Enoncé

STA 1101 : Eléments de Statistique
Travaux dirigés 2
Probabilités
Exercice 1 – Soit A et B deux sous-ensembles disjoints de Ω tels que P(A) = 0.25
et P(B) = 0.5.
Calculer P( Ā), P(A ∪ B), P( Ā ∪ B̄) et P( Ā ∩ B̄),
Exercice 2 – Soient A, B, C des événements aléatoires définis sur une même épreuve dont
l’espace des issues est Ω.
On considère les deux événements : E 1 = A ∩ B ∩ C et E 2 = A ∩ (B ∪ C).
1. Montrer que E 1 et E 2 sont deux événements incompatibles.
2. Que signifie l’événement E 1 ∪ E 2 ?
3. Calculer les probabilités P(E 1 ) et P(E 2 ) de ces événements, sachant que :
P(A)=0,6
P(A ∩ B)=0,2
P(B)=0,4
P(B ∩ C)=0,1
P(C)=0,3
P(A ∩ C)=0,1
P(A ∩ B ∩ C)=0,05
Exercice 3 – On lance quatre dés. On suppose que les résultats sont équiprobables. On considère
les événements A i définis par le nombre de faces distinctes obtenues (i = 1, 2, 3 ou 4).
Calculer la probabilité de chacun des événements A i .
Exercice 4 – On estime que dans une population il y a 30 % de personnes qui ne sont pas immunisées contre une certaine maladie. Un test pratiqué sur des personnes non immunisées réagit
négativement dans 90 % des cas et ce test pratiqué sur des personnes immunisées réagit positivement dans 80 % des cas. En choisissant au hasard une personne dans la population (chaque
personne ayant la même probabilité d’être choisie) quelle est la probabilité qu’elle soit immunisée
sachant qu’elle réagit positivement au test ?
(Indication : considérer les événements A = la personne est immunisée et B =la personne réagit positivement au test)
Exercice 5 – Un fumeur impénitent décide d’essayer de ne plus fumer. On admet que s’il ne
fume pas un jour donné, alors la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,3. Par contre,
s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. On supposera
aussi que la probabilité qu’il ne fume pas le premier jour vaut 1.
Quelle est la probabilité que cette personne ne fume pas le n i ème jour?
Que se passe-t-il lorsque n est grand ?
1
Exercice 6 – On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les moments
d’ordre 1 et 2 sont connus. On définit les variables aléatoires :
A = 2X + 3Y et B = X − Y
1. Calculer E(A), E(B) et E(A.B).
2. Calculer V ar(A),V ar(B) et Cov(A, B).
Exercice 7 –
1. Une variable aléatoire discrète X prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 avec les probabilités
suivantes :
k
P(X = k)
1
0,1
2
0,2
3
0,1
4
0,3
5
0,1
6
0,2
Calculer E(X ), espérance mathématique de X , et V ar(X ), variance de X .
2. Une variable aléatoire discrète Y prend les valeurs 3, 4, 5 et 6.
Quelle est la loi de probabilité de Y sachant que P(Y > 5) = 1/2 , P(Y < 5) = 1/3 et P(Y = 3)
= P(Y = 4) ?
Calculer E(Y ) et V ar(Y ).
Exercice 8 – On considère une population composée d’un grand nombre d’individus susceptibles
de posséder un caractère A. Soit p la proportion de ceux qui possèdent A. Soit q la proportion de
ceux qui ne possèdent pas A.
On effectue un sondage aléatoire sur n personnes. Soit K le nombre de celles qui possèdent le
caractère A dans l’échantillon.
1. Indiquer la loi de probablilité de K.
2. Calculer la moyenne et la variance de K.
3. Pour n = 8, p = 0, 56. Calculer les différents termes P(K = k), probabilité d’observer k dans
P
l’échantillon de taille n individus possédant A. Vérifier que nk=0 P(K = k) = 1.
4. Calculer E(K) et V ar(K).
Exercice 9 – On lance une pièce de monnaie et on recommence de façon indépendante jusqu’à ce
que l’on obtienne pile. On appelle X la variable aléatoire réelle associée au nombre de jet qu’il a
fallu effectuer pour obtenir un pile. La pièce étant truquée, la probabilité d’avoir pile est p (6= 0, 5)
et celle d’obtenir face est donc 1 − p.
1. Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2. Déterminer la loi de X , c’est-à-dire P(X = x).
3. Calculer l’espérance mathématique de X , ainsi que sa variance.
Exercice 10 – Le nombre X d’électrons émis par un corps radioactif durant une période donnée
suit une loi de Poisson de paramètre λ :
P(X = n) =
λn
n!
e−λ , n ∈ N, λ > 0
Chacun des électrons, indépendamment des autres, a une probabilité p d’avoir un effet biologique
(0 < p < 1). On note Z le nombre d’électrons ayant un effet biologique, émis par l’élément radioactif
(durant la période donnée).
1. Quelle est la probabilité que, parmi n électrons émis durant la période donnée, k aient un
effet biologique ; autrement dit, quelle est l’expression de P(Z = k/X = n) ?
2. En déduire la loi de Z.
Exercice 11 – Une variable aléatoire X suit une loi de Gauss de moyenne 5 et de variance 9.
Calculer les probabilités des événements suivants :
1. X inférieur à 8
2. X supérieur à 2
3. X compris entre -1 et 11
4. X exterieur à l’intervalle (-4,14)
Exercice 12 – Soit X une variable aléatoire normale telle que P(X > 3) = 0,8413
et P(X > 9) = 0,0228.
Déterminer sa moyenne µ et son écart-type σ.
Exercice 13 – Soit X une v.a à valeurs dans R associée à l’intervalle de temps séparant deux
arrivées successives d’un événement. On admet que la loi de X est exponentielle de paramètre
(θ , σ) où θ ∈ R+ , σ ∈ R+ et a pour densité la fonction f θ,σ définie par :
½ µ
¶¾
x−θ
1
pour x ∈ [θ , +∞[ , f θ,σ (x) = 0 sinon.
f θ,σ (x) = exp −
σ
σ
1. Déterminer la fonction de répartition de X . Montrer que E(X ) = θ + σ et V ar(X ) = σ2 .
2. On observe les intervalles séparant des arrivées successives et on appelle (X n ) la suite de
v.a.r associées définies sur le même espace de probabilité, mutuellement indépendantes et
de loi exponentielle de paramètre (θ , σ).
(a) Quelle est la loi de la v.a.r. associée au plus petit des n premiers intervalles :
Yn = in f (X 1 , X 2 , . . . , X n )
(b) Montrer que E(Yn ) = θ +
σ
n
et V ar(Yn ) =
σ2
n2
.