Chapitre I : Notion de Probabilité

HECI
Hautes Etudes Canadiennes et Internationales
Année Universitaire 2008/2009
Intitulé du cours : Statistique de Gestion
Deuxième année
Volume horaire : 30 heures
Professeur : Malick MANE, Statisticien Économiste
Support de cours
Plan du cours
Partie 1 : Calcul des probabilités
Chapitre 1 : Probabilités
Chapitre 2 : Variables aléatoires
Chapitre 3 : Lois de probabilités
Partie 2 : Statistique
Estimation et tests statistiques
Chapitre 5 : Estimation par intervalle de confiance
Chapitre 6 : Tests d’hypothèses
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Partie 1 : Calcul des probabilités
Chapitre I : Probabilités
Les calculs de probabilité en tant que discipline étudie les phénomènes et expériences
aléatoires. La Probabilité est un outil nécessaire à la prévision et aux anticipations d’où son
importance dans les domaines telles que la météorologie, la finance, la gestion et l’économie.
I / Vocabulaire Probabiliste
Expérience aléatoire : On appelle expérience aléatoire une expérience conduisant
selon le hasard à plusieurs résultats possibles.
Exemple : lancer une pièce de monnaie,
lancer un dé numéroté de 1 à 6
Univers ou ensemble fondamental : On appelle univers associé à l’expérience
aléatoire l’ensemble (Ω) de tous les résultats possibles.
Exemple : jet d’une pièce de monnaie : {P, F}, jet d’un Dé : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evénement élémentaire ou éventualité : Tout élément A de (Ω) est appelé
événement élémentaire et le nombre d’élément d’un événement est appelé cardinal de A.
On note card A.
II/ Opérations sur les événements
Soient deux événements A et B.
L’événement A
B (A ou B) est celui qui est réalisé lorsque l’un au moins des deux
événements est réalisé.
L’événement
BA 
(A et B) est celui qui est réalisé lorsque les deux événements sont
réalisés simultanément. Si
BA 
= Ø on dit que A et B sont incompatibles (c’est-à-dire si l’un
se réalise l’autre ne peut pas se réaliser)
L’événement Ā c’est le contraire ou le complémentaire de A. c’est celui qui est
réalisé lorsque A n’est pas réalisé. On a Ā
A = Ø
Illustration :
Propriété des opérateurs logiques :
- Commutativité
- Associativité
- Distributivité
Loi de Morgan :
BA 
=
A
B
BA 
=
A
B
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III/ Probabilité
1) Définition
Soit [Ω, P(Ω)] un espace probabilisable, une probabilité est une application
P : Ω [0 ; 1]
A P(A)
P(A) probabilité de l’événement A c'est-à-dire chance pour que A se réalise.
On a P(A) =
Card
cardA
Exemple : jet de Dé : Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 card Ω = 6
A= 1 P(A) =
6
1
; B = 1, 2 P(B) =
6
2
; C = 2, 4, 6 P(C) =
6
3
2) Propriétés des probabilités
P(Ω) = 1 , l’ensemble des événements de Ω forment un système complet
d’événements. On a
1)(
1
n
i
AP
P (Ā) = 1 - P(A)
P (A
B) = P(A) + P(B) – P (
BA 
)
Si A et B sont incompatibles alors P (
BA 
) = 0
Donc P (A
B) = P(A) + P(B)
P(A) = P (
BA 
) + P (
BA 
)
P(B) = P (
BA 
) + P (
A
B
)
Exemple :
On choisit au hasard un habitant de Dakar, la probabilité qu’il aime le théâtre est 0,6. La
probabilité qu’il aime le cinéma est 0,4. La probabilité qu’il aime le théâtre et le cinéma est
0,2.
Quelle est la probabilité :
1) qu’il n’aime que le théâtre ?
2) qu’il aime le théâtre ou le cinéma ?
3) qu’il n’aime aucun des deux ?
4) qu’il ‘aime qu’un seul des deux ?
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IV/Probabilités Conditionnelles
1) Définition
Soit [Ω, P(Ω), P] un espace probabilisé. Soient A et B deux événements aléatoires avec
P(B) ≠ 0.
On suppose que l’événement B s’est réalisé et on veut maintenant réévaluer les chances de
réalisation de A en tenant compte du fait que B s’est réalisé. Cette nouvelle probabilité de A
s’appelle Probabilité conditionnelle de A sachant B et on la note : P (A/B).
On a P (A/B) =
)(
) B(A P
BP
Exemple : jet de Dé non pipé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 4, 6} B = {3, 4, 5} donc
BA 
= { 4}
P (A) =
6
4
P(B) =
6
3
) B(A P 
=
6
1
P (A/B) =
)(
) B(A P
BP
A.N P (A/B) =
6
4
6
1
=
4
1
2) Proprieties
P (Ω /B) =
1
)(
)(
)(
) B( P 
BP
BP
BP
P (Ø/B) = 0
P (Ā/B) = 1- P (A/B)
3) Formule des probabilités composées
Soient A et B deux événements aléatoires. On a alors :
P(A
B
) = P(A). P (B/A) Si P(A) ≠0
P(A
B
) = P(B). P(A/B) Si P(B) ≠0
Plus généralement, si A1, A2,........An sont des événements tels que :
P (A1
A2
......
Ak) > 0, k = 1,2,…….., n-1)
P (A1
A2
......
Ak) = P(A1).P (A2/ A1).P(A3/ A1
A2)…….P(An/ A1
A2
......
An-1)
Illustration : soient trois événements A, B et C
On a P(A
B
C) = P(A).P (B/A).P(C / A
B
)
Exemple:
Un candidat doit tirer 4 questions sur les 28 préparées par un examinateur ; ces 28 questions
comprennent 10 questions de marketing 6 de comptabilité 4 de finance et 8 d’économie.
Le candidat tire successivement les 4 questions sans remettre dans le tas une question déjà
tirée.
Quelle est la probabilité de tirer dans l’ordre une question de marketing, une de comptabilité,
une de Finance et une d’économie.
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4) Formule des probabilités totales
On appelle système complet d’événements toute famille {A1…….. An }d’événements deux à
deux incompatible tels que :
- Ai ≠ Ø avec i = 1…….n
- A1
A2
......
An =
P (A1) + P(A2) + ……+ P(An) = 1
Pour tout événement B, la formule des probabilités totales s’écrit :
P(B) =
)(
1
n
i
BAP 
=
n
ii
ABPAP
1
)/().(
Exemple :
Deux usines fabriquent des pièces. La première fournit 45% de la production. Parmi les pièces
fabriquées par la première 8 % ont des défauts et parmi celles fabriquées par la deuxième 12%
présentent des défauts. On choisit une pièce au hasard dans l’ensemble de la production.
1) Quelle est la probabilité pour que la pièce :
a) provienne de la première usine et ait des défauts ?
b) provienne de la deuxième usine et n’ait pas de défauts ?
c) soit défectueuse ?
5) Formule de Bayes
Soient B un événement et {A1…….. An }un système complet d’événement, la formule de
Bayes s’écrit alors :
P (
n
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BA
1
)/().(
)/().(
)/
Exemple : (suite de l’exemple précédent)
2) la pièce choisit est défectueuse. Quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de la
première usine ?
3) la pièce choisit est bonne. Quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de la
deuxième usine ?
V/ Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants si les chances de réalisation de l’un ne change
selon que l’autre se réalise ou pas.
On a P (
BA 
) = P(A).P(B)
P (A/B) = P(B)
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