sin : x f x x 2 ⌉ ⌈ ⌋ ⌊ 2 ⌉ ⌈ ⌋ ⌊ sin 1 cos cos x x x x ≤ ≤ sin lim 1

Terminales S -Devoir à la maison n°2 à faire pour le jeudi 7 Octobre 2010
Rappels de cours : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est une fonction paire si, et seulement si, pour tout réel x I :
– x I et f(– x) = f(x)
f est une fonction impaire si, et seulement si, pour tout réel x I :
– x I et f(– x) = – f(x)
Soit T un réel positif, f est périodique de période T si pour tout réel x I :
x + T I et f(x + T) = f(x).
Exercice 1.
On donne la fonction
sin
:x fx x
.
1) Quel est l'ensemble de définition de f ?
2) Montrer que f est paire.
3) On suppose que x 
0;2
. On donne
la figure ci-contre, où (O, I, J) est un repère
orthonormé, M est un point du cercle
trigonométrique, H est la projection
orthogonale de M sur (OI), T est le point
d'intersection de (OM) et de la tangente en I
au cercle trigonométrique.
a. Comparer graphiquement les aires
des triangles OHM, OIT et du secteur angulaire OIM.
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles OHM, OIT et du secteur
angulaire OIM.
c. Déduire des questions précédentes que, pour tout x 
0;2
, on a
sin 1
cos cos
x
xxx
.
En déduire que
0
0
sin
lim 1
x
x
x
x
, puis que
0
sin
lim 1
x
x
x
.
Exercice 2
1°) On considère la fonction f définie sur  par f (x) = sin x – x.
a) Etudier la parité de f
b) Déterminer la limite de f en + 
c) Etudier les variations de f
d) Construire la courbe de f dans un repère orthonormé d’unité 1 cm.
2°) Soit (un) la suite définie par
01
3 et sin( )
2nn
u u u
a) Déterminer à la calculatrice, des valeurs approchées des 20 premiers
termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire pour sa limite ?
b) Démontrer que, pour tout n  ,
0; 2
n
u
c) On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction sinus.
L’utiliser pour représenter graphiquement les premiers termes de la suite.
20 1
1
x
y

Corrigé
Exercice 1.
1. f : est définie pour donc Df = R*.
2. Pour tout x R* , – x R* car R* est symétrique par rapport à 0 et
f(– x) = = = f(x) donc f est une fonction paire.
3. a. D’après la figure on a : aire du triangle OHM < aire du secteur angulaire
OIM < aire du triangle OIT
b. aire (OHM) = = car dans le triangle OHM rectangle
en H, cos x = OH et sin x = HM.
aire (OIT) = or dans le triangle OIT rectangle en I, tan x = = IT. Donc
aire (OIT) = (OI = 1)
aire du secteur angulaire OIM = xR2 or R = 1 donc
aire du secteur angulaire OIM = x.
c. sachant que, pour x , on a : aire(OHM) aire du secteur angulaire
OIM aire (OIT) on en déduit que : .
En multipliant tous les membres de l’encadrement par 2 on obtient :
cos x sin x x tan x pour x
ou encore cos x sin x x .
Par passage à l’inverse on obtient : .
Pour x sin x > 0, donc en multipliant tous les membres de l’encadrement
précédent, on obtient : cos x.
On sait que :
1coslim
0 x x
donc
0
1
lim 1
cos
xx
Le théorème des gendarmes permet d’écrire :
1
sin
lim 0
0
  x
x
x
x
.
On a montré à la question 2 que la fonction f est paire donc elle admet une
limite à gauche de 0 égale à sa limite à droite de 0 d’où
1
sin
lim
0 x
x
x
.
Exercice 2
a) D =  donc pour tout x de D, – x  D
De plus, f(– x) = sin(–x) + x = – sin(x) + x = – f (x)
La fonction f est donc impaire.
b) Pour tout x de  : – 1  sin x  1  – 1 – x  f (x)  1 – x
On a : f (x)  1 – x  x   et
lim 1
xx
donc
lim ( )
xfx
Comme f est impaire, on en déduit par symétrie :
lim ( )
xfx
c) f est dérivable sur  et
()fx
= cos(x) – 1.
Pour tout x cos(x)  1 donc cos(x) – 1  0
De plus cos(x) = 1  x = 2kπ avec k  .
()fx
est donc strictement négative sauf en des points isolés où elle s’annule : on
en déduit que la fonction f est strictement décroissante.
2°) a) On va démontrer par récurrence que pour tout naturel n,
0; 2
n
u
Initialisation : u0 =
3
2
la propriété est donc vraie pour n = 0
Hérédité : Admettons que la propriété soit vraie pour un entier p c'est-à-dire
0; 2
p
u
alors :
0  up 
2
 sin (0)  sin(up) 
sin( )
2
car la fonction sinus est croissante sur
0; 2
 up+1 = sin(up)  [0 ; 1] et comme 1 <
2
on a
10; 2 p
u
La propriété est héréditaire.

On peut donc conclure que pour tout naturel n,
0; 2
n
u
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
0 1
1
x
y
Courbe de la fonction f
20 1
1
x
y
u0 u1 u2 u3 u4 u5
Représentation des premiers termes de la suite