Loi binomiale - loi normale
1) Premier exemple
Soit Y une variable aléatoire suivant une loi binomiale
de paramètres n = 16 et p = 0,5.
espérance = E(Y) = n p = 8,
variance = V(Y) = n p (1-p) = 4
écart-type = σ(Y) = 2
Les valeurs prises sont les 17 entiers de 0 à 16.
Représentation en bâtons (c’est une variable discrète) :
Les proba sont en ordonnée.
Par exemple la proba P(7 Y 10) est la somme des hauteurs des 4 bâtons d’abscisses 7 à 10.
Soit la nouvelle variable aléatoire : Z = Y - 8 = Y - E(Y)
Les valeurs prises sont les 17 entiers de -8 à 8.
7 Y 10 <=> -1 Z 2
P(7 Y 10) = P(-1 Z 2) = somme des hauteurs des
4 bâtons d’abscisses -1 à 2.
espérance de Z : E(Z)= 0
écart-type de Z : σ(Z)= σ(Y) = 2
Soit la nouvelle variable aléatoire :
Les valeurs prises par T sont les 17 nombres -4 ; -3,5 ;
-3 ; ... jusqu’à 4.
7 Y 10 <=> -0,5 T 1
et P(-0,5 T 1) = somme des hauteurs des 4 bâtons
d’abscisses -0,5 , 0 , 0,5 , 1.
espérance de T : E(T)= 0
écart-type de T : σ(T)= 1
(T est une variable centrée réduite)
On change complètement de représentation graphique :
on dessine des rectangles dont l’aire est égale à la proba.
Pour un rectangle :
Ici, comme les largeurs sont de 0,5, les hauteurs sont les
doubles des hauteurs des bâtons du graphique précédent.
(les rectangles sont "centrés" sur 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; etc...)
La hauteur d’un rectangle est analogue à une densité
(comme par exemple :
densité de population=population
superficie
).
Ici, on obtient une densité de proba bilité .
Cela revient à considérer une nouvelle variable aléatoire
continue qui prolonge T sur [-4,5 ; 4,5] et dont la densité
est constante par intervalles.
Michel Brissaud (88) (mi.brissaud@laposte.net) février 2014 1 / 4