ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1 Dimension d`un

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Lycée Henri Dupuy de Lôme
MPSI
Programme de colle : semaine 23 (du 25 au 29 avril 2016)
ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Objectifs
• Etudier les espaces vectoriels engendrés par une famille nie de vecteurs.
• Mettre en place la notion de dimension d'un espace vectoriel, et l'exploiter, notamment
pour simplier certains raisonnements déjà mis en ÷uvre précédemment.
• Introduire la notion de rang.
• Etudier les propriétés particulières des applications linéaires liées à la dimension.
Dans tout ce chapitre, l'ensemble
K désignera l'ensemble R ou C.
1 Dimension d'un espace vectoriel
1. Espace vectoriel de dimension nie : c'est un espace vectoriel admettant une famille génératrice nie .
2. Existence de bases : de toute famille génératrice nie d'un espace vectoriel non réduit à {~0} on peut extraire
une base... et toute famille libre peut être complétée en une base. Tout espace vectoriel de dimension nie autre
que {~0} admet donc une base.
3. Dimension d'un espace vectoriel : si (~u1 , · · · , ~un ) est une famille génératrice d'un espace vectoriel de dimension nie autre que {~0}, alors toute famille libre de cet espace contient moins de n éléments ; on en déduit que
toutes les bases ont le même nombre d'élements, ce qui permet de dénir la dimension d'un espace vectoriel de
dimension nie autre que {~0} comme le nombre de vecteurs d'une base ; exemples de Kn et Kn [X].
4. Familles libres et génératrices d'un espace vectoriel de dimension nie :
si E est un espace vectoriel de dimension nie n ∈ N∗ , et si (~u1 , · · · , ~un ) est une famille de vecteurs de E ,
alors c'est une base si et seulement si elle est libre ou génératrice de E .
5. Rang d'une famille nie de vecteurs.
2 Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie
1. Dimension d'un sous-espace vectoriel
un sous-espace vectoriel d'un espace E de dimension nie n est également de dimension nie,
sa dimension est inférieure ou égale à n, et si sa dimension vaut n, alors c'est E .
2. Somme directe de sous-espaces vectoriels : existence de supplémentaires en dimension nie ; le recollement de
bases de deux sous-espaces vectoriels F et G de dimension nie d'un même espace vectoriel E et en somme
directe est une base F ⊕ G : en particulier, F ⊕ G est de dimension nie et dim(F ⊕ G) = dim(F ) + dim(G) .
3. Formule de Grassmann : dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
3 Applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension nie
1. Espaces isomorphes : si E et F sont deux K-espaces vectoriels isomorphes, et si l'un des deux est de dimension
nie, alors l'autre aussi, et dim(E) = dim(F )... et réciproquement : tout K-espace vectoriel de dimension n est
donc isomorphe à Kn .
2. Théorème du rang : si E et F sont deux K-espaces vectoriels, si E est de dimension nie, et si f ∈ L (E, F ),
alors tout supplémentaire de Ker(f ) dans E est isomorphe à Im(f ). On en déduit que Im(f ) et Ker(f ) sont de
dimension nie, et que dim(E) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) .
3. Caractérisation des isomorphismes : si E et F sont deux espaces vectoriels de même dimension nie, et
si f ∈ L (E, F ), alors f est injective si et seulement si f est surjective.
Autrement dit, pour montrer que f est un isomorphisme, il sut d'établir son injectivité ou sa surjectivité .
4. Rang d'une application linéaire ; caractérisation de l'injectivité/surjectivité à l'aide du rang ; invariance du rang
par composition avec un isomorphisme.
Bonus
. Etude des suites dénies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2
. Hyperplans d'un espace vectoriel
Dénition (en tant que noyau d'une forme linéaire non nulle) et caractérisation (en tant que supplémentaire
d'une droite vectorielle) dans le cas général.
Cas de la dimension nie :
→ un sous-espace vectoriel H d'un espace vectoriel E de dimension nie n > 1 est un hyperplan de E si
et seulement si dim(H) = n − 1
→ équation(s) d'un hyperplan dans une base
→ intersection d'hyperplans
Toutes les dénitions et tous les énoncés des propositions doivent être sus, et feront éventuellement
l'objet d'une question de cours. Les élèves pourront également être interrogés sur la démonstration de l'un des
résultats suivants (choisi par l'interrogateur) :
• Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E , si F et G sont de dimension nie non nulle,
et si F et G sont en somme directe, alors le recollement d'une base de F et d'une base de G est une base de
F ⊕ G.
• Etant donné un espace vectoriel E de dimension nie et deux sous-espaces vectoriels F et G de E , F et G sont
supplémentaires dans E si et seulement si F ∩ G = {~0} et dim(F ) + dim(G) = dim(E).
• Formule de Grassmann.
• Théorème du rang.
• Caractérisation des isomorphismes en dimension nie.
• Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
• L'intersection de deux hyperplans d'un espace vectoriel E de dimension n > 2 est de dimension au moins n − 2,
et, réciproquement, un sous-espace vectoriel de E de dimension n − 2 est l'intersection de deux hyperplans de E .
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