés sont deux morceaux de cordes. On
c) Si le sommet de l’angle est à l’extérieur de
dit angle extérieur. (voir fig. 3).
, ses côtés sont deux cordes prolongées. On
2- Angle au centre :
Définition :
On appelle angle au centre un angle intérieur qui a pour sommet le centre du cercle.
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3- Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc.
Soient
un angle inscrit; il intercepte un arc
auquel correspond un angle au
centre
(fig. 3)
Remarque : L’arc peut être plus grand qu’une demi-circonférence. Dans ce cas la
mesure de l’angle au centre est supérieure à 180°.
A chaque angle inscrit correspond un angle au centre.
Y a-t-il une relation entre ces deux angles ?
La réponse est affirmative.
La mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au
centre qui lui correspond.
Démonstration :
1) Etape n°1 : L’un des côtés de l’angle inscrit est un diamètre du cercle. (Cas
particulier).
a) Le triangle IAO est isocèle de sommet principal
O. Donc les angles
Ont la même
mesure.
(1)
b) Dans un triangle la somme des mesures des
angles est égale à 180°.
Donc :
. (2)
c) Les angles
Donc :
Sont supplémentaires.
(3)
On remplace
On obtient :
.
On rapproche cette dernière relation de la relation (3). On obtient
Conclusion :
2) Etape n°2 : Aucun des côtés de l’angle inscrit n’est un diamètre du cercle.
On distingue deux cas :
a) L’angle
est tel que A et B sont deux points de C, de part et d’autre de la
droite
. (voir fig. 5)
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D’après la première partie.
b) La droite
ne partage pas l’angle
.
Remarque :
Donc :
Théorème :
Un angle inscrit est la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc
Conséquences :
1)
Si l’angle inscrit est droit, l’angle au
centre correspondant est plat. Donc la corde
relative à l’arc intercepté est un diamètre du
cercle. La corde et les deux côtés de l’angle
inscrit forment un triangle rectangle.
On retrouve la propriété caractéristique
du triangle rectangle. « Si l’un des côtés d’un
triangle est un diamètre de son cercle
circonscrit. Alors ce triangle est rectangle
d’hypoténuse ce côté ».
2) Les divers angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Attention : Cette confirmation cesse d’être vraie si le sommet de l’angle inscrit
change d’arc.
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