Loi binomiale - loi normale
1) Premier exemple
Soit Y une variable aléatoire suivant une loi binomiale
de paramètres n = 16 et p = 0,5.
espérance = E(Y) = n p = 8,
variance = V(Y) = n p (1-p) = 4
écart-type = σ(Y) = 2
Les valeurs prises sont les 17 entiers de 0 à 16.
Représentation en bâtons (c’est une variable discrète) :
Les proba sont en ordonnée.
Par exemple la proba P(7 Y 10) est la somme des hauteurs des 4 bâtons d’abscisses 7 à 10.
Soit la nouvelle variable aléatoire : Z = Y - 8 = Y - E(Y)
Les valeurs prises sont les 17 entiers de -8 à 8.
7 Y 10 <=> -1 Z 2
P(7 Y 10) = P(-1 Z 2) = somme des hauteurs des
4 bâtons d’abscisses -1 à 2.
espérance de Z : E(Z)= 0
écart-type de Z : σ(Z)= σ(Y) = 2
Soit la nouvelle variable aléatoire :
T=Z
2=Y8
2=YE(Y)
σ (Y)
Les valeurs prises par T sont les 17 nombres -4 ; -3,5 ;
-3 ; ... jusqu’à 4.
7 Y 10 <=> -0,5 T 1
et P(-0,5 T 1) = somme des hauteurs des 4 bâtons
d’abscisses -0,5 , 0 , 0,5 , 1.
espérance de T : E(T)= 0
écart-type de T : σ(T)= 1
(T est une variable centrée réduite)
On change complètement de représentation graphique :
on dessine des rectangles dont l’aire est égale à la proba.
Pour un rectangle :
hauteur =proba
largeur
Ici, comme les largeurs sont de 0,5, les hauteurs sont les
doubles des hauteurs des bâtons du graphique précédent.
(les rectangles sont "centrés" sur 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; etc...)
La hauteur d’un rectangle est analogue à une densité
(comme par exemple :
densité de population=population
superficie
).
Ici, on obtient une densité de proba bili .
Cela revient à considérer une nouvelle variable aléatoire
continue qui prolonge T sur [-4,5 ; 4,5] et dont la densité
est constante par intervalles.
Michel Brissaud (88) (mi.brissaud@laposte.net) février 2014 1 / 4
Revenons à P(7 Y 10) :
P(7 Y 10) = P(-0,5 T 1) et c’est alors la somme
des aires des 4 rectangles centrés sur les abscisses -0,5 ;
0 ; 0,5 ; 1 :
Voici la courbe de la densité f de proba d’une variable aléatoire X de loi
normale d’espérance 0 et d’écart-type 1 (variance 1), notée N (0,1).
f(x)= 1
2πe
1
2x2
Elle est définie sur , on l’a tracée sur [- 4 ; 4] ; en dehors de cet
intervalle, les valeurs sont extrèmement faibles.
Cette courbe est proche des rectangles. Et la somme des aires des 4 rectangles est proche de l’aire sous la courbe que l’on
peut écrire comme une intégrale.
Dans notre cas, une bonne approximation de
P(0,5T1)
par une intégrale serait
0,75
1,25 f(x)dx
car les rectangles sont centrés sur -0,5, 0, 0,5, 1 avec une
largeur de 0,5.
Une approximation plus grossière est :
P(0,5T1)
0,5
1f(x)dx
=
P(0,5X1)
avec X suivant la loi N (0,1).
Ce serait meilleur si les rectangles étaient plus "fins". Leur
largeur étant de
1
2=1
σ(Y)
, il faudrait avoir un écart-type
plus grand pour Y .
Michel Brissaud (88) (mi.brissaud@laposte.net) février 2014 2 / 4
2) Deuxième exemple
On suit la me démarche avec :
Y : Loi binomiale B (48 ; 0,25) de
paramètres n = 48 et p = 0,25.
Espérance E(Y) = n p = 12
Variance V(Y) = n p (1- p) = 9
Écart-type : σ (Y) = 3
Les proba au delà de 24 sont très faibles.
La distribution de proba est très dissymétrique sur [0 ; 48], mais presque symétrique sur [4 ; 20].
Soit Z = Y - 12 = Y - E(Y)
les valeurs de Z vont de -12 à 36
Les proba au delà de 12 sont très faibles.
Soit
T=Y12
3=YE(Y)
σ (Y)
E(T) = 0 et σ (T) = 1 (T est centrée réduite)
Les valeurs de T vont de - 4 à 12 au pas de 1/3.
Les proba au delà de 4 sont très faibles.
Ci-dessous à gauche, on remplace les bâtons par des rectangles dont l’aire est égale aux proba. Comme la largeur est 1/3, la
hauteur est égale à 3 fois la proba, ce qui correspond à la densité de proba (voir au §1) portée en ordonnée.
densité de la loi N (0 ; 1) On les rassemble :
Les rectangles ayant une largeur de 1/3, ils sont plus fins que dans le §1, et la courbe est plus proche des rectangles.
On a alors une bonne approximation avec :
P(aTb)a
bf(x)dx=P(aXb)
.
En rappelant que
T=YE(Y)
σ (Y)
, on a finalement :
P
(
aYE(Y)
σ(Y)b
)
P
(
aXb
)
avec Y suivant une loi binomiale et
X suivant la loi normale centrée réduite N (0,1).
Michel Brissaud (88) (mi.brissaud@laposte.net) février 2014 3 / 4
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
0,4
0,3
0,2
0,1
3) Deux mauvais exemples
A] Avec Y suivant la loi B (48 ; 0,05) :
Espérance E(Y) = n p = 2,4
Variance V(Y) = n p (1- p) = 2,28
Écart-type : σ (Y) 1,5
On remarque une forte dissymétrie qui s’explique par une espérance np trop faible.
De plus l’écart-type étant faible, en représentant la variable aléatoire
T=YE(Y)
σ (Y)
sous forme de rectangles, ceux ci
seraient trop larges.
La variable aléatoire
T=YE(Y)
σ (Y)
ne pourra pas être considérée comme proche de X suivant la loi N (0,1).
B] Avec Y suivant la loi B (48 ; 0,95) :
Espérance E(Y) = n p = 45,6
Variance V(Y) = n p (1- p) = 2,28
Écart-type : σ (Y) 1,5
On remarque encore une forte dissymétrie qui s’explique par une espérance np trop forte, et un écart-type faible.
Là encore, la variable aléatoire
T=YE(Y)
σ (Y)
ne pourra pas être considérée comme proche de X suivant la loi N (0,1).
C] Remarques :
Ici, on a n(1- p) = 2,4, et : np + n(1- p) = n ; "np trop grand" correspond à "n(1- p) trop petit"
Si on compare les 2 cas précédents, le diagramme de l’un est symétrique de l’autre et cela peut se justifier facilement en
revenant à la formule de calcul des proba pour une loi binomiale car le paramètre p est 0,05 en A] et 0,95 en B] (somme 1).
Des graphiques semblables montrent que np et n(1- p) doivent être plus grands que 5 pour éviter les dissymétries observées
ci-dessus. L’écart-type est assez grand si n est grand.
4) Conclusion
Si Y suit la loi B (n ; p) avec n "assez grand" (quelques dizaines au moins), np et n(1- p) plus grands que 5, on a
l’approximation :
P
(
aYE(Y)
σ(Y)b
)
P
(
aXb
)
X suit la loi normale centrée réduite N (0,1) :
P(aXb)=a
bf(x)dx=a
b1
2πe
1
2x2
dx
Michel Brissaud (88) (mi.brissaud@laposte.net) février 2014 4 / 4
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