Enoncé

STA 1101 : Eléments de Statistique
Travaux dirigés 2
Probabilités
Exercice 1 – Soit Aet Bdeux sous-ensembles disjoints de Ωtels que P(A)=0.25
et P(B)=0.5.
Calculer P(¯ A), P(A∪B), P(¯ A∪¯ B) et P(¯ A∩¯ B),
Exercice 2 – Soient A,B,Cdes événements aléatoires définis sur une même épreuve dont
l’espace des issues est Ω.
On considère les deux événements : E1=A∩B∩Cet E2=A∩(B∪C).
1. Montrer que E1et E2sont deux événements incompatibles.
2. Que signifie l’événement E1∪E2?
3. Calculer les probabilités P(E1) et P(E2) de ces événements, sachant que :
P(A)=0,6 P(B)=0,4 P(C)=0,3
P(A∩B)=0,2 P(B∩C)=0,1 P(A∩C)=0,1 P(A∩B∩C)=0,05
Exercice 3 – On lance quatre dés. On suppose que les résultats sont équiprobables. On considère
les événements Aidéfinis par le nombre de faces distinctes obtenues (i=1,2,3 ou 4).
Calculer la probabilité de chacun des événements Ai.
Exercice 4 – On estime que dans une population il y a 30 % de personnes qui ne sont pas immu-
nisées contre une certaine maladie. Un test pratiqué sur des personnes non immunisées réagit
négativement dans 90 % des cas et ce test pratiqué sur des personnes immunisées réagit posi-
tivement dans 80 % des cas. En choisissant au hasard une personne dans la population (chaque
personne ayant la même probabilité d’être choisie) quelle est la probabilité qu’elle soit immunisée
sachant qu’elle réagit positivement au test ?
(Indication : considérer les événements A= la personne est immunisée et B=la personne réagit positive-
ment au test)
Exercice 5 – Un fumeur impénitent décide d’essayer de ne plus fumer. On admet que s’il ne
fume pas un jour donné, alors la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,3. Par contre,
s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. On supposera
aussi que la probabilité qu’il ne fume pas le premier jour vaut 1.
Quelle est la probabilité que cette personne ne fume pas le ni`
eme jour?
Que se passe-t-il lorsque nest grand ?
1

Exercice 6 – On considère deux variables aléatoires indépendantes Xet Ydont les moments
d’ordre 1 et 2 sont connus. On définit les variables aléatoires :
A=2X+3Yet B=X−Y
1. Calculer E(A), E(B) et E(A.B).
2. Calculer V ar(A),V ar(B) et Cov(A,B).
Exercice 7 –
1. Une variable aléatoire discrète Xprend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 avec les probabilités
suivantes :
k1 2 3 4 5 6
P(X=k) 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2
Calculer E(X), espérance mathématique de X, et V ar(X), variance de X.
2. Une variable aléatoire discrète Yprend les valeurs 3, 4, 5 et 6.
Quelle est la loi de probabilité de Ysachant que P(Y>5) = 1/2 , P(Y<5) = 1/3 et P(Y=3)
=P(Y=4) ?
Calculer E(Y) et V ar(Y).
Exercice 8 – On considère une population composée d’un grand nombre d’individus susceptibles
de posséder un caractère A. Soit pla proportion de ceux qui possèdent A. Soit qla proportion de
ceux qui ne possèdent pas A.
On effectue un sondage aléatoire sur npersonnes. Soit Kle nombre de celles qui possèdent le
caractère Adans l’échantillon.
1. Indiquer la loi de probablilité de K.
2. Calculer la moyenne et la variance de K.
3. Pour n=8, p=0,56. Calculer les différents termes P(K=k), probabilité d’observer kdans
l’échantillon de taille nindividus possédant A. Vérifier que Pn
k=0P(K=k)=1.
4. Calculer E(K) et V ar(K).
Exercice 9 – On lance une pièce de monnaie et on recommence de façon indépendante jusqu’à ce
que l’on obtienne pile. On appelle Xla variable aléatoire réelle associée au nombre de jet qu’il a
fallu effectuer pour obtenir un pile. La pièce étant truquée, la probabilité d’avoir pile est p(6= 0,5)
et celle d’obtenir face est donc 1 −p.
1. Quelles sont les valeurs possibles de X?
2. Déterminer la loi de X, c’est-à-dire P(X=x).
3. Calculer l’espérance mathématique de X, ainsi que sa variance.

Exercice 10 – Le nombre Xd’électrons émis par un corps radioactif durant une période donnée
suit une loi de Poisson de paramètre λ:
P(X=n)=λn
n!e−λ,n∈N,λ>0
Chacun des électrons, indépendamment des autres, a une probabilité pd’avoir un effet biologique
(0 <p<1). On note Zle nombre d’électrons ayant un effet biologique, émis par l’élément radioactif
(durant la période donnée).
1. Quelle est la probabilité que, parmi nélectrons émis durant la période donnée, kaient un
effet biologique ; autrement dit, quelle est l’expression de P(Z=k/X=n) ?
2. En déduire la loi de Z.
Exercice 11 – Une variable aléatoire Xsuit une loi de Gauss de moyenne 5 et de variance 9.
Calculer les probabilités des événements suivants :
1. Xinférieur à 8
2. Xsupérieur à 2
3. Xcompris entre -1 et 11
4. Xexterieur à l’intervalle (-4,14)
Exercice 12 – Soit Xune variable aléatoire normale telle que P(X>3) = 0,8413
et P(X>9) = 0,0228.
Déterminer sa moyenne µet son écart-type σ.
Exercice 13 – Soit Xune v.a à valeurs dans Rassociée à l’intervalle de temps séparant deux
arrivées successives d’un événement. On admet que la loi de Xest exponentielle de paramètre
(θ,σ) où θ∈R+,σ∈R+et a pour densité la fonction fθ,σdéfinie par :
fθ,σ(x)=1
σexp½−µx−θ σ¶¾ pour x∈[θ,+∞[ , fθ,σ(x)=0 sinon.
1. Déterminer la fonction de répartition de X. Montrer que E(X)=θ+σet V ar(X)=σ2.
2. On observe les intervalles séparant des arrivées successives et on appelle (Xn) la suite de
v.a.r associées définies sur le même espace de probabilité, mutuellement indépendantes et
de loi exponentielle de paramètre (θ,σ).
(a) Quelle est la loi de la v.a.r. associée au plus petit des npremiers intervalles :
Yn=in f (X1,X2,...,Xn)
(b) Montrer que E(Yn)=θ+σ
net V ar(Yn)=σ2
n2.